全国高中数学联赛四川赛区初赛试卷.doc

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2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）

一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1、设集合，，则=（）

A、B、C、D、

2、正方体中与截面所成的角是（）

A、B、C、D、

3、已知，，

则“”是“在上恒成立”的（）

A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件

4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，

设,，则=（）

A、B、C、D、2

5、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（）

A、B、C、D、

6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（）

A、 B、 C、 D、

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、如图，正方形的边长为3，为的

中点，与相交于，则的值是．

8、的展开式中的常数项是．（用具体数字作答）

9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为．

10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为．

11、已知锐角满足，则的最大值是．

12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，

满足条件“”的概率是．

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13、设函数，

（I）求函数在上的最大值与最小值；

（II）若实数使得对任意恒成立，求的值．

14、已知，满足，

（I）求的最小值；

（II）当取最小值时，求的最大值．

15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和

的中点，求直线在轴的截距的取值范围．

16、设函数在上的最大值为（）．

（I）求数列的通项公式；

（II）求证：

对任何正整数，都有成立；

（III）设数列的前项和为，求证：

对任意正整数，都有成立．

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1、C2、A3、A4、B5、B6、D

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、8、9、010、1411、12、

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13、解：

（I）由条件知，（5分）

由知，，于是

所以时，有最小值；

当时，有最大值．（10分）

（II）由条件可知

对任意的恒成立，

∴

∴

∴,（15分）

由知或。

若时，则由知，这与矛盾！

若，则（舍去），，

解得，所以，．（20分）

14、解：

（I）因为（5分）

，等号成立的条件是，

当时，可取最小值2．（10分）

（II）当取最小值时，，从而，

即，令，则（15分）

从而或者（舍去）

故 在单减，

所以在时，有最大值．（20分）

15、解：

将直线与双曲线方程联立得

化简得①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分）

由题设知方程①有两负根，因此，解得．（10分）

设，则有，

故的中点为，

所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）

当时，，其取值范围是

所以的取值范围是．（20分）

16、解：

（I），

当时，由知或者，（5分）

当时，，又，，故；

当时，，又，，故；

当时，，

∵时，；时，；

∴在处取得最大值，即

综上所述，．（10分）

（II）当时，欲证，只需证明

∵

所以，当时，都有成立．（15分）

（III）当时，结论显然成立；

当时，由（II）知

．

所以，对任意正整数，都有成立．（20分）