第一步 定条件：
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向．
第二步 定工具：
即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．
第三步 求结果．
第四步 再反思：
在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：
一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.
（2014·辽宁）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：
（1）a和c的值；
（2）cos（B－C）的值．
解
（1）由·＝2得c·acosB＝2.
又cosB＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
（2）在△ABC中，
sinB＝＝＝，
由正弦定理，
得sinC＝sinB＝×＝.
因为a＝b>c，
所以C为锐角，
因此cosC＝＝＝.
于是cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC
＝×＋×＝.
模板3 数列的通项、求和问题
（2014·江西）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
（1）令cn＝，求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
审题路线图
（1）→→→
（2）→
规范解答示例
构建答题模板
解
（1）因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0（bn≠0，n∈N*），
所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，
所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.
（2）由bn＝3n－1知an＝cnbn＝（2n－1）3n－1，
于是数列{an}的前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋（2n－1）·3n－1，
3Sn＝1·31＋3·32＋…＋（2n－3）·3n－1＋（2n－1）·3n，
相减得－2Sn＝1＋2·（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）·3n＝－2－（2n－2）3n，
所以Sn＝（n－1）3n＋1.
第一步 找递推：
根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．
第二步 求通项：
根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式．
第三步 定方法：
根据数列表达式的结构特征确定求和方法（如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等）．
第四步 写步骤：
规范写出求和步骤．
第五步 再反思：
反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.
已知点是函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）的图象上的一点．等比数列{an}的前n项和为f（n）－c.数列{bn}（bn>0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？
解
（1）∵f
（1）＝a＝，∴f（x）＝x.
由题意知，a1＝f
（1）－c＝－c，
a2＝[f
（2）－c]－[f
（1）－c]＝－，
a3＝[f（3）－c]－[f
（2）－c]＝－.
又数列{an}是等比数列，
∴a1＝＝＝－＝－c，
∴c＝1.又公比q＝＝，
∴an＝－·n－1＝－2·n（n∈N*）．
∵Sn－Sn－1＝（－）（＋）
＝＋（n≥2）．
又bn>0，>0，∴－＝1.
∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
＝1＋（n－1）×1＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．
∴bn＝2n－1（n∈N*）．
（2）Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝×＋×＋×＋…＋×＝×＝.
由Tn＝>，得n>，
∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.
模板4 利用空间向量求角问题
（2014·山东）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．
（1）求证：
C1M∥平面A1ADD1；
（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
审题路线图
（1）⇒→
（2）→
→→
规范解答示例
构建答题模板
（1）证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，
且AB＝2CD，所以AB∥DC.
又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.
连接AD1，如图
（1）．
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因为C1M∥D1A.
又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.
（2）解 方法一 如图
（2），连接AC，MC.
由
（1）知CD∥AM且CD＝AM，
所以四边形AMCD为平行四边形，
可得BC＝AD＝MC，
由题意得∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，
因此AB＝2BC＝2，CA＝，
因此CA⊥CB.
以C为坐标原点，建立如图
（2）所示的空间直角坐标系C－xyz，所以A（，0,0），B（0,1,0），D1（0,0，），
因此M，所以＝，＝＝.
设平面C1D1M的一个法向量为n＝（x，y，z），
由得可得平面C1D1M的一个法向量n＝（1，，1）．又＝（0,0，）为平面ABCD的一个法向量，因此cos〈，n〉＝＝.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为.
方法二 由
（1）知平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，
过点C向AB引垂线交AB于点N，
连接D1N，如图（3）．由CD1⊥平面ABCD，
可得D1N⊥AB，
因此∠D1NC为二面角C1－AB－C的平面角．
在Rt△BNC中，BC＝1，
∠NBC＝60°，可得CN＝.所以ND1＝＝.
所以Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝＝＝，
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为.
第一步 找垂直：
找出（或作出）具有公共交点的三条两两垂直的直线．
第二步 写坐标：
建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．
第三步 求向量：
求直线的方向向量或平面的法向量．
第四步 求夹角：
计算向量的夹角．
第五步 得结论：
得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.
如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
解
（1）以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，
则A（0,0,0），B（2,0,0），C（0,2,0），A1（0,0,4），D（1,1,0），C1（0,2,4）．
所以＝（2,0，－4），＝（1，－1，－4）．
所以cos〈，〉＝
＝＝.
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
（2）由题意，知＝（0,2,0）是平面ABA1的一个法向量．
设平面ADC1的法向量为m＝（x，y，z），
因为＝（1,1,0），＝（0,2,4），
由m⊥，m⊥，得
取z＝1，得y＝－2，x＝2，所以平面ADC1的一个法向量为m＝（2，－2,1）．
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为θ，
所以|cosθ|＝|cos〈，m〉|＝||＝||＝，得sinθ＝.
所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
模板5 圆锥曲线中的范围问题
椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求m的取值范围．
审题路线图
（1）→→
（2）→→→→→
规范解答示例
构建答题模板
解
（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a>b>0），
设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝，
所以a＝1，b＝c＝.故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.
（2）设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），
B（x2，y2），由得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0，
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0，（*）
x1＋x2＝，x1x2＝.因为＝3，所以－x1＝3x2，
所以所以3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0.
所以3·2＋4·＝0.
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2（4m2－1）＋（2m2－2）＝0.
当m2＝时，上式不成立；
当m2≠时，k2＝，
由（*）式，得k2>2m2－2，
又k≠0，所以k2＝>0.
解得－1即所求m的取值范围为∪.
第一步 提关系：
从题设条件中提取不等关系式．
第二步 找函数：
用一个变量表示目标变量，代入不等关系式．
第三步 得范围：
通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围．
第四步 再回顾：
注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约.
已知双曲线－＝1（a>1，b>0）的焦距为2c，直线l过点（a,0）和（0，b），且点（1,0）到直线l的距离与点（－1,0）到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
解 设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点（1,0）到直线l的距离d1＝，
同理可得点（－1,0）到直线l的距离为d2＝，
于是s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，
可得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
解得≤e2≤5.
由于e>1，故所求e的取值范围是.
模板6 解析几何中的探索性问题
已知定点C（－1,0）及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（1）若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；
（2）在x轴上是否存在点M，使·为常数？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
审题路线图 设AB的方程y＝k（x＋1）→待定系数法求k→写出方程；设M存在即为（m,0）→求·→在·为常数的条件下求m.
规范解答示例
构建答题模板
解
（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x＋1），
将y＝k（x＋1）代入x2＋3y2＝5，消去y整理得（3k2＋1）x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
由线段AB中点的横坐标是－，得＝－＝－，解得k＝±，适合①.
所以直线AB的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
（2）假设在x轴上存在点M（m,0），使·为常数．
（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由
（1）知x1＋x2＝－，x1x2＝.③
所以·＝（x1－m）（x2－m）＋y1y2＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1＋1）（x2＋1）
＝（k2＋1）x1x2＋（k2－m）（x1＋x2）＋k2＋m2.
将③代入，整理得·
＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.
注意到·是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－，此时·＝.
（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为、，
当m＝－时，也有·＝.
综上，在x轴上存在定点M，使·为常数.
第一步 先假定：
假设结论成立．
第二步 再推理：
以假设结论成立为条件，进行推理求解．
第三步 下结论：
若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设．
第四步 再回顾：
查看关键点，易错点（特殊情况、隐含条件等），审视解题规范性.
（2014·福建）已知双曲线E：
－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线分别为l1：
y＝2x，l2：
y＝－2x.
（1）求双曲线E的离心率．
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8.试探究：
是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？
若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
解
（1）因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，
所以＝2，故c＝a，
从而双曲线E的离心率e＝＝.
（2）方法一 由
（1）知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则|OC|＝a，|AB|＝4a.
又因为△OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，
则E的方程只能为－＝1.
以下证明：
当直线l不与x轴垂直时，
双曲线E：
－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，
得k>2或k<－2，则C（－，0）．
记A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得y1＝，同理，得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
|－|·|－|＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4（k2－4）．
由
得（4－k2）x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4（4－k2）（m2＋16）
＝－16（4k2－m2－16）．
又因为m2＝4（k2－4），
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法二 由
（1）知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l的方程为x＝my＋t，A（x1，y1），B（x2，y2）．
依题意得－由得y1＝，
同理，得y2＝.
设直线l与x轴相交于点C，则C（t,0）．
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得
|t|·＝8.
所以t2＝4|1－4m2|＝4（1－4m2）．
由
得（4m2－1）y2＋8mty＋4（t2－a2）＝0.
因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16（4m2－1）（t2－a2）＝0，
即4m2a2＋t2－a2＝0，
即4m2a2＋4（1－4m2）－a2＝0，
即（1－4m2）（a2－4）＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，
且E的方程为－＝1.
方法三 当直线l不与x轴垂直时，
设直线l的方程为y＝kx＋m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
依题意，得k>2或k<－2.
由
得（4－k2）x2－2kmx－m2＝0.
因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝.
又因为△OAB的面积为8，
所以|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8，
又易知sin∠AOB＝，
所以·＝8，
化简，得x1x2＝4.
所以＝4，得m2＝4（k2－4）．
由
（1）得双曲线E的方程为－＝1，
由
得（4－k2）x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4（4－k2）（m2＋4a2）＝0，
即（k2－4）（a2－4）＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：
x＝2，
又易知l：
x＝2与双曲线E：
－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
模板7 离散型随机变量的均值与方差
甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是.
（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（2）设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值．
审题路线图
（1）→→
（2）→→→
规范解答示例
构建答题模板
解
（1）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则P（）＝＝＝，
P（）＝（1－）3＋C·（1－）2＝＋＝，
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
1－P（·）＝1－P（）·P（）＝1－×＝.
（2）由题意知ξ的可能取值是1,2.
P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，则ξ的分布列为
ξ
1
2
P
∴E（ξ）＝1×＋2×＝.
第一步 定元：
根据已知条件确定离散型随机变量的取值．
第二步 定性：
明确每个随机变量取值所对应的事件．
第三步 定型：
确定事件的概率模型和计算公式．
第四步 计算：
计算随机变量取每一个值的概率．
第五步 列表：
列出分布列．
第六步 求解：
根据均值、方差公式求解其值.
（2014·江西）随机将1,2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2，B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.
（1）当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对
（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．
解
（1）当n＝3时，ξ的所有可能取值为2,3,4,5.
将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C＝20（种），所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
P
E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
（2）ξ和η恰好相等的所有可能取值为n－1，n，n＋1，…，2n－2.
又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n＋k（k＝1,2，…，n－2）（n≥3）时，不同的分组方法有2C种；
所以当n＝2时，P（C）＝＝；
当n≥3时，P（C）＝.
（3）由
（2），当n＝2时，P（）＝，因此P（C）>P（）．
而当n≥3时，P（C）P（C）用数学归纳法来证明：
1°当n＝3时，①式左边＝4（2＋C）＝4（2＋2）＝16，
①式右边＝C＝20，所以①式成立．
2°假设n＝m（m≥3）时①式成立，
即4（2＋）那么，当n＝m＋1时，左边＝4（2＋）＝4（2＋）＋4C即当n＝m＋1时①式也成立．综合1°，2°得：
对于n≥3的所有正整数，都有P（C）模板8 函数的单调性、极值、最值问题
已知函数f（x）＝（x∈R）．其中a∈R.
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f
（2））处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．
审题路线图
规范解答示例
构建答题模板
解
（1）当a＝1时，f（x）＝，f
（2）＝，
又f′（x）＝＝，f′
（2）＝－.
所以，曲线y＝f（x）在点（2，f
（2））处的切线方程为
y－＝－（x－2），即6x＋25y－32＝0.
（2）f′（x）＝
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