高考文科数学分类汇编专题九解析几何.docx
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《2018年高考文科数学分类汇编》
第九篇：
解析几何
一、选择题
1.【2018全国一卷4】已知椭圆：
的一个焦点为，则的离心率为
A． B． C． D．
2.【2018全国二卷6】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
3.【2018全国二11】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
4.【2018全国三卷8】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
5.【2018全国三卷10】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
6.【2018天津卷7】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A B
C D
7.【2018浙江卷2】双曲线的焦点坐标是
A．（−，0），（，0） B．（−2，0），（2，0）
C．（0，−），（0，） D．（0，−2），（0，2）
8.【2018上海卷13】设P是椭圆+=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
A.22B.23C.25D.42
二、填空题
1.【2018全国一卷15】直线与圆交于两点，则________．
2.【2018北京卷10】已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
3.【2018北京卷12】若双曲线的离心率为，则a=_________.
4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是．
6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为．
7.【2018浙江卷17】已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m>1）上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
8.【2018上海卷2】2.双曲线的渐近线方程为.
9.【2018上海卷12】已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足：
，，，则+的最大值为__________
三、解答题
1.【2018全国一卷20】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：
．
2.【2018全国二卷20】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：
；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：
．
4.【2018北京卷20】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.
5.【2018天津卷19】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求k的值．
6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
7.【2018浙江卷21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：
y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：
PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：
x=t，曲线：
，l与x轴交于点A，与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点.
（1）用t为表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？
若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题
1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.C
二、填空题
1.2.3.44.5.26.37.5
8.9.
三、解答题
1.解：
（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为y=或．
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．
由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为
．①
将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
．
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．
综上，∠ABM=∠ABN．
2.解：
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由
（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
或．
3.解：
（1）设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得F（1，0）．设，则
．
由
（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是．
同理．
所以．
故．
4.解：
（Ⅰ）由题意得，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为．
（Ⅲ）设，，，，
则①，②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，学科*网
又，代入①式可得，所以，
所以，同理可得．
故，，
因为三点共线，所以，
将点的坐标代入化简可得，即．
5.解：
（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．
由,从而．
所以，椭圆的方程为．
（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即．
易知直线的方程为，
由方程组消去y，可得．
由方程组消去，可得．
由，可得，两边平方，整理得，解得，或．
当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．
所以，的值为．
6.解：
（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得
因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由消去y，得．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，
所以，从而．
设，
由（*）得，
所以．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．
7.解：
（Ⅰ）设，，．
因为，的中点在抛物线上，
所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．
因此，垂直于轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以，．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．
8.解：
（1）由抛物线的性质可知，抛物线的准线为，
抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，
由题意知，点的横坐标为，则。
（2）当时，。
由曲线：
知：
点的纵坐标为，则。
由于在线段上，则点的纵坐标取值在之间。
由题意，，则的纵坐标为，
故，的中点坐标为。
由于，由题意可知的斜率存在，则可设直线的方程为：
，
所以将点的坐标代入方程得，
解得，则直线的方程为。
代入抛物线方程得。
由于、均在直线上，则的边边长为，
边上的高等于，
则。
（3）存在以、为邻边的矩形，使得点在上。
当时，，点的纵坐标为，则。
设，。
①若，则点，而点，则轴。
若以、为邻边的四边形为矩形，则，
则轴，故点。
此时点，由于，
则点不在上，此情况不成立。
②当时，直线的斜率可以表示为
由于，则直线的斜率可以表示为。
所以直线的方程为，
当时，，
所以。
而在以、为邻边的四边形中，、为不相邻的两个顶点，
则。
而，，
则。
故点。
当点点在上时，有，
移项后去分母整理得，解得。
而，则，故。
综上所述，存在以、为邻边的矩形，使得点在上，此时点。
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