冀教版八年级上第13章《全等三角形》全章教学案含答案文档格式.docx
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1.让学生弄清命题的条件和结论,熟悉命题的形式.
2.理解逆定理和证明的概念,能进行简单的证明.
【难点】 理解证明的必要性.
【教师准备】 课件1~5.
【学生准备】 复习以前学过的几何定理等知识.
导入一:
情境:
小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
小亮:
“哈!
这个黑客终于被逮住了.”
小刚:
“是的,现在网络广泛应用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…”.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话,一边也在悄悄议论着.
“这个黑客是小偷吗?
”
“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”
你听完这节片段的故事,有何想法?
同学们各抒己见,老师给予同学的各种回答评价后,发表自己的看法:
在日常生活中,我们会遇到许多概念,假如不对这些概念下定义,别人就无法理解这些概念的含义,以致无法正常地进行交流.同样,在数学学习中,要进行严格的论证,也必须首先对所涉及的概念下定义.本节我们就一起学习命题与证明.
导入二:
在电影《流浪者》中,法官和流浪者有这样一段对话,法官说:
“贼的儿子永远是贼,因为你是贼的儿子,所以永远是贼.”同学们,法官这个推理对吗?
显然是错误的,你知道这个荒谬的结论错在哪里吗?
学完本节课“命题与证明”你就会明白了.
[设计意图] 通过风趣幽默的对话,让学生感知证明的重要性,从而激发学生的求知欲望,能够更好地投入到本节课的学习之中,为学习本节课的知识做好铺垫.
导入三:
师:
我们已经学过一些图形的特性,如“三角形的内角和等于180度”“三条边相等的三角形是等边三角形”等.根据我们已学过的图形的特性,试判断下列句子是否正确.
1.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
2.两直线平行,同位角相等.
3.同旁内角相等,两直线平行.
4.平行四边形的四条边相等.
5.直角都相等.
[设计意图] 通过对以前学过知识的掌握能够判断一个命题的真假,初步感知真命题和假命题,从而自然地引入新知.
活动一:
真假命题与互逆命题
思路一
【课件1】 观察下面两个命题:
（1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
（2）两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线平行,那么同位角相等.
引导学生思考:
（1）在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论,与另一个命题的条件和结论有怎样的关系?
（2）请再举例说明两个具有这种关系的命题.
归纳:
像这样,一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题.
在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.
让学生完成教材第32页“做一做”,指出原命题和逆命题的真假性.
教师在学生思考的基础上指导学生注意语言的规范性和逻辑性.
[知识拓展] 每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件改成结论,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命题,但有很多命题的逆命题并不是简单地将原命题的条件与结论互换,必须正确运用数学语言.
强调:
每个命题都有逆命题,但原命题正确,它的逆命题未必正确.要说明一个命题是假命题,只要举出反例就可以了.
例如:
“若,则a=b”这个命题是假命题,只要举出两个数的绝对值相等,但这两个数不相等的情况就可以判断这个命题是假命题.如:
但5≠-5.
让学生举出反例说明:
“如果a+b>
0,那么a-b>
0”是个假命题.
[设计意图] 明确真、假命题与互逆命题,通过区分两类概念,从中体会要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例就可以了,培养学生举反例进行说明的能力.
思路二
[过渡语] 刚才通过实例,我们初步了解了推理的重要性,首先我们来学习真假命题与互逆命题.
1.命题的条件和结论
教师讲解:
在数学中,许多命题是由已知条件、结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可以改写成“如果……那么……”的形式,用“如果”开始的部分是条件,“那么”开始的部分是结论.
有的命题的条件和结论不十分明显,可以将它写成“如果……那么……”的形式,就可以分清它的条件和结论了.例如:
命题“直角都相等”可以写成“如果两个角是直角,那么这两个角相等”.
【课件2】 下列命题的条件是什么?
结论是什么?
（1）对顶角相等.
（2）如果a>
b,b>
c,那么a=c.
引导学生把
（1）先改写成“如果……那么……”的形式,再确定条件和结论.
解:
（1）条件:
两个角是对顶角.结论:
这两个角相等.
（2）条件:
a>
c,结论:
a=c.
2.真假命题
[过渡语] 命题有真命题和假命题,真命题就是条件成立,结论也一定成立的命题;
而假命题是条件成立时,不能保证结论总是成立的命题.请同学们看下面的问题.
【课件3】 判断下列句子是否正确.
（1）三角形的内角和是180度.
（2）同位角相等.
（3）同角的余角相等.
（4）一个锐角与一个钝角的和是180度.
让学生根据已有的知识进行判断,并说明理由.
3.互逆命题
例如“两直线平行,内错角相等”这个命题,条件为“如果两条直线被第三条直线所截,且两直线平行”,结论是“那么内错角相等”.如果把这个命题的条件和结论互换一下位置,新句子也是一个命题,这时条件为“如果两条直线被第三条直线所截,内错角相等”,结论变为“那么这两条直线平行”.这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题,前一个命题也是后一个命题的逆命题.这两个命题互为逆命题.
一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做这个原命题的逆命题.
活动二:
证明与互逆定理
[过渡语] 要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已经学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理叫做证明.
【课件4】 证明:
平行于同一条直线的两条直线平行.
让学生首先判断这个命题的真假性,引导学生分析讨论证明的方法.
说明:
教师要重点关注学生的证明过程的书写是否符合要求.
已知:
如图所示,直线a,b,c,a∥c,b∥c.
求证:
a∥b.
证明:
如图所示,作直线d,分别与直线a,b,c相交.
∵a∥c（已知）,
∴∠1=∠2（两直线平行,同位角相等）.
∵b∥c（已知）,
∴∠2=∠3（两直线平行,同位角相等）.
∴∠1=∠3（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等,两直线平行）.
即平行于同一条直线的两条直线平行.
一般地,证明命题按如下步骤进行:
（1）依据题意画图,将文字语言转换为符号（图形）语言;
（2）根据图形写出已知、求证;
（3）根据基本事实、已有定理等进行证明.
如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理.这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等”和它的逆命题“内错角相等,两直线平行”都是真命题,所以它们都是定理,因此它们就是互逆定理.
你能举出我们学过的一些互逆定理吗?
一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.例如:
“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.
指导学生完成教材第33页“做一做”.
【课件5】 已知:
如图所示,点O在直线AB上,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线.
OD⊥OE.
∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,
∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC,
∴∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=180°
=90°
即∠DOE=90°
∴OD⊥OE.
[设计意图] 通过做一做锻炼学生的逻辑思维能力,巩固所学的知识,同时培养学生的合作探究精神和归纳总结的能力,让学生理解定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据.
命题的组成
每一个命题都是由条件和结论两部分组成的,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.
注意:
对每一个讨论的命题,其条件和结论不一定只有一个.
真命题、假命题、反例
正确的命题称为真命题;
错误的命题称为假命题;
举一个例子,其具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.
要说明一个命题是假命题,通常举出反例来说明.
互逆命题与互逆定理
一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.
任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定理.
证明的一般步骤
（1）画图;
（2）写出已知、求证;
（3）证明.
证明要做到有理有据.
1.下列命题的逆命题一定成立的是（ ）
①对顶角相等;
②同位角相等,两直线平行;
③若a=b,则|a|=|b|;
④若x=3,则x2-3x=0.
A.①②③B.①④C.②④D.②
解析:
①对顶角相等,逆命题为:
相等的角为对顶角,错误;
②同位角相等,两直线平行,逆命题为:
两直线平行,同位角相等,正确;
③若a=b,则|a|=|b|,逆命题为:
若|a|=|b|,则a=b,错误;
④若x=3,则x2-3x=0,逆命题为:
若x2-3x=0,则x=3,错误.故选D.
2.命题:
②垂直于同一条直线的两直线平行;
③相等的角是对顶角;
④同位角相等.其中假命题有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
对顶角相等,所以①为真命题;
在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,所以②为假命题;
相等的角不一定是对顶角,所以③为假命题;
两直线平行,同位角相等,所以④为假命题.故选C.
3.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;
④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
其中真命题的是 .（填写所有真命题的序号）
分析所给命题是否为真命题,需要分析条件是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.故填①②④.
4.命题“如果n是整数,那么2n是偶数”的条件是 ,结论是 ,这是 命题（填“真”或“假”）.
命题写成“如果…,那么…”的形式时,“如果”后面接的部分是条件,“那么”后面接的部分是结论.依此可写出命题“如果n是整数,那么2n是偶数”的条件和结论.根据偶数的定义可知该命题是真命题.
答案:
n是整数 2n是偶数 真
5.如图所示,直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面三个条件中,请你选择其中两个作为条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题并证明.
①AB⊥BC,CD⊥BC,②BE∥CF,③∠1=∠2.
可以由①②得到③:
由AB⊥BC,CD⊥BC得到AB∥CD,利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB,又BE∥CF,所以∠EBC=∠FCB,所以∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,即∠1=∠2.
（答案不唯一）已知:
如图所示,AB⊥BC,CD⊥BC,BE∥CF.
∠1=∠2.
∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,
又∵BE∥CF,∴∠EBC=∠FCB,
∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,
∴∠1=∠2.
一、教材作业
【必做题】
教材第34页练习第1,2题.
【选做题】
教材第34页习题第1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列语句中,不是命题的是（ ）
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.连接A,B两点
2.举一个反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,其中错误的是（ ）
A.设这个角是45°
它的余角是45°
但45°
=45°
B.设这个角是30°
它的余角是60°
但30°
<
60°
C.设这个角是60°
它的余角是30°
D.设这个角是50°
它的余角是40°
但40°
50°
3.以下说法正确的有:
（只填序号）.
①垂线段最短;
②在平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③“同旁内角互补,两直线平行”的条件是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行”;
④过一点有且只有一条直线平行于已知直线.
4.已知下列命题:
①相等的角是对顶角;
②互补的两个角一定是一个锐角,另一个是钝角;
③在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行;
④互为邻补角的两角的平分线互相垂直.其中正确命题的序号是 .
【能力提升】
5.命题:
若a>
b,则.
（1）请判断这个命题的真假,若是真命题,请证明;
若是假命题,请举一个反例.
（2）若这个命题是假命题,请你适当修改命题的条件,使其成为一个真命题.
【拓展探究】
6.对于有理数a,b,规定一种新运算:
a
b=a·
b+b.有下列命题:
①（-3）
4=-8;
②a
b=b
a;
③方程（x-4）
3=6的解为x=5;
④（4
3）
2=4
（3
2）.
其中正确命题的序号是 .（把所有正确命题的序号都填上）
7.如图所示,现有以下3个条件:
①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请以其中2个作为条件,第3个作为结论构造命题.
（1）你构造的是哪几个命题?
（2）你构造的命题是真命题还是假命题?
请加以证明.
【答案与解析】
1.D（解析:
命题是能够判断出正确或错误的句子,所以它必须对某件事情进行判断.）
2.B（解析:
反例一般是举符合条件但结论不成立的例子.）
3.①②③（解析:
垂线段最短,所以①正确;
在平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c,所以②正确;
“同旁内角互补,两直线平行”的条件是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行”,所以③正确;
过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线,所以④错误.）
4.③④（解析:
①相等的角是对顶角,错误,因为对顶角既要考虑大小,还要考虑位置;
②互补的两个角,一个为锐角,另一个为钝角,错误,还有可能是两个直角;
③在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行,是平行公理,正确;
④互为邻补角的两角的平分线互相垂直,正确.所以只有③④命题正确.）
5.解:
（1）假命题.如a=1,b=-2符合a>
b,但不满足.
（2）改成:
b>
0,则或若0>
6.①③（解析:
（-3）
4=-3×
4+4=-8,所以①
正确;
b=ab+b,b
a=ab+a,所以②错误;
方程（x-4）
3=6可化为3（x-4）+3=6,解得x=5,所以③正确;
（4
2=（4×
3+3）
2=15
2=15×
2+2=32,4
2）=4
（3×
2+2）=4
8=4×
8+8=40,所以④错误.故填①③.）
7.解:
（1）①②为条件,③为结论;
①③为条件,②为结论;
②③为条件,①为结论.
（2）∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF,∵∠B=∠C,∴∠C=∠CDF,∴CE∥BF,∴∠E=∠F,所以由①②为条件,③为结论组成的命题是真命题.∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF,∵∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠C=∠CDF,∴∠B=∠C,所以由①③为条件,②为结论组成的命题是真命题.∵∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠C=∠CDF,∵∠B=∠C,∴∠B=∠CDF,∴AB∥CD,所以由②③为条件,①为结论组成的命题是真命题.
本节课的主要内容是命题、定理、证明.为此,在导入时让学生通过生动的情境导入,提高了学生学习的兴趣,激发了学生的好奇心.整个过程以学生与学生、学生与教师之间的“对话”“讨论”为出发点,以互助、合作为手段,以解决问题为目的,让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向,判断发现的价值.本课的内容比较简单,但概念较多,因此在学习之后设计了大量练习,让学生在练习中巩固所学知识,加深对概念的理解和运用.
本节涉及的概念较多,在概念的传授上,教师没有做到成功引导,虽然有引导的内容,但实际效果不佳.在判断一些较难命题的条件和结论时判断不够准确,语言表达不够清晰,对于定理部分的内容介绍较少.
1.加强对概念的剖析和引导,要注意它们的联系和区别,可组织学生讨论发现,这样学生通过小组的研讨,能够增强他们对概念的认识和理解.
2.通过多举例,让学生发现命题、定理的区别,掌握定理的应用价值.
3.对于命题的剖析,要让学生尽量做到语言表述的严谨性,鼓励学生互相补充,同时,多加练习.
练习（教材第34页）
1.解:
（1）如果两个角相等,那么这两个角是直角.它是假命题,如∠1=50°
∠2=50°
∠1=∠2≠90°
.
（2）如果两个角的和是平角,那么这两个角一个是锐角,一个是钝角.它是假命题,如∠1=90°
∠2=90°
∠1+∠2=180°
但∠1和∠2都是直角. （3）如果两个角相等,那么这两个角是同角（或等角）的余角.它是假命题,如∠α=∠β=130°
>
90°
∠α和∠β不可能是某个角（或某两个相等的角）的余角. （4）如果两个角相等,那么这两个角是同角（或等角）的补角.它是假命题,如∠α=∠β=200°
180°
∠α和∠β不可能是某个角（或某两个相等的角）的补角. （5）如果两个数的和等于0,那么这两个数是互为相反数的两个非0数.它是假命题,如a=0,b=0,a+b=0,但a,b不为非0数. （6）能被2整除的数一定是偶数.它是真命题.（证明略）
2.证明:
如图所示,∵∠1+∠2=180°
（已知）,∠1=∠3（对顶角相等）,∴∠3+∠2=180°
（等量代换）,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）.
习题（教材第34页）
1.证明:
∵点C是线段AD的中点（已知）,∴AD=2CD（线段中点的定义）.又∵点D是线段CB的中点,∴CB=2CD（线段中点的定义）,∴AD=CB（等量代换）.
∵∠AOB=∠A'
O'
B'
（已知）,∠1=∠3（已知）,∴∠AOB-∠1=∠A'
-∠3（等式的性质）,即∠2=∠4.
3.解:
∵DE∥BC（已知）,∠ADE=50°
（已知）,∠C=70°
（已知）,∴∠B=∠ADE=50°
（两直线平行,
同位角相等）,∠DEC+∠C=180°
（两直线平行,同旁内角互补）,∴∠DEC=180°
-∠C=180°
-70°
=110°
1.初中数学命题的三个特征
命题是对某一事件作出正确或不正确判断的语句.正确理解命题的关键是要抓住它的三个特征,下面举例分析.
下列各语句中,哪些是命题?
哪些不是命题?
（1）相等的角是直角.
（2）直线是没有长度的.
（3）明天会下雨吗?
（4）两条直线被第三条直线所截.
（5）作直线AB∥CD.
（1）
（2）是命题,因为它们都是具有判断性的语句.（3）（4）（5）都不是命题,因为它们都不是判断性语句,（3）是疑问句,（5）是叙述一个过程的语句.
2.数学命题有真假之分
正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.要判断一个命题是真命题需要进行证明,而判断一个命题是假命题只要举出一个反例就可以.
下列各命题是真命题还是假命题?
（1）有公共顶点的两个角是对顶角.
（2）四边形的内角和是360度.
（3）内错角相等.
不能认为肯定的命题就是真命题,否定的命题就是假命题.
（1）假命题.如图1所示,∠1和∠2是有公共顶点的两个角,但∠1和∠2并不是对顶角.
（2）真命题.如图
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