不等式教材分析Word格式.docx
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加减性质
文字
表述
等式两边加（或减）冋一个数（或式子），结果仍然相等•
不等式两边加（或减）冋一个数（或式子），不等号的方向不变•
符号
表示
如果ab,那么acbc.
如果ab，那么acbc.
乘除性质
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等•
不等式两边乘（或除以）冋一个正数，不等号的方向不变•
如果ab,c0,那么acbc；
ab
cc•
符号表示
如果ab,那么
abzc、
acbe；
—一（c0）cc
不等式两边乘（或除以）冋一个负数，不等号的方向改变•
如果ab,c0,那么acbc;
cc
（2）—元一次方程与一元一次不等式概念求解过程的类比:
一兀一次方程
一兀一次不等式
含有一个未知数，未知数的次数是1
含有一个未知数，未知数的次数是1
的方程，叫一兀一次方程•
的不等式，叫一兀一次不等式•
解
使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫一元一次方程的解•
使不等式成立的未知数的值，叫一兀一次不等式的解•
解集
由不等式的所有解组成的集合，叫一元一次不等式的解集•
求解
利用等式的两个基本性质化简变形方程直到得出：
x=a的过程叫解方程•
找出所有满足方程的x的值
利用不等式的基本性质化简变形不等式直到得出：
x>
a（或x<
a）的过程叫解不等式•
找出所有满足不等式的x的值•
成组
方程组
方程组的解是两个方程的公共解可以拓展到多元
不等式组
不等式组的解集应是几个不等式的解集的公共部分
现阶段我们只关注于一元
知识、方法的学习积累都是螺旋上升的，正因为不等式和等式方程的很多相近之处，在此处
的学习上，还可进一步落实我们前面所学的一些数学基本操作，关注许多运算细节的落实掌
握；
在全面分析理解问题和分类讨论等方法上再上一个台阶。
3、立足中考信息和学生实际进行落实
在近年的中考试题中，一元一次不等式和一元一次不等式组的常见题型有：
填空题、选
择题、解不等式或不等式组的题型以及综合题（例如一元二次方程的根的判别、函数自变量
的取值范围的确定、动点造成几何图形或几何量的存在问题等）•主要考查的内容有：
根据
题意列不等式、不等式的性质、不等式的解集及表示方法、一元一次不等式及一元一次不等式组的解法、一元一次不等式及一元一次不等式组的整数解问题以及应用问题.
考试内容
考试要求层次
A
B
C
数与代数
方程与不等式
不等式（组）
能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。
能根据具体问题中的数量关系列出不等式
（组）。
不等式的性质
理解不等式的基本性质。
会利用不等式的性质比较两个实数的大小。
解一元一次不等式（组）
了解一兀一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示（确定）其解集。
会解一兀一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解。
能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题。
由于初中数学中的变量取值范围的确定的问题，只能运用一元一次不等式或一元一次不
等式组的知识来解决，因此可以说，这一内容贯穿整个初中数学的全过程.
近年来，数学应用问题更加贴近生活、更具有开放性，也更能表现事物运动和变化的规
律，在解决这些问题的过程中也就更多地用到不等式的知识.
（1）对于教材中处处都能体现出来的建模思想
（2）对于两个阅读思考（“求差法比大小”、“利用不等关系分析比赛”）一个实验探究（“水位升高还是降低”）和三个数学活动（“生活水平调查”、“猜数游戏”、“利用实验求三角形面积最大值”）
三、细则处理建议
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集
1.用不等号连接（>
、v、》、w、m）表示不等关系的式子叫做不等式。
2.使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
3.不等式解的集合叫做不等式的解集，解集可以用数轴很直观地表示出来。
4.含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
〖例1〗全班同学共同约定，每位值日的同学当天早晨7:
10前必须到学校，已知小宇家离
学校12.5千米，每天都由妈妈开车送小宇上学，今天轮小宇做值日，小宇在妈妈发动汽车时看表已6:
45,若不想让小宇迟到，问妈妈的平均车速应满足什么条件？
〖例2〗、用适当的符号语言或文字语言表达下列关系
1
（1）a与5的和是正数；
（2）b与-5的差不是正数；
（3）x的2倍大于x;
（4）y的—与
2
3的差是负数；
（5）x的一与3的差大于2;
（6）2x与1的和小于零；
（7）a的2倍与4
2、1
的差不少于5；
（8）b的与c的和不大于9；
11
（9）b的与3c的和既不大于9又大于-13；
（10）—2<
x—3<
0；
22
评述：
正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描
述语言，如此处：
不是、不少于、不大于……
对“既……又……”,“既是……也是……”,“是……或是……”等连接词也要逐步领会积累。
9.1.2不等式的性质
类比方程，方程每次变形都有一个依据，就是等式的基本性质，不等式变形呢？
同样也必须
有依据，解不等式变形的基本依据是：
性质1•不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
性质2•不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3••不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
〖例1〗用适当的符号填空，并说明理由：
（1）如果a<
b,那么
a-3_b-3,a+4b+4,-2a-2b,7a7b,7a+67a-6
⑵如果XWy,那么
x+5yy+5y,x-7yy-7y,-6y2x2y,-3x-3y,
2x-32y-3
（3）若x>
1，那么
5x1x5
7x24-2-15；
10x+2-243x-15；
2——-
64
1°
刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在
实处。
2°
观察这些变形，感受不等式变形的趣味性，想想把这一系列不等式变形倒回去变化一遍，
是否会更为有趣？
思考：
如果已知avb,求证a+5bv6b，该怎么表述？
2>
并将解集在数轴上表示出来。
利用不等式的性质解下列不等式，说明所使用的性质，并将解集在数轴上表示出来：
2（x+1）<
3x;
（2）2—x<
1;
3（x+2）>
4（x—1）+7;
5）2
1例2〗运用不等式的性质求解不等式
练习:
（1）
（4）
（3）2x-1<
4x+13;
（5x+3）wx—3（1—2x）
〖例
是。
.
（2）已知△ABC的周长是是
3〗
（1）在厶ABC中，如果AB
3x，AC
12，三边为a、b、
（3）已知△ABC的三边为a、b、c，贝yabc
4x,BC28，那么x的取值范围
c，若b是最大边，则b的取值范围
9.2实际问题与一元一次不等式
面对实际问题时，我们首先需要的是认真阅读理解分析题目，“审”题目中的“事”和
“理”，以此抓住数量关“设”、“列”、“解”、“答”，可以对比以前的方程和方程组应用题的学习，此处难度增多，设时需关注细节，一般都不是求什么设什么，解不等式过程这的易错点本身就够多，答时还需关注完整方案的表述。
通过解一元一次不等式，可以对比解一元一次方程归纳得出：
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为
等式，则要根据不等式的性质，
〖例1〗解下列不等式:
列时需关注含不含边界,
将不等式逐步化为
x=a
x<
a（或x>
a）
的形式；
而解一元一次不的形式。
（1）2x3〉
3
（2）3（x+2）—1>
5-2（x-2）;
（3）
1（1—2x）>
3（2x1
32
（5）
13x;
2x
（6）
2x1
（8）1
5x2
6
方法步骤与解方程几乎完全类似，只是多了一点需多加考虑，需要改变不等式的符号，那同样它也
次不等式，
就是当不等式两边需同时乘以或除以同一个数或式时，
完全拥有解方程的易错点。
对于具体的解不等式题目，再复杂也没有哪个同学说学不会的，但是解不出正确结果却
是普遍存在的现象，多的原因都是同学们在作题时对一些细节易错点关注不够所致，要多引
导学生仔细观察发现它的易错点？
是“移项”？
“变号”？
“漏乘”？
……。
只有明晰这些易错点，
解一元
才能快速提升我们的速度和正确率。
解不等式：
1（1—2x）>
3（2x1）之后再思考:
xv0.5，比较2—4x和18x—9的大小
1）已知
2）已知：
y，求证4x+8y>
3x+9y
比较两个数量的大小可以通过它们的差来判断:
a>
ba—b>
0;
a=ba—b=0;
avba—bv0
1例3〗
（1）m为何值时，关于x的方程:
x6m1
63
x的解大于1？
*
（2）已知关于x的方程
Ix|=ax+1有一负根，而无正根，求a的取值范围
〖例4〗
（1）已知m>
2,解关于x的不等式：
（1—m）x>
m-1
（2）解关于x的不等式
（m+1）（m—1）x>
（m+1）（m—2）
*（3）若不等式
（a+1）x>
a2—1的解集为xva—1;
求不等式（1—a）xva—2a+1的解集
*（4）已知a、b为有理数，不等式（2a—b）x+3a—4bv0的解是x>
4/9,求不等式
（a—4b）x+2a—3b>
0的解集
由以上分析，我们若考虑将题目中m>
2作一系列变化题目又会怎样呢？
如tm>
1-^m>
5
tm=1tm<
Tm<
0^m<
-10T不给m的范围，怎么办？
不难发现，以下总结概括：
若ax>
b（a丰0）,当a0时，不等式的解集是x;
当a___0时，不等式的解集是x.
〖例5〗甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价90%收费；
在乙店累计购买50元商品后，
再购买的商品按原价95%收费。
顾客该怎样选择商店购物能获得更大优惠？
评述：
、此题为P131引例，同学们普遍觉得较难的原因其实是此题的问法比较隐蔽，若改为"
根据两家商店推出的销售方案，为使顾客获得更大优惠，你能为顾客设计一整套方案？
”理解一个复杂问题的方法是将其分解转化为一些具体的子问题：
（教学中就学生作答
情况，可不断改变设问，使生思考）
设问1:
现有4人，准备分别消费40元、80元、140元、160元，你给他们设计一下，分别去哪家商店合算？
设问2:
累计购物超过100元不到150元时，去哪家商店购物花费小？
超过150元呢？
恰好150元呢？
设问3:
、关注运用所学知识分析处理有实际背景的问题是教材自始至终要贯彻的精神。
涉及求
未知数取值范围的问题普遍存在，不等式是解决这些问题的有力工具。
当同学面对这些问题
时他首先面对的是文字材料的阅读理解，材料中所含信息的数学转译，从而使同学仔细阅读
材料、理解提取数量关系就是首要落实的问题。
应先从同学们较为熟悉的情景入手，由同学
们的解决方案出发讨论比对一元一次方程和一元一次不等式等数学知识在解决应用问题上的运用，细节着眼点，进而通过后续问题的讨论归纳出运用不等式等所学知识解决应用问题
的一般思路，加深对不等式等数学模型运用的体会和建模能力。
一元一次不等式组类比一元一次方程组从概念和解法上都很好理解，难点还是易于学会，但难以保证不出错。
〖例6〗某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分。
小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
〖例7〗2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果到
2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？
9.3—元一次不等式组
1.把两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
2.几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
归纳：
对于具有多种不等式关系的问题，可通过不等式组解决。
解一元一次不等式组时，一般先求
出其中各不等式的解集，在求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的
解集。
〖例1〗、3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成生产任务；
如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务。
问每个
小组原先每天生产多少件产品？
解题过程中出现的既满足又满足……的问题
〖例2〗、解下列不等式组
1例3〗、已知不等式组
2X-a<
X-2b>
的解集为-1<
X<
1，则（a+1）（b-1）的值等于多少?
〖例4〗
（1）一群男同学去某地旅游住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；
每间住6人，有一间宿舍住不满。
问：
可能有多少间宿舍、多少名学生？
（2）A地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B地。
已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨。
1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？
请你帮助设计出来。
2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，，那么选择
哪种方案使运费最少？
运费最少是多少？
（3）水是人类最宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平，为了
节约用水，保护环境。
学校于本学期之初制定了详细的用水计划。
如果实际每天比计划多用
一吨水，那么本学期的用水总量会超过2300吨；
如果实际每天比计划节约一吨水，那么本
学期的用水总量会不足2100吨，如果本学期在校时间按照110天（22周），那么学校计划
每天用水量应控制在什么范围？
*运用不等式分析比赛
2008年的北京奥运开的很成功，观看体育比赛的乐趣之一就是对即将出现的比赛结果进行畅想预测。
【几个供选的补充题例：
】
313p
0此方程组的解都是正数，•••2
5p31
解这个不等式组得
31
p
•p的整数值有
7,8,9,1
0。
当p=7或p=9时，
31邛和
5p31均为正整数,
p=7或p=9为所求。
3x1
2.解不等式：
l3x1I<
3
分析依据绝对值的几何意义，原不等式可以变形为:
继续变形可得下面的同解不等式组:
75
解①得x，解②得x
33
57
•••原不等式的解集为—x—
33
3.某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：
“如果校长买全票
一张，则其余学生可享受半价优惠。
”乙旅行社说：
“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”（即按全票价的60%收费）.若全票价240元，则：
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的
收费（建立表达式）；
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.
解
（1）y甲120x240,y乙144x144.
（2）由y甲y乙，得120x+240=144x+144，解得x=4.
（3）由y甲y乙，得120x+240V144x+144，解得x>
4.
答：
当学生人数少于4时，乙旅行社更优惠，当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠.
4.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3—00辆次，其中变速车保管费是每
辆0.5元，一般车保管费是每辆0.3元.
（1）若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y与x的关系式.
（2）若估计前来停放的3500辆自行车中，变速车的辆次不小于25%但不大于40%试
求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.
解
（1）由题意，得y=0.3x+0.5（3500-x）,
y=-0.2x+1750.
（2）T变速车停放的辆次不小于3500的25%，但不大于3500的40%
•一般自行车停放的辆次是在3500X60%与3500X75%之间.
当x=3500X60%=2100时，
y=-0.2X2100+1750=1330;
当x=3500X75%=2625时，
y=-0.2X2625+1750=1225.
•这个星期天保管费的收入在1225元至1330元之间
5.某园林的门票每张10元，一次性使用.考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，
该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从
购买日起，可供持票者使用一年），年票分AB、C三类：
A类年票每张120元，持票者进
入园林时，无需再购买门票；
B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，
每次2元；
C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.
上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的方式；
（2）求一年中进入该园林超过多少次时，购买A类年票比较合算？
解
（1）不可能选A年票
若选B类年票，则806010（次）；
若选C类年票，则804013-（次）；
80
若不购买年票，则808（次）.
10
所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最
多，为13次.
（2）设超过x次时，购买A类年票比较合算.
故一年中进入该园林超过30次时，购买A类年票比较合算.
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