九年级数学直线圆与圆的位置关系一周强化沪教版Word格式.docx

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|r1－r2|<

　　两圆内切

0<

d=|r1－r2|；

两圆内含

0≤d<

|r1－r2|．

（2）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

　　相切两圆的连心线经过切点．

二、重点难点和疑点突破

1、过一点、二点、……的圆．

　　过一点可以作无数个圆．

　　过二点也可以作无数个圆，圆心的轨迹是连结这两点的线段的中垂线．

　　过三点不一定能作圆，当三点在一条直线上时，不可作圆．当三点不在一条直线上时，只可以作一个圆．

　　过四、五、六……都不一定能作出圆．

　　突破：

①作圆的条件是：

必须找到圆心和半径．

　　②由于所作圆要经过已知点，所以如果圆心的位置确定了，那么圆的半径也就随之确定，因此，作圆的问题就转化为找圆心的问题，能否作圆及能作多少个圆，都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数．

2、一个三角形只有一个外接圆；

一个圆有无数个内接三角形．

由不在同一条直线上的三点确定一个圆得一个三角形只有一个外接圆．圆是由无数个点组成的，并且其上任三点都不在同一直线上，所以以其中任三点为顶点都能得到一个三角形，故一个圆有无数个内接三角形．

3、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心位置

　　锐角三角形的外心在三角形内部．

　　钝角三角形的外心在三角形外部．

　　直角三角形的外心在三角形的斜边上，是斜边中点．

无论哪种三角形，它们的外心都是两边的垂直平分线交点，只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了．

4、直线和圆有三种位置关系：

相交、相切、相离．

①直线与圆的位置关系是从直线与圆的公共点个数来定义的：

当直线和圆有两个公共点时称为直线和圆相交．当直线和圆只有一个公共点时称直线和圆相切．当直线和圆没有公共点时称直线和圆相离．所以直线和圆公共点个数只有三种情况分别为：

二个、一个和没有．

　　②直线和圆相切时定义不能说成：

直线和圆有一个公共点，因为直线和圆有一个公共点，不能保证这个公共点是唯一的公共点．可能还有另一个公共点．

　　③直线和圆只有一个公共点中的“只有”表示“有且只有”．

5、圆与圆的五种位置关系：

（1）圆和圆的位置关系，不但考虑了数（两圆公共点的个数），而且考虑了形（两圆的相对位置关系），两圆的五种位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类．

（2）两圆外切和两圆内切，统一称为两圆相切，惟一的公共点称为切点．

6、圆与圆的位置关系的判断

（1）交点法：

根据两圆的交点个数判定两圆的位置关系：

当两圆没有交点时，两圆外离或内含；

当两圆有惟一公共点时，两圆外切或内切；

当两圆有两个公共点时，两圆相交．

（2）数量关系法：

通过比较两圆的圆心距与半径的数量关系，判定两圆的位置关系：

当d>

R＋r时，两圆外离；

当d=R＋r时，两圆外切；

当R－r<

R＋r（R≥r）时，两圆相交；

当d=R－r（R>

r）时，两圆内切；

当d<

R－r（R>

r）时，两圆内含．

三、解题方法和技巧

1、判断点与圆的位置关系

例1、如图，在△ABC中，∠A=90°

，AB=4cm，AC=6cm，AM是中线．

（1）以点A为圆心，以4cm长为半径作⊙A，则点B、C、M与⊙A的位置关系如何？

（2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、M三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

分析：

　　要判定点B、C、M和⊙A的位置关系，只要比较BA、CA、MA的长度与半径r的大小即可．

解：

（1）∵BA=4cm，⊙A的半径也是4cm，

　　∴点B在⊙A上．

　　∵CA=6cm>

4cm，

　　∴点C在⊙A的外部．

　　在Rt△ABC中，根据勾股定理，有

．

　　又∵AM是中线，

　　∴

　　∴点M在⊙A的内部．

（2）∵AM=

，AB=4cm，AC=6cm，

　　也就是说，点M到圆心A的距离是最短距离

，点C到圆心A的距离6cm是最长距离．

　　∴使B、C、M三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，⊙A的半径r的取值范围是

<

r<

6cm．

2、作图题

例2、已知弧

，找出弧

所在圆的圆心．

　　如图，已知

，我们知道不在同一直线上的三点确定一个圆，故应在弧

上找三点，即可通过作弦的垂直平分线的方法找到圆心．

作法：

1、在

上任取一点C（C不与A、B重合）

2、连结AC、BC，分别作AC、BC的垂直平分线，它们交于点O，则点O就是

的圆心．

　　注意：

此题是已知三点作圆的运用，它是已知圆弧找圆心．

　　点评：

找弧（圆）的圆心只须在弧上找到三个不同点，再通过作弦的垂直平分线的方法找到圆心．

例3、已知线段AB和直线l，过A、B作圆，并使圆心在l上，问：

（1）当l//AB时，可作几个这样的圆；

（2）当l与AB斜交时，可作几个这样的圆；

　　（3）当l垂直于AB且不过AB的中点时，可作几个这样的圆；

　　（4）当l是AB的垂直平分线时，可作几个这样的圆．

（1）当l//AB时，可作一个圆，如图①；

（2）当l与AB斜交时，因为AB的垂直平分线与l有一个交点，可作一个圆，如图②；

　　（3）当l⊥AB时且l不过AB的中点时，l与AB的垂直平分线平行，所以l与AB的垂直平分线无交点，所以不能作圆；

　　①　　　　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　　③

　　（4）当l是AB的垂直平分线时，以l上任意一个点为圆心都可以作圆，所以可作无数个圆，如图③．

要作出一个圆，关键在于找出所求圆的圆心和半径，而圆心、半径的确定关键在于圆心的位置．因为圆心到A、B的距离相等，故圆心在线段AB垂直平分线上，又圆心在直线l上，所以圆心即为直线l与线段AB的垂直平分线的交点．

3、圆的确定及有关概念

例4、下列说法正确的是（　）

A．经过三个点一定可以作圆

B．任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形

C．任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆

D．三角形的外心到三角形各边的距离都相等

　　A错．应改为经过不在同一直线上的三点一定可以作圆．

　　B错．以圆上任意三点为顶点都能得到一个内接三角形，故一个圆有无数个内接三角形．

　　C对，D错．三角形的外心到各顶点距离相等．

答案：

C

对于选项A一定要注意是不在同一直线上的三点才能确定一个圆．

4、直线与圆的位置关系

例5、在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？

为什么？

（1）r=2cm；

（2）r=2.4cm；

　　（3）r=3cm．

　　如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．

　　过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中∠C=90°

，AC=3，BC=4，∴AB=5．

　　∵S△ABC=

AB·

CD=

AC·

BC，

　　∴AB·

CD=AC·

BC．

　　∴CD=

=2.4（cm）．

　　当r=2cm时，CD>

r，∴⊙C与AB相离．

　　当r=2.4cm时，CD=r，∴⊙C与AB相切．

　　当r=3cm时，CD<

r，∴⊙C与AB相交．

（1）圆心到直线的距离与半径的大小是决定圆与直线位置关系的重要因素．

（2）通过面积过渡，可以方便地用两直角边的长求出斜边上的高，要熟练地掌握这种方法．

例6、如图，在△ABC中，若OA=OB=2a，⊙O的半径r=a，问：

AB与⊙O相切、相交、相离时，∠AOB的取值范围如何？

　　用直线和圆的位置关系性质和三角函数来求∠AOB的取值范围．

　　过O作OC⊥AB于C，则∠AOC=

∠AOB．

（1）当AB与⊙O相切时，有OC=r=a．

　　在Rt△AOC中，cos∠AOC=

，

　　∴∠AOC=60°

　　∴∠AOB=2∠AOC=120°

（2）当AB与⊙O相交时有OC<

r=a，

　　∴60°

∠AOC<

90°

　　∴120°

∠AOB<

180°

　　（3）当AB与⊙O相离时，有OC>

　　在Rt△AOC中cos∠AOC=

　　∴0°

60°

120°

答：

略

我们知道直线和圆位置关系时，我们就知道了圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，故可利用其解题．

例7、如图，已知正方形ABCD的边长为a，AC和BD交于E，过E作FG//AB分别交AD、BC于F、G．问以点B为圆心，

为半径的圆与直线AC、FG、DC的位置关系如何？

　　分别求出B到直线AC、FG、DC的距离，从而与

比较大小．

　　∵四边形ABCD为正方形，边长为a，

　　∴AC⊥BD于E，BE=

　　又∵FG//AB且过E点，BC=a，

　　∴FG⊥BC，且BG=

　　∵圆的半径为

　　∴r=BE，BG<

r，BC>

r，

　　∴AC与⊙B相切，FG与⊙B相交，CD与⊙B相离．

利用圆心到直线距离和半径的大小比较可判定直线和圆的位置关系．

5、直线与圆相切的判定

例8、如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°

，AD//BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC、CE平分∠BCD．

　　求证：

以AB为直径的圆与DC相切．

　　要证以AB为直径的圆与DC相切，只需证AB的中点到DC的距离等于

AB．

证明：

　　过点E作EF⊥CD于F．

6、圆与圆的位置关系

例9、已知⊙O1与⊙O2的半径为R，r，且R≥r，R、r是方程x2－5x＋2=0的两根，设O1O2=d，那么

（1）若

，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；

（2）若d=3，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；

（3）若d=4.5，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；

（4）若两圆相切，求d值．

　　∵R、r是方程x2－5x＋2=0的两根，

　　∴R＋r=5，R·

r=2．

　　∵R－r≥0，

　　∴R－r=

≈4.1．

（1）∵

=5.5>

5，

　　即d>

R＋r，∴两圆外离．

（2）∵d=3<

　　即d<

R－r，∴两圆内含．

　　（3）∵d=4.5，∴

4.5<

　　即R－r<

R＋r，∴⊙O1与⊙O2相交．

　　（4）要使⊙O1与⊙O2相切，必使d=R＋r或d=R－r．

　　∴d=5或d=

时，两圆相切．

判定两圆相交，必须d>

R－r且d<

R＋r（R≥r）两个条件同时成立．而两圆相切包括两圆外切与两圆内切的两种情况．

7、两圆位置关系的判定

例10、已知：

△ABC中，∠C=90°

，AC=12，BC=8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作⊙B．如图

⊙O与⊙B相外切．

　　此题要确定两圆的位置关系，我们可以采用分析法从题目要求证的结论考虑．对于证明两圆外切的方法，我们的手段是证明圆心距等于两圆半径之和，或者说明两圆有惟一公共点．因此由题目给出的数量只要分别计算两圆半径和圆心距这三个量，进行验证就可以了．

　　连结BO．∵AC为⊙O的直径，AC=12，

　　⊙O的半径R1=

=6．

　　且O是AC的中点，

　　∴OC=

　　∵∠C=90°

且BC=8，

　　∵⊙O半径R1=6，⊙B半径R2=4，

　　∴BO=R1＋R2，

　　∴⊙O与⊙B相外切．

8、两圆相切的性质

例11、如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B．求证：

O1A//O2B．

解析：

　　要证明O1A//O2B，可证明∠A=∠B，可连结O1O2．

　　连结O1O2，则P点在O1O2上．因为O1A=O1P，所以∠A=∠O1PA．

　　同理可证：

∠B=∠O2PB．

　　又因为∠O1PA=∠O2PB，所以∠A=∠B，故O1A//O2B．

例12、已知⊙O1和⊙O2外切于P，并且⊙O和⊙O1、⊙O2分别内切于M、N，△O1O2O的周长为18cm（如图所示）．

　　求：

⊙O的周长．

　　设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2，为使△O1O2O各边的长度与R、r1、r2之间的关系更明了，可采用“分拆、组合法”，将其中每两个圆之间的关系单独拿出来进行分析．

　　设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2，

　　∵⊙O1、⊙O2相外切，

　　∴O1O2=r1＋r2．

　　又⊙O和⊙O1、⊙O2分别相内切，

　　∴O1O=R－r1，O2O=R－r2．

　　△O1O2O的周长为18cm，即

　　O1O2＋O1O＋O2O=（r1＋r2）＋（R－r1）＋（R－r2）=18cm，

　　∴R=9cm．

　　∴⊙O的周长为18πcm．

⊙O的周长为18πcm．

9、两圆相交的性质

例13、相交两圆的公共弦长为6cm，若两圆的半径分别为8cm和5cm，求两圆的圆心距．

　　设⊙O1，⊙O2交于A，B两点，⊙O1，⊙O2的半径分别为8cm，5cm．

（1）若两圆圆心O1，O2位于公共弦AB两侧时，

　　如图

（1），设O1O2与AB交于C，连结O1A，O2A．

　　∵O1O2垂直且平分AB，

　　∴AC=

=3．

　　在Rt△O1CA中，

　　在Rt△O2CA中，

　　故O1O2=O1C＋O2C=4＋

（cm）．

（2）若两圆圆心位于公共弦AB同侧时，如图

（2），设O1O2的延长线交AB于C，连结O1A，O2A．

　　同理

　　O1O2=O1C－O2C=

－4（cm）．

两圆的圆心距为（

＋4）cm或（

－4）cm．

由于此题未给出图形，所以应分两种情况求解；

若题中给出图形，按已知图形分析求解即可；

若题中已知的相交两圆是等圆时，因为两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧，所以按一种情形求解．