初二上册数学八年级秋季班第18讲直角三角形的判定性质和推论马秋燕Word文档格式.docx

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G

O

H

已知：

如图，EF⊥AD，BC⊥AD，AG=DH，AF=DC，那么图中全等的三角形共有______对．

【例3】下列命题中，正确的个数是（）

①两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；

③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．

A．3B．2C．1D．0

【难度】★★

【例4】已知：

如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F，

求证：

CE=DF．

【例5】

如图，已知：

Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：

CD⊥BE．

【例6】如图，△ABC中，AB⊥BC，AD平分∠BAC，DF⊥AC，ED=CD．求证：

AC=AE+2BE．

【例7】如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．若AB=CD，

（1）BD与EF有什么关系?

为什么?

（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?

请说明理由．

图2

图1

【例8】在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，若BD>

CE，试问：

（1）AD与CE的大小关系如何?

请说明理由；

（2）线段BD、DE、CE之间的数量关系如何?

你能说明清楚吗?

试一试．

l

【难度】★★★

【例9】如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图1），且AD=CE，求证：

AB⊥AC．

（2）

若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?

若是，请予以证明，若不是，请说明理由．

【例10】如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，CD是斜边AB上的高，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥CD、交BC边于点F，EG垂直BC于点G，求证：

DE=EG．

2、两个性质：

（1）直角三角形的两个锐角互余；

（2）在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．

【例11】如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D：

（1）若∠B=55°

，则∠A=________；

（2）若∠B

∠A=10°

，则∠B=_________；

（3）图中与∠A互余的角有_________，与∠A相等的角有_________．

【例12】

如图，已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°

，M、N分别是AC、BD中点．求证：

MN⊥BD．

【例13】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AB的中垂线交AB于E、AC于D，BD、CE交于F，设∠A=y，∠DFC=x，

（1）求证：

∠CDB=∠CEB；

（2）用x的代数式表示y．

【例14】

P

如图

中，AD是BC边上的高，CF是AB边的中线，BF=DC，P是CF中

点．

求证：

（1）

；

（2）

．

【例15】

M

如图，

，

交于点O，且BD=BO，CA=CO，E、F、M分别是OD、OA、BC的中点，求证：

【例16】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD、BC的中点，若∠B与

∠C互余，则MN与（BC

AD）的关系是什么?

【例17】如图，已知在钝角

ABC中，AC、BC边上的高分别是BE、AD，BE、AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点．

∠FDG=90°

（2）连结FG，试问

FDG能否为等腰直角三角形?

若能，试确定

ABC的度数，并写出你的推理过程；

若不能，请简要说明理由．

【例18】

如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°

，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证：

∠CDA＝∠EDB．

【例19】如图，点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连接AF、CE，取AF、CE的中点M、N，连接MB、NB、NM．

（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°

，如图1所示，则△MBN是_____________三角形；

（2）若△ABE和△FBC中，BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC=α，如图2所示，则△MBN是_____________三角形，且∠MBN=_______；

（3）

若

（2）中的△ABE绕点B旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么

（2）中的结论是否成立?

若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．

【例20】

N

已知，如图，在△ABC中，边AB上的高CF、边BC上的高AD与边CA上的高BE交于点H，连接EF，AH和BC的中点为N、M．

求证：

MN是线段EF的中垂线．

模块三：

直角三角形性质的推论

知识精讲

3、推论：

（1）在直角三角形中，30°

所对的直角边等于斜边的一半；

（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°

【例21】

（1）△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°

，则BC边上的高AD=________；

（2）△ABC中，AB=AC，AB上的高CD=

AB，则顶角∠BAC=_______．

【例22】

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为__________．

【例23】

如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°

，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：

【例24】已知：

如图，Rt△ABC和Rt△ABD中，DA=DB，∠ADB=90°

，BC=

AB，

∠ACB=90°

，DE⊥AB，联结DC，求∠EDC的大小．

【例25】

已知如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=30°

，D为AB上一点，且BD=

AB．求证：

CD⊥AB．

【例26】已知等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，过点B作BG⊥AD，垂足为G，

（1）求FG：

BF的值；

若D、E分别在BC、CA的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由．

【例27】在△ABC中，已知∠A=60°

，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，点D是BC中点.

（1）如果AB=AC，求证△DEF为等边三角形；

（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；

（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度．

【例28】已知∠MAN，AC平分∠MAN，

（1）在图1中，若∠MAN=120°

，∠ABC=∠ADC=90°

，求证：

AB+AD=AC.

（2）在图2中，若∠MAN=120°

，∠ABC+∠ADC=180°

，则

（1）中的结论是否仍然成立?

若成立，请给出证明；

若不成立，请说明理由．

随堂检测

【习题1】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）．

A．两条直角边对应相等

B．斜边一个锐角对应相等

C．一条直角边和一条斜边对应相等

D．一条边和一个角对应相等

【习题2】如图在△ABC中，∠ACB=90°

，在AB上截取AE=AC，BD=BC，则

∠DCE=_________．

【习题3】如图在△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于点D，∠A=30°

，则AD=_____AB

【习题4】

如图，在直角△ABC在，∠ACB=90°

，AB=8cm，D为AB的中点，DE⊥AC于E，∠A=30°

，求BC、CD和DE的长．

【习题5】

如图，△ABC中，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E，交AD于点H，且AD=BD，AC=BH，连接CH．求证：

∠ABC=∠BCH．

【习题6】

如图，已知，在锐角三角形ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F，求证：

BF=BD．

【习题7】

如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，D是边BC的中点，连接DF、EF、DE．

（1）求证：

ED=DF；

（2）若△DEF是等边三角形，则△ABC应满足什么条件?

【习题8】如图，AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC．求证：

AB=BO．

【习题9】

如图在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE，DG⊥CE，垂足为点G．

∠AEC=3∠DCE．

【习题10】

如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的一点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，CF⊥BE.求AF：

BF的值．

【习题11】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，以AB为边向外作等边三角形ABD，AE⊥BD于点E，AE交CD于点M.

（1）线段DM与线段BC有怎样的数量关系?

并证明；

（2）若△ABC于△ABD在AB的同侧，CD的延长线与AE的延长线交于点M，请在图2中画出△ABD与点M；

线段DM与BC仍有

（1）中的数量关系吗?

并证明．

课后作业

【作业1】下列命题中，正确的有（）个

（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等

（2）有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等

（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

A．0B．1C．2D．3

【作业2】

（1）直角△ABC中，∠C=90°

，CD⊥AB，点E是AB的中点，∠ACD=25°

，则∠ECB=__________；

（2）直角△ABC中，∠C=90°

，CD⊥AB，点E是AB的中点，∠DCE=10°

，则∠B=______________．

【作业3】

中，

，则

=________，

=____________．

【作业4】

（1）等腰三角形底角是75°

，腰长为9，则此三角形的面积是_______；

（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________．

【作业5】已知：

AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，且AE=AD，AB=BC，求证：

CE=CD．

【作业6】已知：

如图，△ABC中，∠B=40°

，∠C=20°

，DA⊥CA，求证：

CD=2AB．

【作业7】

△ABC中，AB=AC，∠A=60°

，BD=CD，BE∥AC，DE⊥BE，求证：

4BE=AC.

【作业8】

在等腰直角△ABC中，D是斜边AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且AE=CF，联结DE、DF、EF，试判断△DEF的形状，并加以证明．

【作业9】

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°

，AC、BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点．

MN⊥BD；

（2）当∠BAC=15°

，AC=10，OB=OM时，求MN的长

【作业10】已知：

等腰直角△ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D是线段BC上的一点，且BP=PD，过点D作AC边上的高DE，求证：

PE=BO．

【作业11】如图1，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．

△BMD为等腰直角三角形；

（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°

，如图2所示，

（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；

将△ADE绕点A逆时针旋转135°

，

（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．