省会检测广东省广州市高考数学一模试卷理科.doc
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2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z满足z(1﹣i)2=4i,则复数z的共扼复数=( )
A.﹣2 B.2 C.﹣2i D.2i
2.设集合A={x|<0},B={x|x≤﹣3},则集合{x/x≥1}=( )
A.A∩B B.A∪B C.(∁RA)∪(∁RB} D.(∁RA)∩(∁RB}
3.若A,B,C,D,E五位同学站成一排照相,则A,B两位同学不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
4.执行如图所示的程序框图,则输出的S=( )
A. B. C. D.
5.已知,则=( )
A. B. C. D.
6.已知二项式(2x2﹣)n的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是( )
A.﹣84 B.﹣14 C.14 D.84
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.4
8.若x,y满足约束条件,则z=x2+2x+y2的最小值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
9.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间[﹣,]上单调递增,则ω的取值范围为( )
A.(0,] B.(0,] C.[,] D.[,2]
10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对(a,b)为( )
A.(﹣3,3) B.(﹣11,4) C.(4,﹣11) D.(﹣3,3)或(4,﹣11)
11.如图,在梯形ABCD中已知|AB|=2|CD|.=,双曲线过C,D,E三点,且以A,B为焦点,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.
12.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对于任意的实数x,都有f(x)+f(﹣x)=2x2,当x<0时,f'(x)+1<2x,若f(a+1)≤f(﹣a)+2a+1,则实数a的最小值为( )
A. B.﹣1 C. D.﹣2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量=(m,2),=(1,1),若||=||+||,则实数m= .
14.已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形,AB⊥AC,PA⊥底面ABC,PA=AB=1,则这个三棱锥内切球的半径为 .
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2acos(θ﹣B)+2bcos(θ+A)+c=0,则cosθ的值为 .
16.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中,用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律,俗称“杨辉三角形”.现将杨辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表,由上往下数,记第n行各数字的和为Sn,如S1=1,S2=2,S3=2,S4=4,……,则S126= .
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12.00分)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{}是首项为1,公差为2的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足++…+=5﹣(4n+5)()n,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(12.00分)某地1~10岁男童年龄xi(岁)与身高的中位数yi(cm)(i=1,2,…,10)如表:
x(岁)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(cm)
76.5
88.5
96.8
104.1
111.3
117.7
124.0
130.0
135.4
140.2
对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi)2
(yi)2
(xi)(yi)
5.5
112.45
82.50
3947.71
566.85
(1)求y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01);
(2)某同学认为,y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型,他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07.经调查,该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与
(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?
附:
回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=,=﹣.
19.(12.00分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,△ABD为正三角形,∠BCD=120°,CB=CD=CS=2,∠BSD=90°.
(1)求证:
AC⊥平面SBD;
(2)若SC⊥BD,求二面角A﹣SB﹣D的余弦值.
20.(12.00分)已知圆的圆心为M,点P是圆M上的动点,点,点G在线段MP上,且满足.
(1)求点G的轨迹C的方程;
(2)过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与
(1)中的轨迹C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D,连接BD交x轴于点Q,求△ABQ面积的最大值.
21.(12.00分)已知函数f(x)=ax+lnx+1.
(1)讨论函数f(x)零点的个数;
(2)对任意的x>0,f(x)≤xe2x恒成立,求实数a的取值范围.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.(10.00分)已知过点P(m,0)的直线l的参数方程是(t为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ.
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于两点A,B,且|PA|•|PB|=2,求实数m的值.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知函数f(x)=2|x+a|+|3x﹣b|.
(1)当a=1,b=0时,求不等式f(x)≥3|x|+1的解集;
(2)若a>0,b>0,且函数f(x)的最小值为2,求3a+b的值.
2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z满足z(1﹣i)2=4i,则复数z的共扼复数=( )
A.﹣2 B.2 C.﹣2i D.2i
【分析】利用复数的运算法则即可得出.
【解答】解:
z(1﹣i)2=4i,
∴z==﹣2.
则复数z的共扼复数=﹣2.
故选:
A.
【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.设集合A={x|<0},B={x|x≤﹣3},则集合{x/x≥1}=( )
A.A∩B B.A∪B C.(∁RA)∪(∁RB} D.(∁RA)∩(∁RB}
【分析】解不等式得集合A,根据补集的定义写出∁RA、∁RB,即可得出结论
【解答】解:
集合A={x|<0}={x|﹣3<x<1},
B={x|x≤﹣3},
则∁RA={x|x≤﹣3或x≥1},
∁RB={x|x>﹣3};
∴(∁RA)∩(∁RB}={x|x≥1}.
故选:
D.
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.
3.若A,B,C,D,E五位同学站成一排照相,则A,B两位同学不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】基本事件总数n==120,A,B两位同学不相邻包含的基本事件个数m==72,由此能求出A,B两位同学不相邻的概率.
【解答】解:
A,B,C,D,E五位同学站成一排照相,
基本事件总数n==120,
A,B两位同学不相邻包含的基本事件个数m==72,
∴A,B两位同学不相邻的概率为p===.
故选:
B.
【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
4.执行如图所示的程序框图,则输出的S=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知中的程序语句可知:
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:
赋值,n=2,S=0,第一次执行循环体后,S=0+,n=2+2=4;
判断4≥19不成立,第二次执行循环体后,S=+,n=2+4=6;
判断6≥19不成立,第三次执行循环体后,S=+,n=6+2=8;
判断8≥19不成立,第四次执行循环体后,S=++,n=8+2=10;
…
判断18≥19不成立,执行循环体后:
S=+++…+,n=18+2=20
判断20≥19成立,终止循环,输出S=+++…+=()=.
故选:
D.
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.
5.已知,则=( )
A. B. C. D.
【分析】由题意利用诱导公式,求得要求式子的值.
【解答】解:
∵,则=sin[﹣(x+)]=sin(﹣x)=﹣sin(x﹣)=﹣,
故选:
D.
【点评】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题.
6.已知二项式(2x2﹣)n的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是( )
A.﹣84 B.﹣14 C.14 D.84
【分析】由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为﹣1求得r值,则答案可求.
【解答】解:
由二项式(x﹣)n的展开式中所有二项式系数的和是128,
得2n=128,即n=7,
∴(2x2﹣)n=(2x2﹣)7,
由Tr+1=•x14﹣3r.
取14﹣3r=﹣1,得r=5.
∴展开式中含项的系数是.
故选:
A.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,体现了转化的数学思想,属于基础题.
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.4
【分析】由三视图知该几何体是一个四棱柱P﹣ABCD,由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系,从而可得该几何体的表面积.
【解答】解:
根据三视图可知几何体是一个四棱柱P﹣ABCD,
且底面是直角梯形,AB⊥AD、AD∥CB,
且AB=2,BC=4、AD=2,PA=2,
PA⊥平面ABCD,
由图可得,PD=2,CD=2,
PC==2,PB=2,
则该几何体的表面积为:
S△PAB+S△PAD+S△PBC+SABCD+S△PDC
=+=.
故选:
A.
【点评】本题考查几何体的三视图,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.
8.若x,y满足约束条件,则z=x2+2x+y2的最小值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【分析】由约束条件作出可行域,由z=x2+2x+y2=,其几何意义为可行域内的动点与定点P(﹣1,0)距离的平方减1求解.
【解答】解:
由约束条件作出可行域如图,
z=x2+2x+y2=,
其几何意义为可行域内的动点与定点P(﹣1,0)距离的平方减1,
∴z=x2+2y+y2的最小值为.
故选:
D.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
9.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间[﹣,]上单调递增,则ω的取值范围为( )
A.(0,] B.(0,] C.[,] D.[,2]
【分析】根据正弦函数的单调性,结合在区间[﹣,]上单调递增,建立不等式关系,即可求解.
【解答】解:
函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间[﹣,]上单调递增,
∴,k∈Z
解得:
∵ω>0,
当k=0时,可得:
.
故选:
B.
【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质,单调性的应用.属于基础题.
10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对(a,b)为( )
A.(﹣3,3) B.(﹣11,4) C.(4,﹣11) D.(﹣3,3)或(4,﹣11)
【分析】求出函数的导数,得到关于a,b的方程组,解出检验即可.
【解答】解:
(1)f′(x)=3x2+2ax+b,
若f(x)在x=1处的极值为10,
则,
解得:
或,
经检验,a=4,b=﹣11,
故选:
C.
【点评】本题考查了函数的极值问题,考查导数的应用,是一道基础题.
11.如图,在梯形ABCD中已知|AB|=2|CD|.=,双曲线过C,D,E三点,且以A,B为焦点,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.
【分析】以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的坐标系,求出C的坐标,根据向量的运算求出点E的坐标,代入双曲线方程即可求出
【解答】解:
由|AB|=2|CD|,
以AB所在的直线为x轴,
以AB的垂直平分线为y轴,
建立如图所示的坐标系,
设双曲线的方程为﹣=1,
由双曲线是以A,B为焦点,
∴A(﹣c,0),B(c,0),
把x=c,代入﹣=1,
可得y=b,
即有C(c,b),
又设A(﹣c,0),
∴=(c,b),
设E(x,y),
∴=(x+c,y),
∵=,
∴(x+c,y)=(c,b),
解得x=﹣c,y=b•),
可得E(﹣c,b•),
代入双曲线的方程可得﹣(﹣1)=1,
即e2﹣(﹣1)=,
即e2=7,
即e=,
故选:
A.
【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及向量的运算,考查了运算能力和转化能力,属于中档题.
12.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对于任意的实数x,都有f(x)+f(﹣x)=2x2,当x<0时,f'(x)+1<2x,若f(a+1)≤f(﹣a)+2a+1,则实数a的最小值为( )
A. B.﹣1 C. D.﹣2
【分析】设g(x)=f(x)﹣x2,判断g(x)的奇偶性和单调性,得出a的范围.
【解答】解:
设g(x)=f(x)﹣x2,则g(x)+g(﹣x)=f(x)+f(﹣x)﹣2x2=0,
∴g(x)是奇函数.
当x<0时,g′(x)=f′(x)﹣2x<﹣1,
∴g(x)在(﹣∞,0)上是减函数,
∴g(x)在R上是减函数.
∵f(a+1)≤f(﹣a)+2a+1,
∴f(a+1)﹣a2﹣2a﹣1≤f(﹣a)﹣(﹣a)2,
即f(a+1)﹣(a+1)2≤f(﹣a)﹣(﹣a)2,即g(a+1)≤g(﹣a),
∴a+1≥﹣a,
即a≥﹣.
故选:
A.
【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系,考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想,关键是构造函数并分析函数的单调性.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量=(m,2),=(1,1),若||=||+||,则实数m= 2 .
【分析】根据题意,求出向量+的坐标,进而可得向量+与、的模,分析可得=+,解可得m的值,即可得答案.
【解答】解:
根据题意,向量=(m,2),=(1,1),
则+=(m+1,3),
则|+|=,||=,||=,
若||=||+||,则有=+,
解可得:
m=2;
故答案为:
2.
【点评】本题考查模的计算,关键是分析向量与的关系.
14.已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形,AB⊥AC,PA⊥底面ABC,PA=AB=1,则这个三棱锥内切球的半径为 .
【分析】利用等体积法,设内切球半径为r,则r(S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB)=×PA•S△ABC,解得求出r,再根据球的体积公式即可求出.
【解答】解:
∵AB⊥AC,PA⊥底面ABC,PA=AB=1,
∴∴S△ABC=×AC×BC=×1×1=,
S△PAC=×AC×PA=S△PAB=×AB×PA=,S△PCB==,
∴VP﹣ABC=×PA•S△ABC=,
设内切球半径为r,则r(S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB)=×PA•S△ABC,解得r=.
故答案为:
.
【点评】本题考查四面体内切球的体积求法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2acos(θ﹣B)+2bcos(θ+A)+c=0,则cosθ的值为 ﹣ .
【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式,以及正弦定理即可求出.
【解答】解:
∵2acos(θ﹣B)+2bcos(θ+A)+c=0,
∴2sinA(cosθcosB+sinθsinB)+2sinB(cosθcosA﹣sinθsinA)+sinC=0,
∴2sinAcosθcosB+2sinAsinθsinB+2sinBcosθcosA﹣2sinBsinθsinA+sinC=0,
∴2cosθ(sinAcosB+cosAsinB)+2sinθ(sinAsinB﹣sinBinA)+sinC=0,
∴2cosθsin(A+B)+sinC=0,
∴2cosθsinC+sinC=0,
∴cosθ=﹣,
故答案为:
﹣.
【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式和正弦定理,属于基础题.
16.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中,用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律,俗称“杨辉三角形”.现将杨辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表,由上往下数,记第n行各数字的和为Sn,如S1=1,S2=2,S3=2,S4=4,……,则S126= 64 .
【分析】将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,可得第1次全行的数都为1的是第2行,第2次全行的数都为1的是第4行,…,由此可知全奇数的行出现在2n的行数,即第n次全行的数都为1的是第2n行.126=27﹣2,故可得.所以第128行全是1,那么第127行就是101010…101,第126行就是11001100…110011,问题得以解决.
【解答】解:
由题意,将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,
可得第1次全行的数都为1的是第2行,第2次全行的数都为1的是第4行,…,
由此可知全奇数的行出现在2n的行数,即第n次全行的数都为1的是第2n行.126=27﹣2,
故可得第128行全是1,那么第127行就是101010…101,第126行就是11001100…110011,11
又126÷4=31+2,∴S126=2×31+2=64,
故答案为:
64
【点评】本题考查的知识点是归纳推理,归纳推理的一般步骤是:
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12.00分)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{}是首项为1,公差为2的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足++…+=5﹣(4n+5)()n,求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】
(1)由题意可得:
=1+2(n﹣1),可得:
Sn=2n2﹣n.n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,n=1时,a1=1.可得an.
(2)++…+=5﹣(4n+5)()n,n≥2时,++…+=5﹣(4n+1),相减可得:
=(4n﹣3)×,进而得出bn.即可得出数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:
(1)由题意可得:
=1+2(n﹣1),可得:
Sn=2n2﹣n.
∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣n﹣[2(n﹣1)2﹣(n﹣1)]=4n﹣3.
n=1时,a1=1.对上式也成立.
∴an=4n﹣3.
(2)++…+=5﹣(4n+5)()n,
∴n≥2时,++…+=5﹣(4n+1),
相减可得:
=(4n﹣3)×,
∴bn=2n.
∴数列{bn}的前n项和Tn=2×=2n+1﹣2.
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.(12.00分)某地1~10岁男童年龄xi(岁)与身高的中位数yi(cm)(i=1,2,…,10)如表:
x(岁)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(cm)
76.5
88.5
96.8
104.1
111.3
117.7
124.0
130.0
135.4
140.2
对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi)2
(yi)2
(xi)(yi)
5.5
112.45
82.50
3947.71
566.85
(1)求y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01);
(2)某同学认为,y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型,他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07.经调查,该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与
(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?
附:
回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=,=﹣.
【分析】
(1)由题意求出,,,,代入公式求值,从而得到回归直线方程;
(2)将x=11代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07和
(1)问中的方程,得到的结果与145.3cm比较,即可判断
【解答】解:
(1)由题意,=5.5,=112.45,
==≈6.87,
=﹣=112.45﹣6.87×5.5≈74.67;
∴y关于x的线性回归方程y=6.87x+74.67;
(2)某同学认为,y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型,他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07.
当x=11时,代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07.可得y=142.74;
当x=11时,代入回归方程是y=6.87x+74.67;可得y=150.24;
由11岁男童身高的中位数为145.3cm.
可得回归方程是y=6.87x+74.67计算的误差比较大.
故回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07模拟合效果更好.
【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用,属于基础题.
19.(12.00分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,△ABD为正三角形,∠BCD=120°,CB=CD=CS=2,∠BSD=90°.
(1)求证:
AC⊥平面SBD;
(2)若SC⊥BD,求二面角A﹣SB﹣D的余弦值.
【分析】
(1)取BD中点O,连接AO,CO,则AO⊥BD,CO⊥BD,即AC⊥BD,再由已知证明△COD≌△COS,可得∠COD=∠COS=90°,即AC⊥OS,则AC⊥平面SBD;
(2)由
(1)知,AC⊥BD,又SC⊥BD,可得BD⊥平面SAC,则平面SAC⊥平面SBD,在平面SBD中,过O作OH⊥SB,连接AH,可得∠AHO为二面角A﹣SB﹣D的平面角,然后求解三角形得答案.
【解答】
(1)证明:
∵△ABD为正三角形,CB=CD,取BD中点O,
连接AO,CO,则AO⊥BD,CO⊥BD,即AC⊥BD,垂足为O,
∵∠BSD=90°,∴△BSD为直角三角形,
∵O为BD中点,∴OD=OS,