初一数学.docx

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初一数学

有理数中的“非负性”问题

我们知道：

有理数中，任何数的绝对值和偶次方都是一个“非负数”，即

≥0，

≥0（n为整数）。

我们称其具有非负性。

这两条性质常作为求解很多有理数问题的隐含条件，我们要熟练掌握。

一、绝对值的非负性

例1若m、n满足

，则－ｍ·ｎ=          。

解：

∵

，

 又

∴3m－６＝０　ｎ+４＝０　∴ｍ＝２　ｎ＝－４

∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８　。

例2若

，

求：

的值

解：

∵

，

又

   ∴a－１＝０　ａｂ－２＝０　∴ａ＝１　ｂ＝２

　　原式＝

　　　　＝

　　　　＝１－

＝

二、偶次幂的非负性

例３已知

，求：

⑴

；　　⑵　

解：

∵

，

　又

∴ｘ－２＝０　３－ｙ＝０　∴ｘ＝２　ｙ＝３

⑴

＝

＝８　　⑵　

＝

　　由上面三道例题，我们可以看出：

绝对值、偶次幂的非负性通常都是作为隐含条件出现的。

解答这类问题的一般步骤是：

①先根据绝对值或偶次幂的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。

求解时，还要注意突出分析过程，而不能直接赋值计算。

解读近似数的精确度

近似数的精确度表示近似数与准确数的接近程度。

精确度有两种表示形式：

一是用精确到哪一位（精确位）表示，一是用保留几个有效数字（有效数字）表示。

精确度的两种表示形式的实际意义及取值要求是不一样的，在学习时要加以区别。

一、解读“精确到哪一位”

⑴对一个数取近似数，要求精确到某一个数位，我们就将所要求精确到的数位后一位数字“四舍五入”得到近似数。

该近似数最后一位数是由“四舍五入”得到的数，最后一位数所在的数位即是精确到的数位。

如：

近似数3.52，最后一位数字2是由“四舍五入”得到的数，2所在的数位为百分位，即近似数3.52精确到百分位。

又如：

9989.653（精确到个位）的近似数，将个位后的十分位上的6“四舍五入”，近似数为9990。

1.35835（精确到0.001）的近似数，将千分位后的万分位上的3“四舍五入”，近似数为1.358。

⑵精确到哪一位表示的实际意义：

主要用于表示近似数与准确数之间误差绝对值的大小。

例如，在测量长度时，精确到0.1米，说明结果与实际相差不大于0.05米。

⑶确定用科学记数法表示的近似数、带数量级单位的近似数精确到哪一位时，要先将该数还原成原来的数，再看它最后一个数字所在的数位即精确到哪一位。

如近似数1.230×106，还原成原数为1230000，最后一位数字0所在的数位为千位，因此近似数1.230×106精确到千位（而不是千分位！

）。

近似数5.04万，还原成原数为50400，最后一个数字4所在的数位为百位，因此近似数5.04万精确到百位（而不是百分位！

）。

⑷近似数的最后一位数字是由“四舍五入”得到的数，根据近似数可以确定准确数的取值范围。

一般地，近似数m所表示的准确数a的范围是：

m－精确位后一位的5个单位≤a＜m+精确位后一位的5个单位。

如近似数8.40所表示的准确数a的范围是8.40－0.005≤a＜8.40+0.005，即8.395≤a＜8.405

二、解读有效数字

⑴从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

有效数字的起止，尤其要注意先确定出“左边第一个非0的数”。

“左边第一个非0的数”前面的0，都不是有效数字；“左边第一个非0的数”后面的0，则都是有效数字。

如：

近似数0.005070的有效数字，“左边第一个非0的数”为5，5前面的0不是有效数字，5后面的0是有效数字，因此近似数0.005070的有效数字有5、0、7、0共4个。

⑵有效数字的实际意义：

主要用于比较几个近似数哪个更精确一些。

一般地保留的有效数字越多越精确。

如对圆周率取近似数，保留3个有效数字所得的3.14，比保留两个有效数字所得的3.1更精确。

⑶按有效数字要求取近似数，一般要保留几位有效数字，就从“左边第一个非0的数”开始向右数到要保留的有效数字位数后一个数字进行“四舍五入”。

最后一个有效数字为由“四舍五入”得到的数。

观察最后一位有效数字的后一位数字，可得到近似数m所表示的准确数a的取值范围。

m－最后一位有效数字后一位的5个单位≤a＜m+最后一位有效数字后一位的5个单位。

如：

保留三个有效数字得21.0的近似数，其准确数的取值范围是         

最后一个有效数字0是“四舍五入”得到的数，所在数位为十分位，因此21.0－0.05≤a＜21.0+0.05，即20.95≤a＜21.05。

⑷科学记数法表示的近似数的有效数字，仅是指a×10n中a的有效数字；带数量级单位的近似数的有效数字，则不考虑数量级所表示的0的个数。

如：

近似数9.601×1010的有效数字为4个，分别是9、6、0、1。

近似数3.45万的有效数字为3个，分别是3、4、5。

⑸近似数最后一个有效数字所在的数位，即表示近似数“精确到哪一位”。

如：

把0.0503045保留4个有效数字所得的近似数精确到    位。

“左边第一个非0的数”为5，从5开始向右数至第五个数为4，对4“四舍五入”得近似数为0.05030，最后一个有效数字为0，所在的数位为十万分位。

故把0.0503045保留4个有效数字所得的近似数精确到十万分位。

重新认识“钟面角”

日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角（即“钟面角”）问题可能并没有在意．其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧．

一、认识“钟面角”

要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．

⑴钟表的表面特点：

钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．

⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：

时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．

⑶时针、分针、秒针的转速：

有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：

①钟表的时针转速为：

30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：

6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：

6°/秒．

有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了．

二、解决与钟面角有关的数学问题

　　⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度

⑴公式法：

时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．

⑵观察法：

若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：

30a+6b°．

例1.⑴从3：

15到7：

45，时针转过       度．

⑵从1：

45到2：

05，分针转过       度．

分析：

⑴从3：

15到7：

45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：

4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）

   或用观察法：

时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：

4×30+2.5×6=135°．

⑵从1：

45到2：

05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：

20×6°=120°．

   或用观察法：

分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：

4×30°=120°（或：

20×6°=120°）．

　　⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角

⑴求差法：

以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．

⑵观察法：

某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．

例2．⑴4：

00点整，时针、分针的夹角为        ．

    ⑵11：

40，时针、分针的夹角为         ．

分析：

⑴4：

00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：

4×30°=120°．

⑵①作差法：

11：

40，以0点（12时）为基准

时针转过的角度为：

11

×30°=350°

分针转过的角度为：

40×6°=240°

∴时针、分针的夹角为：

350°－240°=110°

②观察法：

11：

40分针、时针相隔3

个大格，∴时针、分针的夹角为：

3

×30°=110°

　　⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间

方程思想：

时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．

相等关系：

①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）

②或：

分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角

例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？

（课本习题P114页第8题）

在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：

⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．

　　分析：

⑴重合：

设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．

    从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有

    6x－0.5x=90           解得：

x≈16

⑵分针与时针成平角：

设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有

    6x－0.5x=90+180       解得：

x≈49

⑶分针与时针成直角：

应分两种情况讨论．

①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有

    6x－0.5x=90+90180       解得：

x≈33

②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有

    6x－0.5x=90+90180       解得：

x≈65（不合题意，舍去）

　　⒋钟面角的综合应用

例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？

分析：

△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．

12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有

6x—0.1x=90      解得x=15

即经过15

秒后，△OAB的面积第一次达到最大．

一元一次方程应用题分类讲评

一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。

主要困难体现在两个方面：

一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。

事实上，方程就是一个含未知数的等式。

列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。

而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。

由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。

1.行程问题

行程问题中有三个基本量：

路程、时间、速度。

关系式为：

①路程=速度×时间；②速度=

；③时间=

。

可寻找的相等关系有：

路程关系、时间关系、速度关系。

在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。

如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在航行问题中很多时候还用速度作相等关系。

航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：

①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系：

顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。

例１．某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。

问往返共需多少时间？

讲评：

这一问题实际上分为两个过程：

①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。

在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒，则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。

由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有：

                  3x－1.5x=450   ∴x=300      

在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有：

   3y+1.5y=450   ∴y=10 

故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒）

例2汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：

若每小时行驶45km，就可以早到半小时。

求A、B两地的距离。

讲评：

先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”。

在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。

本题中，设A、B两地的路程为xkm，速度为40km/小时，则时间为

小时；速度为45km/小时，则时间为

小时，又早到与晚到之间相隔1小时，故有

－

=1          ∴　x=360

　　例3一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2km。

求甲、乙两地之间的距离？

讲评：

设甲、乙两地之间的距离为xkm，则顺流速度为

km/小时，逆流速度为

km/小时，由航行问题中的重要等量关系有：

－２=

 +2               ∴x=96

　　2.工程问题

工程问题的基本量有：

工作量、工作效率、工作时间。

关系式为：

①工作量=工作效率×工作时间。

②工作时间=

，③工作效率=

。

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为

。

常见的相等关系有两种：

①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。

②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。

在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

例4．加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。

问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

 讲评：

将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为

，乙的工作效率为

，设乙需工作x天，则甲再继续加工（12－x）天，乙完成的工作量为

，甲完成的工作量为

，依题意有 

+

=1  ∴x=8

例5．收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。

收割了

后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。

因此比预计时间提前1小时完工。

求这块麦地有多少亩？

讲评：

设麦地有x亩，即总工作量为x亩，改用新式工具前工作效率为4亩/小时，割完x亩预计时间为

小时，收割

亩工作时间为

/4=

小时；改用新式工具后，工作效率为1.5×4=6亩/小时，割完剩下

亩时间为

/6=

小时，则实际用的时间为（

+

）小时，依题意“比预计时间提前1小时完工”有

－（

+

）=1      ∴x=36 

例6.一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。

现在三管齐开，需多少时间注满水池？

   讲评：

由题设可知，甲、乙、丙工作效率分别为

、

、－

（进水管工作效率看作正数，排水管效率则记为负数），设ｘ小时可注满水池，则甲、乙、丙的工作量分别为

，

、－

，由三水管完成整体工作量1，有     

+

－

＝1  ∴　x=5

　　3．经济问题 

与生活、生产实际相关的经济类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。

经济类问题主要体现为三大类：

①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题。

这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。

⑴销售利润问题。

利润问题中有四个基本量：

成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

基本关系式有：

①利润=销售价（收入）－成本（进价）【成本（进价）=销售价（收入）－利润】；②利润率=

【利润=成本（进价）×利润率】。

在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。

打折问题中常以进价不变作相等关系。

⑵优惠（促销）问题。

日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。

这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。

并以求得的数值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。

⑶存贷问题。

存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。

存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。

其关系式有：

①利息=本金×利率×期数；②利息税=利息×税率；③本息和（本利）=本金+利息－利息税。

例7.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。

如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？

讲评：

设销售价每件x元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（5×10+40×12.5），利润率为12％，利润为（5×10+40×12.5）×12％。

由关系式①有 

（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％   ∴x=14.56 

例8.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。

问这种商品的定价是多少？

讲评：

设定价为x元，七五折售价为75％x，利润为－25元，进价则为75％x－（－25）=75％x+25；九折销售售价为90％x，利润为20元，进价为90％x－20。

由进价一定，有

    75％x+25=90％x－20          ∴x=30 

例9.李勇同学假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。

整存整取，年利息为2.16％。

取款时扣除20％利息税。

李勇同学共得到本利504.32元。

问半年前李勇同学共存入多少元？

讲评：

本题中要求的未知数是本金。

设存入的本金为x元，由年利率为2.16％，期数为0.5年，则利息为0.5×2.16％x，利息税为20％×0.5×2.16％x，由存贷问题中关系式③有   x+0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32  ∴x=500 

例10.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？

讲评：

购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。

设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为（200+80％x）元，不买卡花费金额为x元，故有

200+80％x=x      ∴ x=1000

当x＞1000时，如x=2000 买卡消费的花费为：

200+80％×2000=1800（元）

                         不买卡花费为：

2000（元） 此时买卡购物合算。

当x＜1000时，如x=800  买卡消费的花费为：

200+80％×800=840（元）

                         不买卡花费为：

800（元）    此时买卡不合算。

4.溶液（混合物）问题

溶液（混合物）问题有四个基本量：

溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。

其关系式为：

①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；②浓度=

×100％=

×100％【纯度（含量）=

×100％=

×100％】；③由①②可得到：

溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）。

在溶液问题中关键量是“溶质”：

“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。

例11.把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，某同学未经考虑先加了300克水。

⑴试通过计算说明该同学加水是否过量？

⑵如果加水不过量，则应加入浓度为20％的酒精多少克？

如果加水过量，则需再加入浓度为95％的酒精多少克？

讲评：

溶液问题中浓度的变化有稀释（通过加溶剂或浓度低的溶液，将浓度高的溶液的浓度降低）、浓化（通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液，将低浓度溶液的浓度提高）两种情况。

在浓度变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量，并结合有关公式进行分析，就不难找到相等关系，从而列出方程。

本题中，⑴加水前，原溶液1000克，浓度为80％，溶质（纯酒精）为1000×80％克；设加x克水后，浓度为60％，此时溶液变为（1000+x）克，则溶质（纯酒精）为（1000+x）×60％克。

由加水前后溶质未变，有（1000+x）×60％=1000×80％

     ∴x=

＞300    ∴该同学加水未过量。

⑵设应加入浓度为20％的酒精y克，此时总溶液为（1000+300+y）克，浓度为60％，溶质（纯酒精）为（1000+300+y）×60％；原两种溶液的浓度分别为1000×80％、20％y，由混合前后溶质量不变，有（1000+300+y）×60％=1000×80％+20％  ∴y=50 

5.数字问题 

数字问题是常见的数学问题。

一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：

任何数=∑（数位上的数字×位权），如两位数

=10a+b；三位数

=100a+10b+c。

在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。

例12.一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。

求这个数。

讲评：

设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（x+7），这个三位数则为100（x+7）+10x+3x。

依题意有（x+7）+x+3x=17 ∴x=2 

∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926

例13.一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。

讲评：

这个六位数最高位上的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每个数位上的数字被扩大10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。

设除去最高位上数字1后的5位数为x，则原数为10

+x，移动后的数为10x+1，依题意有 10x+1=1