2012年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析.doc
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2012年辽宁省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2012•辽宁）已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若•=1，则x=（ ）
A．
﹣1
B．
﹣
C．
D．
1
考点：
数量积的坐标表达式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由题意，=（1，﹣1），=（2，x）．•=1，由数量积公式可得到方程2﹣x=1，解此方程即可得出正确选项
解答：
解：
因为向量=（1，﹣1），=（2，x）．•=1
所以2﹣x=1，解得x=1
故选D
点评：
本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，本题是基础题，记忆型
2．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（ ）
A．
{5，8}
B．
{7，9}
C．
{0，1，3}
D．
{2，4，6}
考点：
交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁UA）∩（∁UB）
解答：
解：
由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}，
所以（CUA）∩（CUB）={7，9}
故选B
点评：
本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则
3．（5分）（2012•辽宁）复数=（ ）
A．
B．
C．
1﹣i
D．
1+i
考点：
复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项
解答：
解：
故选A
点评：
本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题
4．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ ）
A．
12
B．
16
C．
20
D．
24
考点：
等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果
解答：
解：
由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，
故选B
点评：
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题
5．（5分）（2012•辽宁）已知命题p：
∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（ ）
A．
∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
B．
∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
C．
∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
D．
∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
考点：
命题的否定．菁优网版权所有
专题：
简易逻辑．
分析：
由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项
解答：
解：
命题p：
∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，
故¬p：
∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．
故选：
C．
点评：
本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．
6．（5分）（2012•辽宁）已知，α∈（0，π），则sin2α=（ ）
A．
﹣1
B．
C．
D．
1
考点：
二倍角的正弦．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
由，两边同时平方，结合同角平方关系可求．
解答：
解：
∵，
两边同时平方可得，（sinα﹣cosα）2=2，
∴1﹣2sinαcosα=2，
∴sin2α=﹣1．
故选A．
点评：
本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式的应用，属于基础试题．
7．（5分）（2012•辽宁）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（ ）
A．
x+y﹣1=0
B．
x+y+3=0
C．
x﹣y+1=0
D．
x﹣y+3=0
考点：
直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．
解答：
解：
将圆的方程化为标准方程得：
（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，
可得出圆心坐标为（1，2），
将x=1，y=2代入A选项得：
x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；
将x=1，y=2代入B选项得：
x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；
将x=1，y=2代入C选项得：
x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；
将x=1，y=2代入D选项得：
x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，
则直线x﹣y+1=0将圆平分．
故选C
点评：
此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．
8．（5分）（2012•辽宁）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（ ）
A．
（﹣1，1]
B．
（0，1]
C．
[1，+∞）
D．
（0，+∞）
考点：
利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由y=x2﹣lnx得y′=，由y′≤0即可求得函数y=x2﹣lnx的单调递减区间．
解答：
解：
∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），
y′=，
∴由y′≤0得：
0＜x≤1，
∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．
故选：
B．
点评：
本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．
9．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（ ）
A．
20
B．
35
C．
45
D．
55
考点：
简单线性规划．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
解答：
解：
满足约束条件的平面区域如下图所示：
令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大
作直线l：
2x+3y=0
把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，
由可得x=5，y=15，此时z=55
故选D
点评：
本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．
10．（5分）（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）
A．
4
B．
C．
D．
﹣1
考点：
循环结构．菁优网版权所有
专题：
阅读型．
分析：
根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的S即可．
解答：
解：
第一次运行得：
S=﹣1，i=2，满足i＜6，则继续运行
第二次运行得：
S=，i=3，满足i＜6，则继续运行
第三次运行得：
S=，i=4，满足i＜6，则继续运行
第四次运行得：
S=4，i=5，满足i＜6，则继续运行
第五次运行得：
S=﹣1，i=6，不满足i＜6，则停止运行
输出S=﹣1，
故选D．
点评：
本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：
当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
11．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
几何概型．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．
解答：
解：
设AC=x，则BC=12﹣x（0＜x＜12）
矩形的面积S=x（12﹣x）＞20
∴x2﹣12x+20＜0
∴2＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．
故选C．
点评：
本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题．
12．（5分）（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）
A．
1
B．
3
C．
﹣4
D．
﹣8
考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
首先可求出P（4，8），Q（﹣2，2），然后根据导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率KAP，KAQ，再根据点斜式写出切线方程，然后联立方程即可求出点A的纵坐标．
解答：
解：
∵P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，
∴P（4，8），Q（﹣2，2），
∵x2=2y，
∴y=，
∴y′=x，
∴切线方程AP，AQ的斜率KAP=4，KAQ=﹣2，
∴切线方程AP为y﹣8=4（x﹣4），即y=4x﹣8，
切线方程AQ的为y﹣2=﹣2（x+2），即y=﹣2x﹣2，
令，
∴，
∴点A的纵坐标为﹣4．
故选：
C．
点评：
本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程，属常考题，较难．解题的关键是利用导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率KAP，KAQ．
二、填空题（共4小题，满分20分）
13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12+π ．
考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为2，高为1．下部为长方体，长、宽、高分别为4，3，1．分别求体积再相加即可．
解答：
解：
由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为2，高为1，体积为π×12×1=π．
下部为长方体，长、宽、高分别为4，3，1，体积为4×3×1=12．
故所求体积等于12+π
故答案为：
12+π
点评：
本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键
14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{an}为递增数列．若a1＞0，且2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的公比q= 2 ．
考点：
等比数列的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由{an}为递增数列且a1＞0可知q＞1，由已知可得2（）=5anq，可求q
解答：
解：
∵{an}为递增数列且a1＞0
∴q＞1
∵2（an+an+2）=5an+1，
∴2（）=5anq
∴2+2q2=5q
∴q=2
故答案为：
2
点评：
本题主要考查了等比数列的单调性及等比数列通项公式的应用，属于基础试题
15．（5分）（2012•辽宁）已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为 ．
考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．
解答：
解：
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为：
点评：
本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
16．（5分）（2012•辽宁）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为 ．
考点：
直线与平面垂直的性质；球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
可将P，A，B，C，D补全为长方体ANCD﹣A′B′C′D′，让P与A′重合，则该长方体的对角线PC即为球O的直径（球O为该长方体的外接球，于是可求得PC的长度，可判断△OAB为等边三角形，从而而求其面积．
解答：
解：
依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，让P与A′重合，则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．
∵ABCD是边长为2正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，
∴PC2=AP2+AC2=24+24=48，
∴2R=4，R=OP=2，
∴△OAB为边长是2的等边三角形，
∴S△OAB=×2×2×sin60°
=3．
故答案为：
3．
点评：
本题考查直线与平面垂直的性质，考查球内接多面体的应用，“补形”是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
考点：
数列与三角函数的综合．菁优网版权所有
专题：
计算题；综合题．
分析：
（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；
（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．
解答：
解：
（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，
∴cosB=；…6分
（Ⅱ）（解法一）
由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，
又cosB=，
∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分
（解法二）
由已知b2=ac及cosB=，
根据余弦定理cosB=解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=…12分
点评：
本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．
18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：
MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．
（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）
考点：
直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）证法一，连接AB′，AC′，通过证明MN∥AC′证明MN∥平面A′ACC′．
证法二，通过证出MP∥AA′，PN∥A′C′．证出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，即能证明平面MPN∥平面A′ACC′后证明MN∥平面A′ACC′．
（Ⅱ）解法一，连接BN，则VA′﹣MNC=VN﹣A′MC=VN﹣A′BC=VA′﹣NBC=．
解法二，VA′﹣MNC=VA′﹣NBC﹣VM﹣NBC=VA′﹣NBC=．
解答：
（Ⅰ）（证法一）
连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′的中点，又因为N为B′C′中点，所以MN∥AC′，
又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；
（证法二）
取A′B′中点，连接MP，NP．而M，N分别为AB′，B′C′中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）（解法一）连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故
VA′﹣MNC=VN﹣A′MC=VN﹣A′BC=VA′﹣NBC=．
（解法二）
VA′﹣MNC=VA′﹣NBC﹣VM﹣NBC=VA′﹣NBC=．
点评：
本题考查线面关系，体积求解，考查空间想象能力、思维能力、推理论证能力、转化、计算等能力．
19．（12分）（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
P（K2≥k）
0.05
0.01
k
3.841
6.635
附．
考点：
独立性检验的应用；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K方，与3.841比较即可得出结论；
（II）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率．
解答：
解：
（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
…3分
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
==≈3.03
因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关…6分
（II）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为
Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}
其中ai表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2…9分
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示事件“任选2人，至少有1人是女性”．则
A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}
事件A有7个基本事件组成，因而P（A）=…12分
点评：
本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型
20．（12分）（2012•辽宁）如图，动圆，1＜t＜3与椭圆C2：
相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？
并求出其最大面积；
（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
考点：
圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|，由得，从而=，由此可求矩形ABCD的面积的最大值；
（Ⅱ）由A（x0，y0），B（x0，﹣y0），A1（﹣3，0），A2（3，0），确定直线AA1的方程，直线A2B方程，利用，即可求得直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
解答：
解：
（Ⅰ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|
由得，从而==
∴，时，Smax=6
∴t=时，矩形ABCD的面积取得最大值，最大面积为6；
（Ⅱ）由A（x0，y0），B（x0，﹣y0），A1（﹣3，0），A2（3，0），知直线AA1的方程为①
直线A2B方程为②
由①②可得：
③
∵④
∴④代入③可得（x＜﹣3，y＜0）
∴直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程（x＜﹣3，y＜0）．
点评：
本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大．
21．（12分）（2012•辽宁）设，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（x﹣1）；
（Ⅱ）当1＜x＜3时，．
考点：
综合法与分析法（选修）；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有
专题：
证明题；综合题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）证法一，记g（x）=lnx+﹣1﹣（x﹣1），可得到g′（x）=+﹣＜0，从而g（x）为减函数，又g
（1）=0，当x＞1时，g（x）＜g
（1），问题解决；
证法二，利用均值不等式，可证得，当x＞1时，＜+．①，令k（x）=lnx﹣x+1，同理可证k（x）为减函数，于是有lnx＜x﹣1②，由①②可证得结论；
（Ⅱ）记h（x）=f（x）﹣，可求得h′（x）=﹣＜＜0（1＜x＜3），从而h（x）在（1，3）内是递减函数，又由h
（1）=0，得h（x）＜0，从而证得结论；
解答：
证明：
（Ⅰ）（证法一）：
记g（x）=lnx+﹣1﹣（x﹣1），则当x＞1时，g′（x）=+﹣＜0，
又g
（1）=0，有g（x）＜0，即f（x）＜（x﹣1）；…4′
（证法二）由均值不等式，当x＞1时，2＜x+1，故
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