秋人教版八年级数学上第十三章轴对称教案.docx

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秋人教版八年级数学上第十三章轴对称教案

第十三章　轴对称

13．1　轴对称

13．1.1　轴对称

1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．

2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．

3．掌握线段垂直平分线的概念．

4．理解和掌握轴对称的性质．

重点

轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．

难点

轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．

一、作品展示

1．让部分学生展示课前的剪纸作品．

2．小组活动：

（1）在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？

为什么要这样？

（2）这些窗花（图案）有什么共同的特点？

二、概念形成

（一）轴对称图形

1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．

2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．

3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．

4．概念应用：

（1）教材第60页练习第1题．

（2）补充：

判断下面的图形是不是轴对称图形？

如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？

（二）两个图形关于某条直线对称

1．观察教材中的图13.1－3，思考：

图中的每对图形有什么共同的特点？

2．两个图形成轴对称的定义．

观察右图：

把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，

点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．

3．举例：

你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？

4．讨论：

轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．

（三）轴对称的性质

观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？

你能说明理由吗？

引导学生说出如下关系：

PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.

类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？

你能用语言归纳上述发现的规律吗？

结合学生发表的观点，教师总结并板书．

对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．

上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？

从而得出：

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．

三、归纳小结

主要围绕下列几个问题：

（1）概念：

轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；

（2）找轴对称图形的对称轴．

四、布置作业

教材习题13.1第1，2，3题．

数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒.当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．

13．1.2　线段的垂直平分线的性质（2课时）

第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定

掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．

重点

线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．

难点

灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．

一、问题导入

我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？

这节课我们就来研究它．

二、探究新知

（一）线段的垂直平分线的性质

教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？

学生回答，教师小结：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

性质的证明：

教师讲解题意并在黑板上绘出图形：

上述问题用数学语言可以这样表示：

如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.

教师分析证明思路：

图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.

教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．

学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．

已知：

MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：

PA＝PB.

证明：

在△APC和△BPC中，

∵PC＝PC（公共边），∠PCB＝∠PCA（垂直定义），AC＝BC（已知），

∴△APC≌△BPC（SAS）．

∴PA＝PB（全等三角形的对应边相等）．

因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

（二）线段的垂直平分线的判定

你能写出上面这个命题的逆命题吗？

它是真命题吗？

这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．

此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．

学生给出了如下的四种证法．

已知：

线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.

求证：

P点在AB的垂直平分线上．

证法一　过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．

证法二　取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC（SSS）．

∴∠PCA＝∠PCB（全等三角形的对应角相等）．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．

证法三　过P点作∠APB的平分线．

∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC（SAS）．

∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB（全等三角形的对应边相等，对应角相等）．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．

证法四　过P作线段AB的垂直平分线PC.

∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．

四种证法由学生表述后，有学生提问：

“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”

师生共析：

如图

（1），PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图

（2），PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．

从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．

要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．

下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．

例1　尺规作图：

经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

已知：

直线AB和AB外一点C.（如下图）

求作：

AB的垂线，使它经过点C.

作法：

（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．

（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.

（3）分别以点D和点E为圆心，大于

DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.

（4）作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线．

师：

根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？

请与同伴进行交流．

生：

从作法的第

（2）（3）步可知CD＝CE，DF＝EF，

∴C，F都在AB的垂直平分线上（线段的垂直平分线的判定）．

∴CF就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．

师：

我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．

三、课堂练习

教材第62页练习第1，2题．

四、课堂小结

本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．

五、布置作业

1．教材习题13.1第6题．

2．补充题：

（1）下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么？

（2）如左下图，△ABC中，AC＝16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm.求BC的长．

（3）有A，B，C三个村庄（如右上图），现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．

本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．

第2课时　画对称轴

会画轴对称图形的对称轴．

重点

轴对称图形的对称轴的画法．

难点

轴对称图形的对称轴的画法．

一、提出问题

如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？

不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？

二、探究新知

我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？

例1　如图

（1），已知点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

分析：

我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线．

教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形．

学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．

作法：

如图

（2）．

（1）分别以点A，B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧（想一想，为什么），两弧相交于C，D两点；

（2）作直线CD.

CD就是所求作的直线．

这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图．

教师引导学生思考：

（1）在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?

（2）可以用这种方法找线段的中点吗？

四等分点呢？

三、举例分析

例2　如图

（1），△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．

教学方法：

启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图

（2）．

例3　图

（1）是一个五角星，请画出它的对称轴．

教学方法：

引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？

最后化归到例2，由学生自己完成．

四、巩固练习

教材第64页练习第1，2，3题．

五、课堂小结

本节课你有什么收获？

还有哪些不懂的地方吗？

六、布置作业

教材习题13.1第7，8题．

通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．

13．2　画轴对称图形（2课时）

第1课时　作轴对称图形

通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．

重点

能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．

难点

较复杂图形的轴对称图形的画法．

一、问题导入

我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？

这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．

二、探究新知

[活动]　在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．

认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？

（成轴对称）

对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？

（直线l垂直平分线段PP′）

[思考1]　如何画一个点的对称图形？

例1　画出点A关于直线l的对称点A′.

画法：

（1）过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；

（2）延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．

[思考2]　如何画一条直线的对称图形？

例2　已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．

画法：

（1）画出点A关于直线l的对称点A′.

（2）画出点B关于直线l的对称点B′.

（3）连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．

[思考3]　如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？

例3　如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．

画法：

（1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A关于直线l的对称点．

（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.

（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．

三、课堂练习

1．教材第68页练习第1，2题

2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是（　　）

四、小结与作业

1．归纳：

几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点），连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．

2．作业：

教材习题13.2第1题．

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

第2课时　用坐标表示轴对称

1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．

2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．

重点

用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．

难点

找对称点的坐标之间的关系．

一、问题导入

教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？

二、探究新知

【探究1】　

（1）在直角坐标系中画出下列已知点A（2，－3），B（－1，2），C（－6，－5），D（3，5），E（4，0），F（0，－3）；

（2）画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；

（3）请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？

（4）请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．

已知点

A（2，－3）

B（－1，2）

C（－6，－5）

D（3，5）

E（4，0）

F（0，－3）

关于x轴

的对称点

关于y轴

的对称点

　　【归纳】　关于x轴对称的点的坐标规律是：

横坐标相同，纵坐标互为相反数．

【探究2】　在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？

【归纳】　关于y轴对称的点的坐标规律是：

纵坐标相同，横坐标互为相反数．

【探究3】　按以上规律，说出点P（x，y）关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．

观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？

【归纳】　一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：

横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．

三、举例分析

【例1】　已知A（2，a），B（－b，4），分别根据下列条件求a，b的值．

（1）A，B关于y轴对称；

（2）A，B关于x轴对称；

（3）A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．

【解析】　

（1）A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；

（2）A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；

（3）A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.

【例2】　如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．

学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．

四、课堂巩固

1．平面直角坐标系中，点P（4，－5）关于x轴的对称点在（　　）

A．第一象限　　　　　　B．第二象限

C．第三象限　　　　　　D．第四象限

2．已知点P（－2，3）关于y轴对称点为Q（a，b），则a＋b的值为（　　）

A．1　　　　B．－1　　　　C．5　　　　D．－5

3．点P（a，b）关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为（　　）

A．（a，b）B．（a，－b）

C．（－a，b）D．（－a，－b）

4．若点（a，b）与点（m，n）满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于（　　）对称．

A．x轴B．y轴

C．x轴或y轴D．不确定

五、拓展思维

如图，点A（1，4），B（4，1），l为第一、三象限角∠xOy的平分线．

（1）求证：

l垂直平分AB；

（2）A，B关于l成轴对称吗？

（3）如果点A，B的坐标分别为（6，8）和（8，6），它们还关于l对称吗？

（4）如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P（m，n）关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．

六、小结与作业

小结：

（1）点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．

（2）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

作业：

教材习题13.2第3，4题．

本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．

13．3　等腰三角形

13．3.1　等腰三角形（2课时）

第1课时　等腰三角形的性质和应用

1．理解并掌握等腰三角形的性质．

2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．

3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．

重点

等腰三角形的性质及应用．

难点

等腰三角形的性质的证明．

一、情境导入

【活动1】

教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．

让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．

我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．

二、探究新知

如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？

学生活动：

学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.

教师活动：

让学生回顾等腰三角形的概念：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．

在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角．

【活动2】

把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：

重合的线段

重合的角

　　从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？

学生活动：

学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．

教师活动：

引导学生归纳．

性质1　等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2　等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．

【活动3】

你能用所学知识验证上述性质吗？

如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：

∠B＝∠C.

学生活动：

学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．

于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．

教师活动：

让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．

证明：

作BC边上的中线AD，如图．

在△ABD和△ACD中，

所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B＝∠C.

这样，就证明了性质1.

类比性质1的证明你能证明性质2吗？

由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°.

从而AD⊥BC，这也就证明了等腰△ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.

添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2.

三、应用提高

例1　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

学生活动：

小组合作，分组讨论、交流．

教师活动：

引导学生分析图形中关于角的数量关系．（三角形的内角、外角，等腰三角形的底角）

发现：

（1）∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；

（2）∠A＝∠ABD；

（3）∠A＋2∠C＝180°.

若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角的度数．

四、小结与作业

请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？

师生活动：

学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：

小结：

（1）等边对等角；

（2）等腰三角形的三线合一；（3）等腰三角形常用辅助线作法（作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线）．

作业：

教材习题13.3第1，3，7题．

本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．

第2课时　等腰三角形的判定

1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．

2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．

重点

等腰三角形的判定方法．

难点

等腰三角形的判定方法的证