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2014年上海市高考数学试卷（理科）

一、填空题（共14题，满分56分）

1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　_________　．

2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　_________　．

3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为　_________　．

4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f

（2）=4，则a的取值范围为　_________　．

5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　_________　．

6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为　_________　（结果用反三角函数值表示）．

7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是　_________　．

8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　_________　．

9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　_________　．

10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　_________　（结果用最简分数表示）．

11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=　_________　．

12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　_________　．

13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为　_________　．

14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：

x=﹣，直线l：

x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　_________　．

二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分

15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　）

A．

充分非必要条件

B．

必要非充分条件

C．

充要条件

D．

既非充分又非必要条件

16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　）

A．

无论k，P1，P2如何，总是无解

B．

无论k，P1，P2如何，总有唯一解

C．

存在k，P1，P2，使之恰有两解

D．

存在k，P1，P2，使之有无穷多解

18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）

A．

[﹣1，2]

B．

[﹣1，0]

C．

[1，2]

D．

[0，2]

三、解答题（共5题，满分72分）

19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．

20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．

（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．

22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：

ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．

（1）求证：

点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；

（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；

（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：

通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．

23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．

（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．

（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．

2014年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共14题，满分56分）

1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　　．

考点：

专题：

三角函数的求值．

分析：

由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．

解答：

解：

y=1﹣2cos2（2x）

=﹣[2cos2（2x）﹣1]

=﹣cos4x，

∴函数的最小正周期为T==

故答案为：

点评：

本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．

2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　6　．

考点：

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．

解答：

解：

复数z=1+2i，其中i是虚数单位，

则（z+）•=

=（1+2i）（1﹣2i）+1

=1﹣4i2+1

=2+4

=6．

故答案为：

点评：

本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．

3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为　x=﹣2　．

考点：

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程

解答：

解：

由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），

又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，

故p=4，

∴抛物线的准线方程为x=﹣2．

故答案为：

x=﹣2

点评：

本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．

4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f

（2）=4，则a的取值范围为　（﹣∞，2]　．

考点：

专题：

分类讨论；函数的性质及应用．

分析：

可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．

解答：

解：

当a＞2时，f

（2）=2≠4，不合题意；

当a=2时，f

（2）=22=4，符合题意；

当a＜2时，f

（2）=22=4，符合题意；

∴a≤2，

故答案为：

（﹣∞，2]．

点评：

本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．

5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　2　．

考点：

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．

解答：

解：

∵xy=1，∴y=

∴x2+2y2=x2+≥2=2，

当且仅当x2=，即x=±时取等号，

故答案为：

点评：

本题考查基本不等式，属基础题．

6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为　arccos　（结果用反三角函数值表示）．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．

解答：

解：

设圆锥母线与轴所成角为θ，

∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，

∴==3，

即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，

故圆锥的轴截面如下图所示：

则cosθ==，

∴θ=arccos，

故答案为：

arccos

点评：

本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．

7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是　　．

考点：

专题：

计算题；坐标系和参数方程．

分析：

由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．

解答：

解：

由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，

∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．

故答案为：

．

点评：

正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．

8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　　．

考点：

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．

解答：

解：

∵无穷等比数列{an}的公比为q，

a1=（a3+a4+…an）

=（﹣a1﹣a1q）

=，

∴q2+q﹣1=0，

解得q=或q=（舍）．

故答案为：

．

点评：

本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．

9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　（0，1）　．

考点：

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

直接利用已知条件转化不等式求解即可．

解答：

解：

f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，

即＜，

∴，

∵y=是增函数，

∴的解集为：

（0，1）．

故答案为：

（0，1）．

点评：

本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力．

10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　　（结果用最简分数表示）．

考点：

专题：

概率与统计．

分析：

要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，

再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．

解答：

解：

在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，

其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，

∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，

故答案为：

．

点评：

本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．

11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=　﹣1　．

考点：

专题：

集合．

分析：

根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．

解答：

解：

根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，

则①或②，

由①得，

∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．

若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，

∵互异的复数a，b，

∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，

故答案为：

﹣1．

点评：

本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．

12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=　　．

考点：

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．

解答：

解：

sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，

如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，

令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，

∴此时x1=0，x2=，x3=2π，

∴x1+x2+x3=0++2π=．

故答案为：

点评：

本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．

13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为　0.2　．

考点：

专题：

概率与统计．

分析：

设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．

解答：

解：

设小白得5分的概率至少为x，

则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，

∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，

E（ξ）=4.2，

∴4（1﹣x）+5x=4.2，

解得x=0.2．

故答案为：

0.2．

点评：

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．

14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：

x=﹣，直线l：

x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　[2，3]　．

考点：

专题：

直线与圆．

分析：

通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．

解答：

解：

曲线C：

x=﹣，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，

对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，

说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，

∴m=∈[2，3]．

故答案为：

[2，3]．

点评：

本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．

二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分

15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　）

A．

充分非必要条件

B．

必要非充分条件

C．

充要条件

D．

既非充分又非必要条件

考点：

专题：

简易逻辑．

分析：

根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．

解答：

解：

当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，

若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，

故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，

故选：

B．

点评：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题；平面向量及应用．

分析：

建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．

解答：

解：

如图建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），

P8（0，2，1），

，=（﹣1，0，1），=（﹣2，0，1），=（0，1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣2，1，1），=（0，2，1），

=（﹣1，2，1），=（﹣2，2，1），

易得•=1（i=1，2，…，8），

∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，

故选A．

点评：

本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．

17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　）

A．

无论k，P1，P2如何，总是无解

B．

无论k，P1，P2如何，总有唯一解

C．

存在k，P1，P2，使之恰有两解

D．

存在k，P1，P2，使之有无穷多解

考点：

专题：

函数的性质及应用；直线与圆．

分析：

判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．

解答：

解：

P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，

∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1

，

①×b2﹣②×b1得：

（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1，

即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．

故选：

B．

点评：

本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．

18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）

A．

[﹣1，2]

B．

[﹣1，0]

C．

[1，2]

D．

[0，2]

考点：

专题：

函数的性质及应用．

分析：

当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：

a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．

解答：

解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，

当a≥0时，f（0）=a2，

由题意得：

a2≤x++a≤2+a，

解不等式：

a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，

∴0≤a≤2，

故选：

D．

点评：

本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．

三、解答题（共5题，满分72分）

19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．

解答：

解：

根据题意可得：

P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，

∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，

∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，

∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，

∴△P1P2P3的边长为4，

VP﹣ABC==

点评：

本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．

20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．

（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

考点：

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）根据反函数的定义，即可求出，

（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．

解答：

解：

（1）∵a=4，

∴

∴，

∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，

∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．

∵2x﹣2﹣x不恒为0，

∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；

若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，

∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，

∴a=±1，

∵a≥0，

∴a=1，

此时f（x）=，满足条件；

综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．

点评：

本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．

考点：

专题：

解三角形．

分析：

（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．

（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．

解答：

解：

（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，

∵0，

∴tanα≥tan2β，

∴t

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