三年级数学思维训练上.docx

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三年级数学思维训练上

第一讲和倍问题

（一）知识要点

和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题。

此类题我们常采用画线段图的方法解答。

解答此类题首先要找倍数关系，通过倍数关系画出线段图，然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和。

于是根据图产生这样的思路：

相对小的数自己是自己的一倍，而相对大的数是相对小的数的几倍,当然俩个数相等时这个几就是1），那么就有大数和小数的和就是小数的几+1倍，又因为大数和小数的和已知，于是这个题就变成了一个简单的，已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题。

从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数，我们简称为1倍数.

（二）例题选讲

例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

[精妙解答]

160÷（3+1）=40（本）-------作为一倍数的乙班的

40×3=120（本）----------根据题意关系求的甲班的

或者：

160-40=120（本

答：

甲班有图书120本，乙班有图书40本

例2甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。

已知甲车的速度是乙车速度的2倍。

甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？

[精彩思路]

已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。

现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。

由题意知两辆车2时共行360千米，故1时共行360÷2＝180（千米），这就是两辆车的速度和。

[精妙解答]

乙车的速度为

　　（360÷2）÷（2＋1）=60（千米/时），

　　甲车的速度为

　　60×2=20（千米/时），或180-60=120（千米/时）。

　　答：

甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。

　　从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数（即小数）是谁，“和”是谁。

例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。

下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。

　　例3甲队有45人，乙队有75人。

甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？

[精彩思路]

容易求得“二数之和”为45＋75=120（人）。

如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数（即小数）是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。

这个“1倍”数是谁？

根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。

倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。

由此画出线段图如下：

从图中看出，把甲队中“？

”人调入乙队后，

（45＋75）就是甲队剩下人数的3＋1＝4（倍）。

从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。

由和倍公式可以求解。

　[精妙解答]

甲队调动后剩下的人数为

　　（45＋75）÷（3＋1）＝30（人），故甲队调入乙队的人数为45-30＝15（人）。

答：

甲队要调15人到乙队。

　　例4妹妹有书24本，哥哥有书53本。

要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？

　　仿照例3的分析可得如下解法。

　　[精妙解答]

兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的（6＋1）倍，根据和倍公式，妹妹剩下

　　（53＋24）÷（6＋1）＝11（本）。

故妹妹给哥哥书24-11＝13（本）。

　　答：

妹妹给哥哥书13本。

　　例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。

后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。

这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。

问：

原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？

[精彩思路及解答]

这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。

但这里的“和”不是160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。

线段图如下：

根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇（即“1倍”数）

　　（160-20＋10）÷（5＋1）＝25（个），

　　故小灰兔原有蘑菇25-10＝15（个），大白兔原有蘑菇

　　160-15＝145（个）。

　　答：

原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。

　　练习

[初试牛刀]

　　1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。

小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？

　　2.一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。

猪、牛肉各卖了多少千克？

3.甲、乙两桶汽油共84千克。

如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。

甲、乙两桶原有汽油各多少千克？

[挑战自我]

　　1.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。

已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。

甲、乙各生产了多少个零件？

　　2.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。

要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？

　　3.红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。

已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？

第二讲还原问题

（三）知识要点

对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。

这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。

（四）例题选讲

例1有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。

问：

这个数是几？

[精彩思路]

这个问题是由（□×4—46）÷3—10＝4，

　　求出□。

我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。

　　[精妙解答]

［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。

　　答：

这个数是22。

　　例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。

问：

正确的结果应是多少？

　[精彩思路]

利用还原法。

因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。

在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。

[精妙解答]

123-4＋50＝169。

　　答：

正确的结果应是169。

　　例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。

问：

最初乐乐拿了多少棵树苗？

　[精彩思路]

先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。

学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）。

　[精妙解答]

36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。

　　答：

乐乐最初拿了28棵树苗。

　　例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。

问：

甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？

[精彩思路及解答]

尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。

根据题目条件，原来各组的图书为

　　甲组有30＋3＝33（本），

　　乙组有30—3＋5＝32（本），

　　丙组有30—5＝25（本）。

　　例5、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？

[精彩思路]

由逆推法知，第二次用完还剩下15＋7=22（米），第一次用完还剩下（22—10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。

　[精妙解答]

［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。

　　答：

这捆电线原有54米。

练习

[初试牛刀]

　　1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？

　　2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。

　　3.在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？

4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。

问：

小乐爷爷今年多少岁？

[挑战自我]

　　1.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。

问：

粮库里原有面粉多少吨？

　2.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。

这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？

　3.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。

问：

此人原有存款多少元？

第三讲巧求长方形、正方形的周长

（一）知识要点

我们知道：

　长方形、正方形的公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。

用它们可以解决许多直角多边形（所有的角都是直角的多边形）的周长问题。

这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。

下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的。

由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。

（二）例题选讲

例1一个苗圃园（如左下图），周边和中间有一些路供人行走（图中线段表示“路”），几个小朋友在里面观赏时发现：

从A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到B处。

你知道其中的道理吗？

分析与解：

如右上图所示，将各个交点标上字母。

由A处到B处，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六条路线：

（1）A→C→D→E→B；

（2）A→C→O→E→B；

　　（3）A→C→O→F→B；

　　（4）A→H→G→F→B；

　　（5）A→H→O→E→B；

　　（6）A→H→O→F→B。

　　因为A→C与H→O，G→F的路程一样长，所以可以把它们都换成A→C；同理，将O→E，F→B都换成C→D；将A→H，C→O都换成D→E；将H→G，O→F都换成E→B。

这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第

（1）条路线相同，而第

（1）条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”，也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”。

路程、速度都相同，当然到达B处的时间就相同了。

例2计算下列图形的周长（单位：

厘米）。

解：

（1）将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处（见左下图），这样正好移补成一个正方形，所以它的周长为25×4=100（厘米）。

（2）与

（1）类似，可以移补成一个长方形，周长为

（10＋15）×2=50（厘米）。

[

例3求下面两个图形的周长（单位：

厘米）。

解：

（1）与例2类似，可以移补成一个长（15＋10＋15）厘米、宽（12＋20）厘米的长方形，所以周长为

　　（15＋10＋15）×2＋（12＋20）×2＝144（厘米）。

（2）设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间，构成一个长60厘米，宽（15＋20＋15）厘米的长方形，此时，还有两条长35厘米的竖线段。

所以周长为

　　60×2＋（15＋20＋15）×2＋35×2＝290（厘米）。

　　例4在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形（重叠的线段只算画一次）。

显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法。

在所有的这些画法中，

（1）哪种画法画出的线段总长最长？

有多长？

（2）哪种画法画出的线段总长最短？

有多长？

分析与解：

画的线段重叠部分越少，画的线段就越长。

反之，重叠部分越多，画的线段就越短。

因此，类似图1那样画的线条最长，共画了

　　3×4×4=48（厘米）。

　　右图画的线条最短，共画了

　　（3＋3）×6=36（厘米）。

例5下图是一个方形螺线。

已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米，求螺线的总长度。

分析与解：

如

左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为3，5，7厘米的正方形和中间一个三边图形（见右下图）。

所以螺线总长度为

　　（3＋5＋7）×4＋1×3=63（厘米）。

（三）练习

1.试求左下图的周长（单位：

厘米）。

2.上页右下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。

试求出其周长。

3.右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度（单位：

米）。

请你算出它的周长。

4.下图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形。

求这个图形的周长。

5.下面两图中的小方格的大小相同。

图

（1）的周长为48厘米，图

（2）的周长等于多少？

6.如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形。

如果其中一个长方形的周长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？

（四）参考答案

1、移动成长3+5+4、宽6+7的长方形，所以周长=（12+13）*2=50

2、移动成5+1的长方形，没有宽、长为4的长方形，再加上4段边。

（5+1）*2+2*4+4=24

3、移动成长50、宽28+16的长方形，所以周长=（50+28+16）*2=188

4、移动成长4*3+5*3、宽5的长方形，再加上6个（5-3）

所以（12+15+5）*2+6*2=76

5、图一移动成长5宽3的长方形，周长段为（5+3）*2=16，周长为48，每段为48/16=3，图二移动后为（7+1）*2+4=20，每段为3，共60。

6、把长方形的宽看作一份，长为3份。

一个长方形的周长是8份，8份是16，1份是2，3份是6，正方形的周长是6*4=24

第四讲图形计数

（五）知识要点

小朋友，你想学会数图形的方法吗？

要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

（六）例题选讲

例题1数出下面图中有多少条线段？

[精彩思路]

我们可以采用以线段左端点分数数的方法，我们还可以把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，

[精妙解答]

采用以线段左端点分数数的方法。

以A点为左端点的线段有：

AB、AC、AD共3条；

以B点为左端点的线段有：

BC、BD共2条；

以C点为左端点的线段有：

CD共1条。

所以，图中共有线段3＋2＋1=6条。

我们还可以这样想：

把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，那么：

由1条基本线段构成的线段：

AB、BC、CD共3条；

由2条基本线段构成的线段：

AC、BD共2条；

由3条基本线段构成的线段：

AD只1条。

所以，图中共有3＋2＋1=6条线段。

例题2数出下图中有几个角。

[精彩思路]

数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。

[精妙解答]

以AO为一边的角有：

∠AOB、∠AOC、∠AOD三个；

以BO为一边的角有：

∠BOC、∠BOD两个；

以CO为一边的角有：

∠COD一个。

所以图中共有3＋2＋1=6个角。

小朋友，如果把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看作基本角，那应该怎样数呢？

动动脑筋。

例题3数出下面图中共有多少个三角形。

[精彩思路]

数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数，还可以数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了。

[精妙解答]

数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。

以AB为边的三角形有：

△ABC、△ABD、△ABE三个；

以AC为边的三角形有：

△ACD、△ACE二个；

以AD为边的三角形有：

△ADE一个。

所以图中共有三角形3＋2＋1=6个。

我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了，即3＋2＋1=6条。

所以图中共有6个三角形。

例题4数出下图中有多少个长方形。

[精彩思路]

数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有3＋2＋1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6个长方形；而AC上共2＋1=3条线段也就有6×3=18个长方形。

[精妙解答]

长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数

6×3=18（个）长方形

例题5有10个小朋友，每2个人照一张合影，一共要照多少张

[精彩思路]

这道题可以用数线段的方法来解答。

根据题意，画出线段图，每一个点代表一个小朋友：

从图上可以看出，第1个小朋友要与其余9个小朋友合影，要照9张照片；第2个小朋友还要与其余8个小朋友合影，再照8张照片……以此类推，第9个小朋友只要再与1个小朋友合影，再照1张照片。

[精妙解答]

一共要照9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=45张照片。

练习

[初试牛刀]

1，数出下图中各有多少条线段？

2，数出下图中有几个角。

3、数出下面图中共有多少个三角形。

4、数出下图中有多少个长方形。

[挑战自我]

1，三年级有6个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？

2，有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？

3，有1——6六个数字，能组成多少个不同的两位数？

[参考答案]

[初试牛刀]

1、⑴4+3+2+1=10（条）

⑵5+4+3+2+1=15（条）

2、1+2+3=6（条）

3、⑴1+2=3（个）

⑵1+2+3+4=10（个）

4、⑴（1+2+3+4）×（1+2）=30（个）

⑵（1+2+3+4）×（1+2+3）=60（个）

[挑战自我]

1、假设班号为①、②、③、④、⑤、⑥。

①班和其他班比赛的场次是：

①②、①③、①④、①⑤、①⑥，5场；

②班因为已经和①班比赛过，不能重复计算，还可以比赛的场次是：

②③、②④、②⑤、②⑥，4场；

同理，③班还可以比赛的场次是：

③④、③⑤、③⑥，3场；

同理，④班还可以比赛的场次是：

④⑤、④⑥，2场；

同理，⑤班还可以比赛的场次是：

⑤⑥，1场

共计：

5+4+3+2+1=15（次）

2、可以扎的方法：

红黄、红蓝、红白、黄蓝、黄白、黄、蓝白。

共计：

3+2+1=6（种）

3、1可以和其他5个数组成5种：

12、13、14、15、16；

2可以和其他4个数组成4种：

23、24、25、26；

3可以和其他3个数组成3种：

34、35、36；

4可以和其他2个数组成2种：

45、46；

5可以和其他1个数组成1种：

56。

与前面题目类型不同的是，这两个数可以颠倒，比如1、2，可以组成12或者21。

此题共有：

（5+4+3+2+1）×2=30（种）

第五讲和差问题

（一）知识要点

和差问题是小学数学常见的一种应用题，它在日常生活中应用很广泛，解题的关键在于找出题目中的和与差，再利用以下的数量关系式去解答，就显得容易了。

（和＋差）÷2＝较大的数；（和－差）÷2＝较少的数

或和－较大的数＝较少的数；和－较少的数＝较大的数

（二）例题选讲

[精彩思路]

[精妙解答]

（1）3△2=（3+2）÷2=2.5

[精妙思路]

[精妙解答]

[精彩思路]

[精妙解答]

[精彩思路]

[精妙解答]

[精妙思路]

[精妙解答]

练习

[初试牛刀]

1、学校做扫除，张娟和陈芳一共擦玻璃31块，又知张娟比陈芳少擦9块，张娟、陈芳各擦玻璃多少块？

2、小兰期末考试时语文和数学平均分是96分，数学比语文多4分，问小兰语文多少分？

数学多少分？

3、今年弟弟16岁，哥哥20岁，当两人的年龄和是52时，弟弟多少岁。

4、一个两位数由两个数字组成，两个数字之和是8，两个数字之差是2，这个数是多少？

[挑战自我]

1、甲框里有苹果30千克，乙框里有桔子若干千克，如果从乙框里取出12千克桔子，苹果就比桔子多10千克，乙框原有桔子多少千克。

2、甲乙两船共载客623人，若甲船增加34人，乙船少57人，这时两船乘客同样多，甲船原来有乘客多少人。

3、无线电厂、二厂共有工人864人，为了照顾工人就近上班，从一厂调入二厂32名工人，这样一厂工人数还比二厂多48，一厂、二厂原来各有工人多少人？

4、一部书有上、中、下三册，上册比中册贵5角，中册比下册贵7角，这样的四部书共值340角，上、中、下册多少角？

5、两筐苹果共重90千克，如果从第一框中取出6千克，放入第二筐后，两筐的重量相等，两筐苹果原来各多少千克？

6、两个水桶共盛水50千克，如果把第一桶里的水倒出6千克，两个水桶的水就一样多了。

第一桶原盛水多少千克？

[参考答案]

[初试牛刀]

1、陈芳；（31÷9）÷2＝20（块）张娟；20－9＝11块

2、数学（96×2＋4）＝98分语文98－4＝94分

3、弟弟【52－（20－16）】÷2＝24岁

4、（8＋2）÷2＝55－2＝3

[挑战自我]

1、30－10＋12＝32千克

2（623＋34－57）÷2＝266

3、一厂；（864＋48）÷2＋32＝488人

二厂；864－488＝376人

4、上；（342＋5＋5＋7）÷3＝119角

中；119－5＝114角

下；114－7＝107角

5、90÷2－6＝39（千克）90－39＝51（千克）

答；第一筐有51千克，第二筐有39千克

6、（50－6）÷2＝22（千克）50－22＝28（千克）

答；第一桶原盛水28千克。

第六讲余数问题

（七）知识要点

在三年级上期的学生开始初步接触有余数的除法，知道了余数必须比除数小，余数是余下的不能够再分（整数）的数。

尽管学生初次接触，但余数这个概念在数学上有着非常重要的地位，故在此进行一些拓展。

这里，主要介绍一些在整数范围内的余数问题。

1、利用直观体验的方法，使学生会观察、学会深入思考问题，从中领悟如何利用余数解决一些有关余数的实际问题，提高学生学习的能力，激发学生进一步学习数学的兴趣。

2、弄清一些数量关系：

被除数÷除数＝商……余数；商×除数＋余数＝被除数；进一步弄清余数的两个性质：

两个数相除，余数一定小于除数