回顾与思考教案.docx

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回顾与思考教案

回顾与思考

教学目标

（一）教学知识点

1．证明的必要性，了解证明的书写格式．

2．了解定义、命题、公理和定理的含义．

3．平行线的性质定理和判定定理．

4．三角形的内角和定理及推论．

（二）能力训练要求

1．理解证明的含义．

2．通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论．

3．掌握用综合法证明的格式．体会证明的过程要步步有依据．

4．通过回顾与思考，进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用．

5．通过回顾与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用．

（三）情感与价值观要求

通过学生回顾与思考，使他们进一步体会直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，培养学生的推理论证能力，进而发展他们的空间观念．

教学重点

1．平行线的性质定理和判定定理的应用．

2．三角形内角和定理及其推论的应用．

3．证明的步骤及书写格式．

教学难点

证明过程的书写．

教学方法

自学，小组讨论法．

教具准备

投影片三张

第一张：

问题（记作投影片“回顾与思考”A）

第二张：

平行线的判定与性质的关系图（记作投影片“回顾与思考”B）

第三张：

知识结构图（记作投影片“回顾与思考”C）

教学过程

Ⅰ．巧设问题情境，引入课题

［师］前面几节课我们探讨了第六章“证明”，在教学中为什么要证明？

如何证明呢？

今天我们就来对此进行回顾与思考．

Ⅱ．回顾与思考

［师］同学们先独立思考下列问题，然后以小组为单位进行讨论，共同回顾本章的内容．（出示投影片“回顾与思考”A）

1．直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗？

2．请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理．

3．什么条件下两条直线平行？

两条直线平行又会怎样？

这两类命题的条件和结论有什么关系？

你会证明它们吗？

4．三角形内角和定理怎样证明？

三角形的外角与内角有什么关系？

5．请你用自己的语言说一说证明的基本步骤．

（学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决）

［生甲］如：

两棵一样高的树，但相距很远，当你站在其中一棵树旁边时，显得它很高，而另一棵较低．

图6－69

又如图6－69：

直观看，图6－69

（1）长，图6－69

（2）短，实际上是一样长的．

……

（学生举出了许多生活中的实例，说明直观有时也会发生错误）

［生乙］定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定．

命题呢，就是判断一件事情的句子．

公理：

是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题．即公认的真命题．

定理是经过推理的过程得到的真命题．

［生丙］在同位角相等的情况下，两直线平行；在内错角相等或同旁内角互补的情况下，两直线平行．

如果两条直线平行时，则同位角相等，内错角也相等，同旁内角是互补的．

这两类命题的条件和结论正好相反．

［生丁］两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论，它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件．

［生戊］公理也是．

［师］同学们讨论得很好，这两类命题的关系如下图（出示投影片“回顾与思考”B）

［师］你们会证明它们吗？

［生］会．主要利用平行线的性质公理证明其性质．利用平行线的判定公理证明判定定理．

［师］很好．接下来看问题4、5．

［生甲］证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角．一般需要作辅助线．既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角．

［生乙］三角形的外角与它相邻的内角是互为补角．

与它不相邻的内角关系是：

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

［生丙］证明一个命题是真命题的基本步骤是：

（1）根据题意，画出图形．

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

［生丁］在证明时需注意：

（1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来．

（2）证明中的每一步推理都要有根据．

［师］同学们讨论得真棒，通过分组活动，解决了具有能反映本章内容的一串问题．现在来梳理一下本章的知识结构图．（出示投影片“回顾与思考”C）

［师］好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容．

Ⅲ．课堂练习

（一）课本P203复习题A组1~7

图6－70

1．将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？

研究发现，并非对角线最短．而是如图6－70的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？

答案：

能．

证明：

∵四边形ABCD是正方形（已知）

∴∠DAB=90°（正方形的性质）

∵∠DAE=30°（已知）

∴∠EAB=60°（等式性质）

∵∠AEF=120°（已知）

∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质）

∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

图6－71

2．已知，如图6－71，直线a,b被直线c所截，a∥b．

求证：

∠1+∠2=180°

证明：

∵a∥b（已知）

∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠3=∠2（对顶角相等）

∴∠1+∠2=180°（等量代换）

图6－72

3．已知，如图6－72，∠1+∠2=180°,

求证：

∠3=∠4．

证明：

∵∠2=∠5（对顶角相等）

∠1+∠2=180°（已知）

∴∠1+∠5=180°（等量代换）

∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）

4．回答下列问题

（1）三角形的一个内角一定小于180°吗？

一定小于90°吗？

（2）一个三角形中最多有几个直角？

最多有几个钝角？

（3）一个三角形的最大角不会小于60°，为什么？

最小角不会大于多少度？

答案：

（1）是不一定

（2）一个一个

（3）如果一个三角形的最大角小于60°，则这个三角形的三个内角的和将小于180°，所以一个三角形的最大角不会小于60°．

最小角不会大于60°．

图6－73

5．“作一个立方体使它的体积等于已知立方体的2倍”，这是数学史上三个著名问题之一．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出这样的立方体的．在探索这一问题的过程中，有人曾利用过如图6－73所示的图形．

其中AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，2PD=PA．如果∠A=α，那么∠ABP和∠PCD等于多少？

解：

∵AC⊥BD（已知）

∴∠APB=90°（垂直的定义）

∵∠A+∠APB+∠ABP=180°（三角形的内角和定理）

∠A=α

∴∠ABP=90°－α（等式的性质）

∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）

∴∠ABC+∠BCD=180°（等式的性质）

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）

∵∠A=α（已知）

∴∠PCD=α（等量代换）

图6－74

6．已知，如图6－74，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：

∠EGH>∠ADE．

证明：

∵DE∥BC（已知）

∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）

∵∠EGH是△FBG的一个外角（已知）

∴∠EGH>∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠EGH>∠ADE（等量代换）

7．已知，如图6－75，直线AB∥ED．

求证：

∠ABC+∠CDE=∠BCD．

（1）

（2）

图6－75

本题有多种证法．

证法一：

（如图6－75

（1））过点C作CF∥AB．

∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥ED（已知）

∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）

∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）

∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）

即：

∠BCD=∠ABC+∠CDE

证法二：

（如图6－75

（2）），延长BC交DE于F点

∵AB∥DE（已知）

∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等）

∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知）

∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）

∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）

Ⅳ．课时小结

本节课我们复习了第六章“证明

（一）”的主要内容．大家要掌握证明的基本步骤，要会灵活添加辅助线，把条件和结论联系起来．还要会应用平行线的性质，判定及三角形的内角和定理、推论来解决一些证明、计算问题．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P205复习题B组1~5

（二）写一份小结，总结自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方．

Ⅵ．活动与探究

图6－76

1．已知，如图6－76，∠B=32°,∠D=38°,AM、CM分别平分∠BAD、∠BCD，求∠M的度数．

你能把它一般化吗？

你会证明如下结论吗？

AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD．

求证：

∠M=

（∠B+∠D）

［过程］让学生在探索的活动过程中，体会由特殊到一般的过程．培养他们分析、综合、归纳的能力．

［结果］解：

∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD．

∴∠BAM=

∠BAD，∠MCB=

∠BCD．

∵∠B+∠BAD+∠AFB=180°

∠D+∠BCD+∠DFC=180°

∠AFB=∠DFC

∴∠B+∠DAB=∠D+∠BCD

∴∠DAB－∠BCD=∠D－∠B

∵∠BEM=∠M+∠BCM，

∠BEM=∠B+∠BAM

∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM

∴∠M=∠B+∠BAM－∠BCM

=∠B+

（∠DAB－∠BCD）

=∠B+

（∠D－∠B）

=

（∠B+∠D）

∵∠B=32°∠D=38°

∴∠M=

（32°+38°）=35°

板书设计

回顾与思考

一、问题串

二、知识结构图

三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业