上海高考理科数学试题及答案.doc

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2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（上海卷）

一、填空题

1．计算：

2．设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则

3．若，则

4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）

5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则．

6．方程的实数解为________

7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________

．

8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）

9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________

10．设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差

11．若，则．

12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________

13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________

14．对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则

二、选择题

15．设常数，集合，若，则的取值范围为（）

（A） （B） （C） （D）

16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：

“不便宜”是“好货”的（）

（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件

17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）

（A）18 （B）28 （C）48 （D）63

18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（）.

（A） （B） （C） （D）

三、解答题

19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.

20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.

（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：

甲厂应该选取何种生产速度？

并求最大利润.

21．（6分+8分）已知函数，其中常数；

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：

在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．

22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．

（1）在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；

（3）求证：

圆内的点都不是“C1—C2型点”．

23．（3 分+6分+9分）给定常数，定义函数，数列满足.

（1）若，求及；

（2）求证：

对任意，；

（3）是否存在，使得成等差数列？

若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.

2013年上海高考理科数学（参考答案）

一．填空题

1.2.－23.04.5.－26.7.8.

9.10.30d²11.12.13.14.2

二．选择题

题号

15

16

17

18

代号

B

B

A

D

三．解答题

19.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，

故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；

直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为

考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得

而中，，故

所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．

20．【解答】

（1）根据题意，

又，可解得

（2）设利润为元，则

故时，元．

21．【解答】

（1）因为，根据题意有

（2），

或，

即的零点相离间隔依次为和，

故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．

23.【解答】：

（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；

（2）直线与C2有交点，则

，若方程组有解，则必须；

直线与C2有交点，则

，若方程组有解，则必须

故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。

（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；

根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则

直线与圆内部有交点，故

化简得，。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

①

若直线与曲线C1有交点，则

化简得，。

。

。

。

。

②

由①②得，

但此时，因为，即①式不成立；

当时，①式也不成立

综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，

即圆内的点都不是“C1-C2型点”．

23.【解答】：

（1）因为，，故，

（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，

即只需证明

若，显然有成立；

若，则显然成立

综上，恒成立，即对任意的，

（3）由

（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有

此时，

即

故，

即，

当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；

若，则，

此时，也满足题意；

综上，满足题意的的取值范围是．