高三复习课：极坐标的应用(教学设计).doc

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高三复习：

极坐标的应用

——《坐标系》第2课时

广州市第九十七中学高三理数备组

【考纲要求】

（1）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（第1课时）

（2）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（第2课时）

【选题依据】

极坐标系是构建坐标系的一种方法，曲线在不同的坐标系中可以有不同形式的方程，不同的坐标系，可能对曲线问题的研究带来繁简，这就是学习极坐标系的必要性.然而很多学生由于对直角坐标系比较熟悉，看到题目就马上转化成直角坐标系下进行解题，造成有些题目的运算太过繁琐，因此，教会学生恰当选择坐标系进行解题，就变得非常地重要.

【学情分析】

上课班级为高三理科班，本节课为高三专题复习《坐标系》的第2个课时，第1课时已经复习了坐标系的伸缩变换、极坐标系的概念已经极坐标系与直角坐标系的互化,学生基本掌握两种坐标系之间的互化，但是对于为什么要学习极坐标，以及对于具体题目该选择哪种坐标系解题会更加方便，学生还是比较茫然.

【设计思路】

本节课上课内容选自2011年、2015年和2016年新课标高考的5道高考题，综合2011·新课标和2015·新课标II2道高考题改编成例题，设置层层递进的3个问题，体现高考从定到动，从特殊到一般的特点，进而引导学生数学学习只要回到本质（即极坐标的几何意义），题目百变不离其宗；将例题中的条件和结论互换，产生了变式训练，采用的是2016·新课标II，目的在于训练学生对于知识正用和逆用的能力，同时由于本题解法比较多，学生可以多种角度，发散思维，将数学学习的前后知识联系起来.课后练习采用的是2015·新课标I和2016·新课标I2道高考题，两个题目解法都不唯一，两种坐标系都可以解决问题，体现了学习两种坐标系的意义.

【教学目标】

（1）知识与技能：

掌握极坐标系方程中的几何意义，会用的几何意义解决有关距离问题.

（2）过程与方法：

让学生从简单具体的问题出发,共同探究极坐标系下如何借助的几何意义来解决极角相同的两点间的距离问题，引导学生通过观察、归纳，由特殊到一般等方法，感受3年高考题的变化特点.

（3）情感态度与价值观：

在探究发现的学习过程中，让学生感受到：

所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的，发现数学学习的价值所在.

【教学重点】 掌握极坐标系方程中的几何意义，会用的几何意义解决有关距离问题.

【教学难点】 选择适当的坐标系解决距离问题.

难点的突破：

解决此类综合问题要注意数形结合，在图形中观察求解的线段的特点（是否过原点，是否确定有无最值等等），根据线段的特点来选择适当的坐标系.

【教学方法】 讲授教学法、问题探究法、探究教学法、讨论教学法．

【教学手段】 采用多媒体课件进行辅助教学；借助实物投影仪展示学生的课堂练习；利用黑板适当进行板书示范.

【教学过程】

一、知识回顾：

1、极坐标系的概念

①一个点——极点；②以极点为端点的一条射线——极轴；

③确定一个长度单位；④确定角度单位（弧度）以及它的正方向（逆时针方向）

极径——坐标平面内的点到到极点的距离，记为，

极角——以极轴为始边，射线为终边的角，记为

极坐标——有序数对叫做点的极坐标，记为

注意：

一般地，当极角的取值范围是时，平面上的点（除去极点）就与极坐标

建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。

极点的极坐标是，其中极角是任意角。

2、极坐标与直角坐标的转化

直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到：

注意：

若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角，在转化过程中注意不要漏解.

二、问题引入

上一节复习完直角坐标系和极坐标系的互化之后，有同学就问：

既然极坐标都可以化成直角坐标，那不就是所有的极坐标问题都可以化成直角坐标来解决？

我们看看下面的例子：

（1）在极坐标系中，已知，，则1；

（2）在极坐标系中，已知，，则5.

（3）在极坐标系中,O是极点，设点则△OAB的面积是__5____，|AB|=。

【设计意图】通过具体简单的例子，结合极坐标系画图，让学生发现利用的几何意义，可以较快的算出线段的长度，师生一起总结出：

极坐标系内任意极角相同（过极点）的两点之间的距离可以表示成.

三、典型例题

在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线，，曲线.与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为.

（I）若，求的值；

生1：

极坐标系下，过极点的线段

生2：

直角坐标系下，联立直线与圆的方程求交点，进而求线段的长度.

【设计意图】不同坐标系下，两种方法的对比，体现极坐标系下解题的优势，

进而体现学习极坐标系的意义.

略解：

曲线的极坐标方程为，

的极坐标方程为

直线与的异于极点的交点的极径为

直线与的异于极点的交点的极径为

所以

（II）若，求的最大值；

师：

继续提问生2，这个问题在直角坐标系下容易解决吗？

生2：

直线不确定，联立求解交点很困难.

生：

独立思考后相互之间讨论交流，形成解题思路.

师：

黑板板演解题过，形成解题规范.

略解：

曲线的极坐标方程为，，其中

因此得到的极坐标为，的极坐标为

所以

由于，所以

所以当即时，取得最大值，最大值为.

思考：

若把条件改为（t为参数）（其中）

其他条件不变，结果会有变化吗？

【设计意图】体现直线方程不同形式的呈现方式，本质都相同.

略解：

（t为参数），结果不变.

【真题重现】

（2011·新课标）坐标系与参数方程：

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.

（I）求的方程；

（II）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.

（2015·新课标II）在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线，

（I）求与交点的直角坐标；

（II）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.

【设计意图】体现高考从定到动，从特殊到一般的特点，进而引导学生数学学习只要回到本质（即极坐标下与的几何意义），题目百变不离其宗.

四、变式训练

（2016·新课标II）在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求的斜率．

生1：

极坐标系下，利用过极点的线段，

求出.

生2：

直角坐标系下，利用垂径定理，求出圆心到直线的距离，借助该距离求出直线的斜率.

师：

大家不妨观察一下直线的参数方程，有没有什么特点？

能不能从直线的参数方程中的几何意义来解题呢？

【设计意图】将例题中的条件和结论互换，产生了变式训练，采用的是2016·新课标II，目的在于训练学生对于知识正用和逆用的能力，同时由于本题解法比较多，学生可以多种角度，发散思维，将数学学习的前后知识联系起来.

略解：

（Ⅰ）由圆的标准方程，

得，

所以圆的极坐标方程为．

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）可以化为极坐标方程

，因此直线与交于点的极坐标可以设为，

且是方程的两个根，则，．

所以，

得，解得，所以或．

归纳总结：

利用极坐标系解决问题时要注意：

（1）熟练掌握直角坐标与极坐标之间的互化；

（2）熟练掌握过极点的直线的极坐标方程的形式；

（3）利用极坐标方程中与的几何意义解题时，一定要数形结合，解决线段距离问题是，注意直线是否过极点.

五、课堂小结

（1）两种坐标系：

适当选择直角坐标系或者极坐标系，可以简化运算；

（2）两个变量：

正确理解极坐标系下与的几何意义，解决两点间距离问题；

（3）两种思想方法：

转化与化归、数形结合思想的思想方法的运用.

极坐标下解决某些距离问题，可以简化运算.所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的.

六、板书设计

课题：

极坐标的应用

知识回顾问题引入：

例题变式

（1）

1、极坐标

（2）

结论

2、互化

七、课后作业

1、（2011·新课标）坐标系与参数方程：

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.

（I）求的方程；（II）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.

2、（2015·新课标II）在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线，

（I）求与交点的直角坐标；

（II）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.

3、（2015·新课标I）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求的极坐标方程.（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.

4、（2016·新课标I）在直线坐标系中，曲线C1的参数方程为

（t为参数，a>0）。

在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ=4cosθ.

（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

八、教学反思

上节复习课讲完两种坐标系互化后，有些学生质疑：

既然极坐标可以化成直角坐标，那为什么还要学习极坐标呢？

根本原因还是学生对极坐标系中与的几何意义理解还不到位，对数学的本质理解还不透彻。

针对这一问题，本节课上课内容选取了2011年、2015年和2016年新课标高考的5道高考题，综合2011·新课标和2015·新课标II2道高考题改编成例题，设置层层递进的3个问题，体现高考从定到动，从特殊到一般的特点，进而引导学生数学学习只要回到本质（即极坐标的几何意义），题目百变不离其宗；题目中既体现坐标系的选择，也突显极坐标在解决某些具体问题上的优势，让学生深刻体会到：

所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的.

感悟:

数学本质的理解正是数学核心素养的体现，数学教育就是要潜移默化，将数学问题的本质如春风般润物细无声地植入学生的心中，让学生发自内心地感叹到：

这就是数学学习的价值！

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所有数学知识的产生和发展，都是自然的和合理的.