陕西高考理科数学试题及答案详解.doc

陕西高考理科数学试题及答案详解.doc

《陕西高考理科数学试题及答案详解.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陕西高考理科数学试题及答案详解.doc（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）（陕西卷）

第一部分（共50分）

一、选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．（2013陕西，理1）设全集为R，函数f（x）＝的定义域为M，则RM为（　　）．

A．[－1,1]B．（－1,1）C．（－∞，－1]∪[1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

1）∪（1，＋∞）．

2．（2013陕西，理2）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（　　）．

A．25

B．30

C．31

D．61

3．（2013陕西，理3）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的（　　）．

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

4．（2013陕西，理4）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（　　）．

A．11B．12C．13D．14

5．（2013陕西，理5）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（　　）．

A．B．

C．D．

6．（2013陕西，理6）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（　　）．

A．若|z1－z2|＝0，则B．若，则

C．若|z1|＝|z2|，则D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22

7．（2013陕西，理7）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）．

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定

8．（2013陕西，理8）设函数f（x）＝则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为

A．－20B．20C．－15D．15

9．（2013陕西，理9）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：

m）的取值范围是（　　）．

A．[15,20]B．[12,25]

C．[10,30]D．[20,30]

10．（2013陕西，理10）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（　　）．

A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]

C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y]

第二部分（共100分）

二、填空题：

把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．

11．（2013陕西，理11）双曲线的离心率为，则m等于__________．

12．（2013陕西，理12）某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．

13．（2013陕西，理13）若点（x，y）位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．

14．（2013陕西，理14）观察下列等式

12＝1

12－22＝－3

12－22＋32＝6

12－22＋32－42＝－10

……

照此规律，第n个等式可为__________．

15．（2013陕西，理15）（考生注意：

请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则（am＋bn）（bm＋an）的最小值为__________．

B．（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.

C．（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．

16．（2013陕西，理16）（本小题满分12分）已知向量a＝，b＝（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）＝a·b.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在上的最大值和最小值．

17．（2013陕西，理17）（本小题满分12分）设{an}是公比为q的等比数列．

（1）推导{an}的前n项和公式；

（2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

18．（2013陕西，理18）（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.

（1）证明：

A1C⊥平面BB1D1D；

（2）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．

19．（2013陕西，理19）（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．

（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．

20．（2013陕西，理20）（本小题满分13分）已知动圆过定点A（4,0），且在y轴上截得弦MN的长为8.

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）已知点B（－1,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

21．（2013陕西，理21）（本小题满分14分）已知函数f（x）＝ex，x∈R.

（1）若直线y＝kx＋1与f（x）的反函数的图像相切，求实数k的值；

（2）设x＞0，讨论曲线y＝f（x）与曲线y＝mx2（m＞0）公共点的个数；

（3）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）

（陕西卷）

第一部分（共50分）

一、选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．

答案：

D

解析：

要使函数f（x）＝有意义，则1－x2≥0，解得－1≤x≤1，则M＝[－1,1]，RM＝（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

2．

答案：

C

解析：

由算法语句可知

所以当x＝60时，y＝25＋0.6×（60－50）＝25＋6＝31.

3．

答案：

C

解析：

若a与b中有一个为零向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，由|a·b|＝|a||b|得|cosθ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a∥b.若a∥b，则a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cosθ|＝1，所以|a·b|＝|a||b|，故“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．

4．

答案：

B

解析：

840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l，则第k段抽取的号码为l＋（k－1）·20,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l＋（k－1）·20≤720，得25＋≤k≤37－.由1≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k共有12个．

5．

答案：

A

解析：

S矩形ABCD＝1×2＝2，S扇形ADE＝S扇形CBF＝.由几何概型可知该地点无信号的概率为

P＝.

6．

答案：

D

解析：

对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故，正确；对于选项B，若，则，正确；对于选项C，z1·＝|z1|2，z2·2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则，正确；对于选项D，如令z1＝i＋1，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z12＝2i，z22＝－2i，故不正确．

7．

答案：

B

解析：

∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin（B＋C）＝sin2A，即sinA＝sin2A．又sinA＞0，∴sinA＝1，∴，故△ABC为直角三角形．

8．

答案：

A

解析：

当x＞0时，f（x）＝＜0，则

f[f（x）]＝.

.令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝（－1）3＝－20.

9．

答案：

C

解析：

设矩形另一边长为y，如图所示.，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x（40－x）≥300，解得10≤x≤30，故选C．

10．

答案：

D

解析：

对于选项A，取x＝－1.1，则[－x]＝[1.1]＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－（－2）＝2，故不正确；对于选项B，令x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－1.5，y＝－2.5，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．

第二部分（共100分）

二、填空题：

把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．

11．答案：

9

解析：

由双曲线方程知a＝4.又，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.

12．

答案：

解析：

由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝.

13．答案：

－4

解析：

由y＝|x－1|＝及y＝2画出可行域如图阴影部分所示．

令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：

y＝2x并平移到过点A（－1,2）的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×（－1）－2＝－4.

14．

答案：

12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1·

解析：

第n个等式的左边第n项应是（－1）n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝，故有12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1.

15．（2013陕西，理15）（考生注意：

请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．答案：

2

解析：

（am＋bn）（bm＋an）＝abm2＋（a2＋b2）mn＋abn2＝ab（m2＋n2）＋2（a2＋b2）≥2abmn＋2（a2＋b2）＝4ab＋2（a2＋b2）＝2（a2＋2ab＋b2）＝2（a＋b）2＝2（当且仅当m＝n＝时等号成立）．

B．

答案：

解析：

∠C与∠A在同一个O中，所对的弧都是，则∠C＝∠A．又PE∥BC，∴∠C＝∠PED．∴∠A＝∠PED．又∠P＝∠P，∴△PED∽△PAE，则，∴PE2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3，∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝.

C．

答案：

（θ为参数）

解析：

由三角函数定义知＝tanθ（x≠0），y＝xtanθ，由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝＝cos2θ，则y＝xtanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，又时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为（θ为参数）．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．

16．

解：

f（x）＝·（sinx，cos2x）

＝cosxsinx－cos2x

＝sin2x－cos2x

＝

＝.

（1）f（x）的最小正周期为，

即函数f（x）的最小正周期为π.

（2）∵0≤x≤，

∴.由正弦函数的性质，

当，即时，f（x）取得最大值1.

当，即x＝0时，f（0）＝，

当，即时，，

∴f（x）的最小值为.

因此，f（x）在上最大值是1，最小值是.

17．

（1）解：

设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，

∴，∴

（2）证明：

假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，

（ak＋1＋1）2＝（ak＋1）（ak＋2＋1），

＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

a12q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.

∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾，

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

18．

（1）证法一：

由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．

∵AB＝AA1＝，

∴OA＝OB＝OA1＝1，

∴A（1,0,0），B（0,1,0），C（－1,0,0），D（0，－1,0），A1（0,0,1）．

由＝，易得B1（－1,1,1）．

∵＝（－1,0，－1），＝（0，－2,0），

＝（－1,0,1），

∴·＝0，·＝0，

∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，

∴A1C⊥平面BB1D1D．

证法二：

∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．

又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．

又∵OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA12＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．

又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．

（2）解：

设平面OCB1的法向量n＝（x，y，z），

∵＝（－1,0,0），＝（－1,1,1），

∴∴

取n＝（0,1，－1），

由

（1）知，＝（－1,0，－1）是平面BB1D1D的法向量，

∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝.

又∵0≤θ≤，∴.

19．

解：

（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，

则P（A）＝，P（B）＝.

∵事件A与B相互独立，

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P（A）＝P（A）·P（）＝P（A）·[1－P（B）]＝.

（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P（C）＝，

∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为

P（X＝0）＝，

P（X＝1）＝

＝，

P（X＝2）＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）＝，

P（X＝3）＝P（ABC）＝，

∴X的分布列为

X

0

1

2

3

P

∴X的数学期望.

20．

（1）解：

如图，设动圆圆心O1（x，y），由题意，|O1A|＝|O1M|，

当O1不在y轴上时，

过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，

∴，又，

∴，

化简得y2＝8x（x≠0）．

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标（0,0）也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

（2）证明：

由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

将y＝kx＋b代入y2＝8x中，

得k2x2＋（2bk－8）x＋b2＝0，

其中Δ＝－32kb＋64＞0.

由求根公式得，x1＋x2＝，①

x1x2＝，②

因为x轴是∠PBQ的角平分线，

所以，

即y1（x2＋1）＋y2（x1＋1）＝0，

（kx1＋b）（x2＋1）＋（kx2＋b）（x1＋1）＝0，

2kx1x2＋（b＋k）（x1＋x2）＋2b＝0，③

将①，②代入③得2kb2＋（k＋b）（8－2bk）＋2k2b＝0，

∴k＝－b，此时Δ＞0，

∴直线l的方程为y＝k（x－1），

即直线l过定点（1,0）．

21．

解：

（1）f（x）的反函数为g（x）＝lnx.

设直线y＝kx＋1与g（x）＝lnx的图像在P（x0，y0）处相切，

则有y0＝kx0＋1＝lnx0，k＝g′（x0）＝，

解得x0＝e2，.

（2）曲线y＝ex与y＝mx2的公共点个数等于曲线与y＝m的公共点个数．

令，则，

∴φ′

（2）＝0.

当x∈（0,2）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0,2）上单调递减；

当x∈（2，＋∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（2，＋∞）上单调递增，

∴φ（x）在（0，＋∞）上的最小值为.

当0＜m＜时，曲线与y＝m无公共点；

当时，曲线与y＝m恰有一个公共点；

当时，在区间（0,2）内存在，使得φ（x1）＞m，在（2，＋∞）内存在x2＝me2，使得φ（x2）＞m.由φ（x）的单调性知，曲线与y＝m在（0，＋∞）上恰有两个公共点．

综上所述，当x＞0时，

若0＜m＜，曲线y＝f（x）与y＝mx2没有公共点；

若，曲线y＝f（x）与y＝mx2有一个公共点；

若，曲线y＝f（x）与y＝mx2有两个公共点．

（3）解法一：

可以证明.

事实上，

（b＞a）．（*）

令（x≥0），

则（仅当x＝0时等号成立），

∴ψ（x）在[0，＋∞）上单调递增，

∴x＞0时，ψ（x）＞ψ（0）＝0.

令x＝b－a，即得（*）式，结论得证．

解法二：

＝

＝[（b－a）eb－a＋（b－a）－2eb－a＋2]，

设函数u（x）＝xex＋x－2ex＋2（x≥0），

则u′（x）＝ex＋xex＋1－2ex，

令h（x）＝u′（x），则h′（x）＝ex＋ex＋xex－2ex＝xex≥0（仅当x＝0时等号成立），

∴u′（x）单调递增，

∴当x＞0时，u′（x）＞u′（0）＝0，

∴u（x）单调递增．

当x＞0时，u（x）＞u（0）＝0.

令x＝b－a，则得（b－a）eb－a＋（b－a）－2eb－a＋2＞0，

∴，

因此，.

2013陕西理科数学第14页