完整版高考文科立体几何证明专题.docx
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完整版高考文科立体几何证明专题
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立体几何专题
1．如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，ADAE，
F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，获取如图5所示的三棱锥
ABCF，其中BC
2
．
2
（1）证明：
DE//平面BCF；
（2）
证明：
CF
平面ABF；
（3）
2
时，求三棱锥F
DEG的体积VFDEG．
当AD
3
A
DGE
BFC
图4
【剖析】
（1）在等边三角形ABC中，ADAE
AD
AE,
ABCF中
DB
在折叠后的三棱锥
EC
也成立，
DE//BC,QDE
平面BCF，
BC平面BCF，DE//平面BCF；
A
GE
D
FC
B
图5
（2
）在等边三角形
ABC中，F是BC的中点，所以
AF
BC
1
①，BFCF.
2
Q
在三棱锥A
BCF中，BC
2，BC2
BF2
CF2
CFBF②
2
QBF
CF
F
CF
平面ABF；
（
）由（）可知
GE//CF，结合（
2
）可得GE
平面DFG
.
3
1
VFDEG
VE
1
1
1
1
1
1
3
1
3
DFG
3
DG
FGGF
2
3
3
2
3
324
2
3
【剖析】这个题是入门级的题，
除了立体几何的内容，
还观察了平行线分线段成比率这个平
面几何的内容.
...
.
2．如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F
是DC上的点且DF=1AB,PH为PAD中AD边上的高．
2
（1）证明：
PH平面ABCD；
（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；
（3）证明：
EF平面PAB．
解：
（1）
PH为PAD中的高
PHAD
又AB面PAD，
PH平面PAD
PHAB
ABADA
所以PH平面ABCD
（2）:
过B点做BG
BGCD，垂足为G；
连接HB,取HB中点M，连接EM，则EM是BPH的中位线
由
（1）知：
PH平面ABCD
EM平面ABCD
ＥＭ平面BCF
即EM为三棱锥E-BCF底面上的高
ＥＭ＝1PH1
22
SBCF
1FC?
BG=
112
2
2
2
2
1
VEBCF?
SBCF?
EM
121
322
2
12
...
.
（3）：
取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ
AB//CD,CD平面PAD
AB平面PAD，
PA平面PAD
ABPA
又EN是PAB的中位线
EN//PA
ABEN
1
又DFAB
四边形NADF是距形
ABFN
ENFNN
AB平面NEF
又EF平面NEF
EFAB
四边形NADF是距形
ABNF
3、如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，
M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。
（Ⅰ）求证：
DM∥平面APC；
（Ⅱ）求证：
平面ABC⊥平面APC；
（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．
NFNEN
AB平面NEF
4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点。
求证：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1。
...
.
（3）若M是CC1的中点，求证：
平面AB1D1⊥平面MB1D1
D1C1
B1
A1
M
D
C
O
AB
5.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝22，E、F分别是AB、PD
的中点.
（1）求证：
AF∥平面PCE；
（2）求证：
平面PCE⊥平面PCD；
（3）求周围体PEFC的体积.
...
.
6.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M、N、P、Q分别是
AA1、BB1、AB、B1C1的中点.
（1）求证：
平面PCC1⊥平面MNQ；
（2）求证：
PC1∥平面MNQ.
7.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，
E、F分别为DD1、DB的中点.
（1）求证：
EF//平面ABC1D1；
（2）求证：
EFB1C
...
.
8.右图为一简单会集体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，
EC//PD，且PDAD2EC=2.
（1）画出该几何体的三视图；
（2）求四棱锥B－CEPD的体积；
（3）求证：
BE//平面PDA．
P
E
DC
AB
9.如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，
PDAB2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．
（1）求证：
GC面EFP；
（2）求证：
；PA//面EFG；
（3）求三棱锥PEFG的体积．
...
.
3、解：
（Ⅰ）由已知得，
MD是
ABP的中位
MD∥AP
⋯⋯⋯⋯⋯2分
MD
面APC,AP
面APC
MD∥面APC
⋯⋯⋯⋯⋯4分
（Ⅱ）
PMB正三角形，DPB的中点，
MD
PB，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
AP
PB
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
又
AP
PC,PB
PC
P
AP
面PBC
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
BC
面PBC
AP
BC
又
BC
AC,AC
AP
A
BC
面APC
⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
BC
面ABC
平面ABC⊥平面APC
⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
（Ⅲ）∵MD
面PBC，
MD是三棱M—DBC的高，且MD＝5
3⋯11分
又在直角三角形PCB中，由
PB＝10，BC＝4，可得PC＝221⋯⋯⋯12分
于是SBCD
1SBCP＝
2
21
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13分
2
VDBCM＝VMDBC
1Sh
107
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
3
4、明：
（1）AC，ACIBDO
1111111
AO1，QABCDA1B1C1D1是正方体
A1ACC1是平行四形
A1C1PAC且A1C1AC
又O,O分是AC,AC的中点，OCPAO且OCAO
1111111
AOC1O1是平行四形
C1OPAO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1
...
.
C1OP面AB1D1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
（2）QCC1
面A1B1C1D1
CC1B1D!
又QA1C1
B1D1，
B1D1面AC11C
即AC1
B1D1
同理可
A1C
AB1，
又D1B1I
AB1
B1
AC1
面AB1D1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
（3）B1D1的中点N,AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,
MN3，AN6，AM3
AN2MN2AM2，AMN是RT,
ANMN,AN面MB1D1,
面AB1D1面MB1D1,（也可以通定明二面角是直二面角）⋯⋯⋯14分
5、.解：
（1）明：
GPC的中点，
FG，EG，
∵FPD的中点，EAB的中点，
∴FG
1
1
2CD，AE
2CD
∴FGAE，∴AF∥GE
∵GE?
平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
（2）明：
∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD?
平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?
平面PAD，∴AF⊥CD.
...
.
∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?
平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；
（3）由
（2）知，GE⊥平面PCD，
所以EG为周围体PEFC的高，
又GF∥CD，所以GF⊥PD，
1
EG＝AF＝2，GF＝2CD＝2，
△PCF＝
1
S
2PD·GF＝2.
得周围体PEFC的体积V＝
1△PCF·EG＝2
2
3S
3.
6、证明：
（1）∵AC＝BC，P为AB的中点，∴AB⊥PC，
又CC1∥AA1，
AA1⊥平面ABC，
∴CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥AB，
又∵CC1∩PC＝C，
∴AB⊥平面PCC1，
由题意知MN∥AB，故MN⊥平面PCC1，
MN在平面MNQ内，
∴平面PCC1⊥平面MNQ.
（2）连接AC1、BC1，∵BC1∥NQ，AB∥MN，
又BC1∩AB＝B，
∴平面ABC1∥平面MNQ，
∵PC1在平面ABC1内，
...
.
∴PC1∥平面MNQ.
解：
（1）证明：
连接AF，则AF＝22，DF＝22，
又AD＝4，∴DF2＋AF2＝AD2，
∴DF⊥AF.又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，
DF
平面PAF
DFPF.
PF
平面PAF
∥
∥
1
（2）过点E作EHFD
交AD于点H，则EH平面PFD且AH＝4AD.
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝
1
4AP，
∴平面EHG∥平面PFD.
∴EG∥平面PFD.
1
从而满足AG＝4AP
的点G为所求.
7、证明:
（1）连接BD1
E、F分别为DD1、DB的中点，则EF//BD1，
又BD1平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，
∴EF//平面ABC1D1
（2）正方体ABCD
A1B1C1D1中，AB平面BCC1B1，则AB
B1C
正方形BCC1B1
中，B1C
BC1，又AB
BC1=B，AB、BC1
平面ABC1D1,
则B1C平面ABC1D1，
BD1平面ABC1D1，所以B1CBD1
又EF//BD1,所以B1CEF.
8、解：
（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：
-----3分
（2）∵PD平面ABCD，PD平面PDCE
∴平面PDCE∵BCCD
平面ABCD
∴BC平面PDCE----------
5分
...
正视图
侧视图
.
1
EC）
DC
1
2
3--6分
∵S梯形PDCE（PD
3
2
2
∴四棱B－CEPD的体
VBCEPD
1S梯形PDCE
BC
13
2
2.----
8分
3
3
（3）明：
∵EC//PD，PD
平面PDA，
EC平面PDA
∴EC//平面PDA,------------------------------------10
分
同理可得BC//平面PDA----------------------------
11
分
∵EC
平面EBC,BC
平面EBC且ECIBC
C
∴平面
BEC//平面PDA-----------------------------
13
分
又∵BE
平面EBC
∴BE//平面PDA------------------------------------------
14分
面PCD∴三棱以GC高，三角形
PEF底⋯⋯⋯10分
∵PF
1PD1，EF
1CD1，
2
2
...
.
∴SPEF
1
PF
1
EF
．⋯⋯⋯12分
2
2
∵
1
BC
1
GC
，
2
1S
1
11
1
∴V
V
PEF
GC
⋯⋯⋯14分
PEFG
GPEF
3
3
2
6
...
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