广东省高考数学试卷文科答案与解析.doc
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2011年广东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2011•广东）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中iz=1，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．
【解答】解：
设Z=x+yi
∵iz=1，
∴i（x+yi）=﹣y+xi=1
故x=0，y=﹣1
∴Z=﹣i
故选A
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y的方程组，是解答本题的关键．
2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】观察两集合发现，两集合表示两点集，要求两集合交集元素的个数即为求两函数图象交点的个数，所以联立两函数解析式，求出方程组的解，有几个解就有几个交点即为两集合交集的元素个数．
【解答】解：
联立两集合中的函数关系式得：
，
由②得：
x=1﹣y，代入②得：
y2﹣y=0即y（y﹣1）=0，解得y=0或y=1，
把y=0代入②解得x=1，把y=1代入②解得x=0，
所以方程组的解为或，有两解，
则A∩B的元素个数为2个．
故选C
【点评】此题考查学生理解交集的运算，考查了求两函数交点的方法，是一道基础题．本题的关键是认识到两集合表示的是点坐标所构成的集合即点集．
3．（5分）（2011•广东）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．
【解答】解：
∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．
∴=（1+λ，2）
∵（+λ）∥，
∴4（1+λ）﹣6=0，
∴
故选B．
【点评】本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．
4．（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．
【解答】解：
根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，
应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；
故选：
C．
【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．
5．（5分）（2011•广东）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（ ）
A．（﹣，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）
【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．
【解答】解：
原不等式同解于
（2x+1）（x﹣1）＞0
∴x＞1或x＜
故选：
D
【点评】本题考查二次不等式的解法：
判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解集．
6．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．4
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．
【解答】解：
首先做出可行域，如图所示：
z=•=，即y=﹣x+z
做出l0：
y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．
因为B（，2），所以z的最大值为4
故选：
B
【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．
7．（5分）（2011•广东）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A．20 B．15 C．12 D．10
【考点】棱柱的结构特征．菁优网版权所有
【专题】立体几何．
【分析】抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．
【解答】解：
由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，
故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．
故选D
【点评】本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．
8．（5分）（2011•广东）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【考点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定；抛物线的定义．菁优网版权所有
【专题】直线与圆．
【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．
【解答】解：
设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，
∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r
∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离
由抛物线的定义知：
C的轨迹为抛物线．
故选A
【点评】本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．
9．（5分）（2011•广东）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A． B．4 C． D．2
【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】立体几何．
【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．
【解答】解：
由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．
10．（5分）（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（ ）
A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x） B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）
C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x） D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），然后逐个验证即可找到答案．
【解答】解：
A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），
∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；
而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；
∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）
B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））
（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））
∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）
C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（g（h（x））），
（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））
∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；
D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），
（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），
∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．
故选B．
【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，和知识方法的迁移能力．
二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2011•广东）已知{an}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q= 2 ．
【考点】等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知{an}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．
【解答】解：
∵{an}是递增等比数列，
且a2=2，则公比q＞1
又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4
即q2﹣q﹣2=0
解得q=2，或q=﹣1（舍去）
故此数列的公比q=2
故答案为：
2
【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．
12．（5分）（2011•广东）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）= ﹣9 ．
【考点】函数奇偶性的性质．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．
【解答】解：
令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx
则g（x）为奇函数，
又∵f（a）=11，
∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10
∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1
∴f（﹣a）=﹣9
故答案为：
﹣9
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．
13．（5分）（2011•广东）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是 ②
①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．
【考点】线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】回归方程═50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果．
【解答】解：
：
∵对x的回归直线方程=50+80x，
∴=（x+1）+50，
∴﹣=80（x+1）+50﹣80x﹣50=80．
所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．
①④不满足回归方程的意义．
故答案为：
②．
【点评】主要考查知识点：
统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．
14．（5分）（2011•广东）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为 （1，） ．
【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．菁优网版权所有
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．
【解答】解：
曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：
；
曲线（t∈R）的普通方程为：
；
解方程组：
得：
∴它们的交点坐标为（1，）．
故答案为：
（1，）．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．
15．（2011•广东）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 7：
5 ．
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】解三角形．
【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果．
【解答】解：
∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，
∴EF是梯形的中位线，
设两个梯形的高是h，
∴梯形ABFE的面积是，
梯形EFCD的面积
∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，
故答案为：
7：
5
【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
三、解答题（共6小题，满分80分）
16．（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】
（1）把x=0代入函数解析式求解．
（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．
【解答】解：
（1）∵f（x）=2sin（x﹣），x∈R，
∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1
（2）∵f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．
∴sinα=，sinβ=
∵α，β∈，
∴cosα==，cosβ==
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=
【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．
17．（13分）（2011•广东）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．
【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】
（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．
（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．
【解答】解：
（1）根据平均数的个数可得75=，
∴x6=90，
这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，
∴这六位同学的标准差是7
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，
满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，
根据古典概型概率个数得到P==0.4．
【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目．
18．（13分）（2011•广东）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．
（1）证明：
O1′，A′，O2，B四点共面；
（2）设G为AA′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．证明：
BO2′⊥平面H′B′G．
【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．菁优网版权所有
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】
（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径
知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．
（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可
【解答】证明：
（1）∵B′，B分别是中点
∴BO2∥B′O2′
∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径
∴A′O1′∥B′O2′
∴BO2∥A′O1′
∵BO2=A′O1′=1
∴四边形BO2A′O1′是平行四边形
即O1′，A′，O2，B四点共面
（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，
则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，1，2）
则=（﹣1，0，2），=（﹣2，﹣2，﹣1），=（0，﹣2，0）
∵•=0，=0
∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′
即，
∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′
∴BO2′⊥平面H′B′G
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识，属于中档题．
19．（14分）（2011•广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
【解答】解：
定义域{x|x＞0}
f′（x）==
设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，则g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，
此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0
方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x1=，x2=
且x1＜0＜x2
∴在（0，）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数；
③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，
此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）
可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函数；
当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根满足＞＞0
故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（，）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数．
【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：
导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．
20．（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
对于一切正整数n，2an≤bn+1+1．
【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】
（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．
（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．
【解答】解：
（1）∵（n≥2），
∴（n≥2），
当b=1时，（n≥2），
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
∴=1+（n﹣1）×1=n，即an=1，
当b＞0，且b≠1时，（n≥2），
即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，
∴=×=，即an=，
∴数列{an}的通项公式是
（2）证明：
当b=1时，不等式显然成立
当b＞0，且b≠1时，an=，要证对于一切正整数n，2an≤bn+1+1，只需证2×≤bn+1+1，即证
∵
=
=（bn+1+1）×（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）
=（b2n+b2n﹣1+…+bn+2+bn+1）+（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）
=bn[（bn+bn﹣1+…+b2+b）+（++…+）]
≥bn（2+2+…+2）=2nbn
所以不等式成立，
综上所述，对于一切正整数n，有2an≤bn+1+1，
【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在
（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．
21．（14分）（2011•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l：
x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，﹣1），设H
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