集合与常用逻辑用语含答案.docx

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集合与常用逻辑用语含答案

集合与常用逻辑用语

一．选择题（共9小题）

1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝（　　）

A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}

2．集合P＝{﹣1，0，1}，Q＝{y|y＝cosx，x∈R}，则P∩Q＝（　　）

A．PB．QC．{﹣1，1}D．[0，1]

3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（　　）

A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤2

4．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（　　）

A．1B．3C．4D．8

5．设全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，则∁R（A∪B）等于（　　）

A．{x|0≤0＜1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤﹣1}D．{x|x＞﹣1}

6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．已知P＝{

|

＝（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q＝{

|

＝（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（　　）

A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}

8．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（　　）

A．mnB．m+nC．n﹣mD．m﹣n

9．定义A⊗B＝{z|z＝xy+

，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（　　）

A．3B．9C．18D．27

二．填空题（共5小题）

10．若集合A＝{x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有　　个元素．

11．设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝　　．

12．已知集合A＝{x|y＝

，x∈Z}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝　　．

13．设全集I＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，|a+1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是　　．

14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝　　．

三．解答题（共6小题）

15．一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：

一共有多少个倒W型数？

16．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．

（1）已知函数f（x）＝﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；

（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；

（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．

（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）＝x2﹣4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y＝f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）＝coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．

17．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁UB）＝{1，3，5，7}，求集合B．

18．已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．

（1）9∈（A∩B）；

（2）{9}＝A∩B．

19．对于集合M、N，定义M⊖N＝{x|x∈M且x∉N}，M⨁N＝（M⊖N）∪（N⊖M），设A＝{y|4y+9≥0}，B＝{y|y＝﹣x+1，x＞1}，求A⨁B．

20．记关于x的不等式

的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．

（Ⅰ）若a＝3，求P；

（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

集合与常用逻辑用语

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝（　　）

A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}

【解答】解：

由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}，故选：

D．

2．集合P＝{﹣1，0，1}，Q＝{y|y＝cosx，x∈R}，则P∩Q＝（　　）

A．PB．QC．{﹣1，1}D．[0，1]

【解答】解：

∵Q＝{y|y＝cosx，x∈R}，∴Q＝{y|﹣1≤y≤1}，

又∵P＝{﹣1，0，1}，∴P∩Q＝{﹣1，0，1}．故选：

A．

3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（　　）

A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤2

【解答】解：

根据题意，A⊆B，而A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示可得，

必有a≤1，故选：

B．

4．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（　　）

A．1B．3C．4D．8

【解答】解：

A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，

则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1，2}的子集个数问题，

所以满足题目条件的集合B共有22＝4个．故选：

C．

5．设全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，则∁R（A∪B）等于（　　）

A．{x|0≤0＜1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤﹣1}D．{x|x＞﹣1}

【解答】解：

∵集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x＞﹣1}，∴∁R（A∪B）＝{x|x≤﹣1}，故选：

C．

6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（　　）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：

．由N＝{x|x2+x＝0}，得N＝{﹣1，0}．

∵M＝{﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选：

B．

7．已知P＝{

|

＝（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q＝{

|

＝（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（　　）

A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}

【解答】解：

由已知可求得P＝{（1，m）}，Q＝{（1﹣n，1+n）}，

再由交集的含义，有

⇒

，所以选A．

8．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（　　）

A．mnB．m+nC．n﹣mD．m﹣n

【解答】解法一：

∵（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素，如图所示阴影部分，又

∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．

解法二：

∵（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）有n个元素，

又∵全集U＝A∪B中有m个元素，由card（A）+card（∁UA）＝card（U）得，

card（A∩B）+card（∁U（A∩B））＝card（U）得，card（A∩B）＝m﹣n，故选：

D．

9．定义A⊗B＝{z|z＝xy+

，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（　　）

A．3B．9C．18D．27

【解答】解：

由题意可求（A⊗B）中所含的元素有0，4，5，

则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．故选：

C．

二．填空题（共5小题）

10．若集合A＝{x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有　6　个元素．

【解答】解：

由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A＝（﹣1，6），因此A∩Z＝{0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是6

11．设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝　{1，2，5}　．

【解答】解：

∵A∩B＝{2}，∴log2（a+3）＝2．∴a＝1．∴b＝2．

∴A＝{5，2}，B＝{1，2}．∴A∪B＝{1，2，5}，故答案为{1，2，5}．

12．已知集合A＝{x|y＝

，x∈Z}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝　{﹣1，1}　．

【解答】解：

根据题意，A＝{x|y＝

，x∈Z}，

∴有1﹣x2≥0，且x∈Z，解得x＝﹣1，0或﹣1，故A＝{﹣1，0，1}，

由B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，解得y＝﹣3，﹣1，1故B＝{﹣3，﹣1，1}，

于是A∩B＝{﹣1，1}．故答案为{﹣1，1}

13．设全集I＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，|a+1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是　∅、{1}、{2}、{1，2}　．

【解答】解：

∵A∪（∁IA）＝I，∴{2，3，a2+2a﹣3}＝{2，5，|a+1|}，

∴|a+1|＝3，且a2+2a﹣3＝5，解得a＝﹣4或a＝2．

∴M＝{log22，log2|﹣4|}＝{1，2}．故答案为：

∅、{1}、{2}、{1，2}

14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝　0或

　．

【解答】解：

由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，

所以有

或

，解得

或

，故a＝0或

．答案：

0或

三．解答题（共6小题）

15．一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：

一共有多少个倒W型数？

【解答】解：

若5个数字不含0，则共有

种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为1，2，3，4，5，

①若千位为3，百、万位排1，2，则十位为5，则有2个；

②若千位为4，百、万位排3，2或3，1或1，2，则十位即为1，2，3，则有2+2+2＝6个；

③若千位为5，百、万位不排4，3，排2，4，则十位排3，有1个；

百、万位排4，1，则十位排3，有1个；

百、万位排3，2，或3，1或1，2，则十位排4，则有2+2+2＝6个；

“倒W型数”有：

2+6+1+1+6＝16个．

故不含0的“倒W型数”有：

16×

＝2016个，

若5个数字含0，则共有

种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为0，2，3，4，5，

①若千位为3，百、万位排0，2，则十位为5，则有1个；

②若千位为4，百、万位排3，2或0，3或0，2，则十位即为0，2，3，则有2+1+1＝4个；

③若千位为5，百、万位不排4，3，排2，4，则十位排3，有1个；

百、万位排4，0，则十位排3，有1个；

百、万位排3，2，或0，3或0，2，则十位排4，则有2+1+1＝4个；

“倒W型数”有：

2+4+1+1+4＝12个．

故不含0的“倒W型数”有：

12×

＝1512个，

综上共有2016+1512＝3528个倒W型数

16．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．

（1）已知函数f（x）＝﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；

（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；

（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．

（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）＝x2﹣4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y＝f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）＝coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．

【解答】解：

（1）由题意可知：

f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，

整理得：

（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，

∵x≥3，∴a＜

＝

＝x﹣1﹣

，

令x﹣1＝t，则t∈[2，+∞），g（t）＝t﹣

在[2，+∞）上单调递增，

∴g（t）min＝g

（2）＝1，∴a＜1．

（2）∵x∈[0，1）时，f（x）＝2x，

∴当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…

当x∈[n，n+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝mnf（x﹣n）＝mn•2x﹣n，

即x∈[n，n+1）时，f（x）＝mn•2x﹣n，n∈N*，

∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴m＞0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．

（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0，4]时，y∈[﹣4，0]，且有f（x+4）＝mf（x），

∴当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）＝mf（x﹣4）＝…＝mnf（x﹣4n）＝mn[（x﹣4n）2﹣4（x﹣4n）]，

当0＜m≤1时，f（x）∈[﹣4，0]；

当﹣1＜m＜0时，f（x）∈[﹣4，﹣4m]；

当m＝﹣1时，f（x）∈[﹣4，4]；

当m＞1时，f（x）∈（﹣∞，0]；

当m＜﹣1时，f（x）∈（﹣∞，+∞）；

综上可知：

﹣1≤m＜0或0＜m≤1．

问题（Ⅱ）：

由已知，有f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，

即cosk（x+T）＝Tcoskx对一切实数恒成立，

当k＝0时，T＝1；

当k≠0时，

∵x∈R，

∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[﹣1，1]，

又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，

故要使cosk（x+T）＝Tcoskx恒成立，只有T＝±1，

当T＝1时，cos（kx+k）＝coskx得到k＝2nπ，n∈Z且n≠0；

当T＝﹣1时，cos（kx﹣k）＝﹣coskx得到﹣k＝2nπ+π，

即k＝（2n+1）π，n∈Z；

综上可知：

当T＝1时，k＝2nπ，n∈Z；

当T＝﹣1时，k＝（2n+1）π，n∈Z．

17．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁UB）＝{1，3，5，7}，求集合B．

【解答】解：

U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}

＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，

{1，3，5，7}⊆A，而B中不包含{1，3，5，7}，

用Venn图表示如图

∴B＝{0，2，4，6，8，9，10}．

18．已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．

（1）9∈（A∩B）；

（2）{9}＝A∩B．

【解答】解：

（1）∵9∈（A∩B），∴9∈B且9∈A，

∴2a﹣1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3．

检验知：

a＝5或a＝﹣3．

（2）∵{9}＝A∩B，∴9∈（A∩B），∴a＝5或a＝﹣3．

当a＝5时，A＝{﹣4，9，25}，B＝{0，﹣4，9}，此时A∩B＝{﹣4，9}与A∩B＝{9}矛盾，

所以a＝﹣3．

19．对于集合M、N，定义M⊖N＝{x|x∈M且x∉N}，M⨁N＝（M⊖N）∪（N⊖M），设A＝{y|4y+9≥0}，B＝{y|y＝﹣x+1，x＞1}，求A⨁B．

【解答】解：

由4y+9≥0，得y≥﹣

，∴A＝{y|y≥﹣

}．

∵y＝﹣x+1，且x＞1，∴y＜0，∴B＝{y|y＜0}，

∴A⊖B＝{y|y≥0}，B⊖A＝{y|y＜﹣

}，

∴A⨁B＝（A⊖B）∪（B⊖A）＝{y|y＜﹣

或y≥0}．

20．记关于x的不等式

的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．

（Ⅰ）若a＝3，求P；

（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

【解答】解：

（I）由

，得P＝{x|﹣1＜x＜3}．

（II）Q＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．

由a＞0，得P＝{x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形

所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．