三元一次教师教案.docx

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三元一次教师教案

三元一次方程组教师教案

三元一次方程

三元一次方程：

含有三个未知数的一次方程

三元一次方程组：

由几个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组

三元一次方程组的解：

利用消元思想使三元变二元，再变一元

方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用。

定义：

方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组就是三元一次方程组．

解题思路：

三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．

一、三元一次方程组之特殊型

例1：

解方程组

分析：

方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。

解法1：

代入法，消x.

把③分别代入①、②得

解得

把y=2代入③，得x=8.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型一：

有表达式，用代入法型.

针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。

解法2：

消z.

①×5得5x+5y+5z=60④

④-②得4x+3y=38⑤

由③、⑤得

解得

把x=8,y=2代入①得z=2.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型二：

缺某元，消某元型.

例2：

解方程组

分析：

通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。

具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。

解：

由①+②+③得4x+4y+4z=48，

即x+y+z=12.④

①-④得x=3，

②-④得y=4，

③-④得z=5，

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

解：

由①+②+③得2（x+y+z）=60，

即x+y+z=30.④

④-①得z=10，

④-②得y=11，

④-③得x=9，

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型三：

轮换方程组，求和作差型.

例3：

解方程组

分析1：

观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:

y=1:

2得y=2x；由x:

z=1:

7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即

，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。

解法1：

由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.

把x=1，代入y=2x，得y=2；

把x=1，代入z=7x，得z=7.

∴

是原方程组的解.

分析2：

由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:

y:

z=1：

2：

7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。

解法2：

由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.

把k=1，代入x=k，得x=1；

把k=1，代入y=2k，得y=2；

把k=1，代入z=7k，得z=7.

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

分析1：

观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=

y；由③得z=

.从而利用代入法求解。

解法1：

略.

分析2：

受例3解法2的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:

y:

z的形式呢？

通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:

x=15:

10，由③×3得y:

z=15:

12,于是得到x:

y:

z=10:

15:

12,转化为学生熟悉的方程组形式，学生就会解决了。

解法2：

由②、③得x:

y:

z=10:

15:

12.

设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.

把k=3，代入x=10k，得x=30；

把k=3，代入y=15k，得y=45；

把k=3，代入z=12k，得z=36.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型四：

遇比例式找关系式，遇比设元型.

二、三元一次方程组之一般型

例4：

解方程组

分析：

对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：

一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：

（一）消元的选择

1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；

2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。

（二）方程式的选择

采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。

解：

（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）

①+③得5x+2y=16，④（体现第一次使用在①③后做记号√）

②+③得3x+4y=18，⑤（体现第二次使用在②③后做不同记号△）

由④、⑤得

解得

把x=2，y=3代人②，得z=1.

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

分析：

通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。

以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。

解：

②×2得6x－4y+10z=22，④

2x+4y+3z=9，①

①+④得8x+13z=31.⑤

②×3得9x－6y+15z=33，⑥

5x－6y+7z=13，③

⑥－③得4x+8z=20.

x+2z=5.⑦

由⑤、⑦得

解得

把x=-1，z=3代人①，得

.

在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。

（三）实际问题与二元一次方程：

1.利用二元一次方程组解决问题的基本过程：

2.实际问题向数学问题的转化：

3.设未知数有两种设元方法——直接设元、间接设元.

当直接设元不易列出方程时，用间接设元.在列方程（组）的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元

4.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：

用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：

列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：

解方程组，求出未知数的值；

验：

检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：

写出答案.

5.常见题型有以下几种情形：

（1）和、差、倍、分问题。

此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。

审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。

•例1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

•分析：

等量关系一次运货的总吨数。

（2）行程问题（基本关系：

路程＝速度×时间。

）

　　相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：

各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。

甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：

两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

1同时不同地：

甲的时间=乙的时间

甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程

2同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差

甲的路程=乙的路程

　　环形跑道上的相遇和追及问题：

同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

船（飞机）航行问题：

相对运动的合速度关系是：

顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；

逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。

车上（离）桥问题：

①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。

②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。

所走的路程为一个成长

③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长

④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长

行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

例2、张强与李毅二人分别从相距20千米的两地出发，相向而行。

如果张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米。

求张强、李毅每小时各走多少千米？

•例4;甲乙两人分别从相距30千米的AB两地同时相向而行,经历3小时相距3千米,再经过2小时,甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍,求甲乙两人的速度.

•分析:

•等量关系:

1.两人相遇路程和=总路程

•2.所剩路程的倍数关系

（3）工程问题

工作总量＝工作时间×工作效率；

工作时间＝工作总量÷工作效率；

工作效率＝工作总量÷工作时间

甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，

其基本数量关系：

工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。

当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。

例5.某城市为缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期50天完成，甲乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天也比原来多修0.4千米，结果如期完成。

问：

甲，乙两队原计划每天各修多少千米？

工作量=工作效率×工作时间（相对应的）

•分析：

•等量关系：

1.两施工队原来的速度和2.总工程量

•解：

设甲队原计划每天修x千米，乙队每天修y千米。

例6.（遵义07）某中学准备改造面积为

的旧操场，现有甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经协商后得知，甲工程队单独改造这操场比乙工程队多用9天；乙工程队每天比甲工程队多改造

；甲工程队每天所需费用160元，乙工程队每天所需费用200元．

（1）求甲乙两个工程队每天各改造操场多少平方米？

（2）在改造操场的过程中，学校要委派一名管理人员进行质量监督，并由学校负担他每天25元的生活补助费，现有以下三种方案供选择．

第一种方案：

由甲单独改造；

第二种方案：

由乙单独改造；

第三种方案：

由甲、乙一起同时进行改造；

你认为哪一种方案既省时又省钱？

试比较说明．

例7、某工厂为生产一种零件，购买了一台昂贵的特殊的机床，有两名工人轮流生产，每天只能工作8小时。

如果一天中，甲工作5小时，乙工作3小时，则一天可生产67只零件；如果一天中甲工作3小时，乙工作5小时，则一天可生产69只零件，问：

甲乙两工人每小时各生产多少只零件？

（4）、经济问题

例8.某人用24000元买进甲,乙两种股票,在甲股票升值15%,乙股票下跌10%时卖出,共获利1350元,试问此人买的甲乙两股票各是多少元?

•分析:

利润=成本×利润率

总利润=各分利润之和

等量关系:

1.股票的成本2.获得利润

解:

设买进甲x元,买进乙y元.则甲股票获利为0.15x元,乙股票获利为-0.1y元.

x+y=24000

0.15x-0.1y=1350

（5）、分配问题

•例9.初一某班45名同学被平均分配到甲,乙,丙三处打扫环境卫生.甲处的同学最先完成打扫任务,班卫生委员根据实际情况及时把甲处的同学全部调到乙,丙两处支援,调动后乙处的人数恰好为丙处人数的1.5倍.问从甲处调到乙,丙各多少人?

•分析:

1.甲处人数=调出人数

•2.重新分配后的乙丙人数之比

•