三角形性质 多边形内角和数学 初二上册提高班Word文档格式.docx

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A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；

B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；

C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；

D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；

故选：

D．

2．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（　　）

A．0B．2a+2b+2cC．4aD．2b﹣2c

|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|

=（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）

=a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c

=0

A．

3．如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；

②BE是△ABD的边AD上的中线；

③CH为△ACD的边AD上的高；

④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有_____．

①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；

②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；

③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；

④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．

故答案为③④．

4．如图，△ABC的周长是21cm，AB=AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．

∵BD是中线，

∴AD=CD=

AC，

∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，

∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）=AB﹣BC=6cm①，

∵△ABC的周长是21cm，AB=AC，

∴2AB+BC=21cm②，

联立①②得：

AB=9cm，BC=3cm．

2多边形及内角和

多边形的内角和及外角和公式

1.内角和公式：

n边形的内角和为（n－2）·

180°

（n≥3，n是正整数）．

要点诠释：

（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；

（2）内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数.　　

2.多边形外角和：

n边形的外角和恒等于360°

，它与边数的多少无关.

（1）外角和公式的应用：

　　　①已知外角度数，求正多边形边数；

　　　②已知正多边形边数，求外角度数. 

（2）多边形的边数与内角和、外角和的关系：

　　　①n边形的内角和等于（n－2）·

（n≥3，n是正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°

.

三角形的内角和与外角和

1.三角形内角和定理：

三角形的内角和为180°

．

推论：

1.直角三角形的两个锐角互余

2.有两个角互余的三角形是直角三角形

1．（2018•济宁）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°

，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=（　　）

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°

，

∴∠ECD+∠BCD=240°

又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，

∴∠PDC+∠PCD=120°

∴△CDP中，∠P=180°

﹣（∠PDC+∠PCD）=180°

﹣120°

=60°

C．

2．（2018•石家庄模拟）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（　　）

A．144°

B．84°

C．74°

D．54°

正五边形的内角是∠ABC=

=108°

∵AB=BC，

∴∠CAB=36°

正六边形的内角是∠ABE=∠E=

=120°

∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°

∴∠ADE=360°

﹣36°

=84°

B．

3．（2017秋•广丰区期末）

（1）我们在小学已经学过：

三角形的三个内角的和等于180°

．如图1中，△ABC的内角和∠1+∠2+∠3=180°

，那么在图2中，四边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4=____．

（2）我们知道平角等于180°

，图1中∠1+∠4=____；

（3）求图1中∠4+∠5+∠6的大小；

图2中∠5+∠6+∠7+∠8的大小．

（1）由图2知，四边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4=180°

×

2=360°

故答案为：

360°

；

（2）图1中∠1+∠4=180°

（3）∠4+∠5+∠6=180°

﹣∠1+180°

﹣∠2+180°

﹣∠3

=180°

3﹣180°

2

=360°

∠5+∠6+∠7+∠8=180°

﹣∠3+180°

﹣∠4

4﹣180°

4．（2018春•苏州期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．

如图，连接AD．

∵∠1=∠E+∠F，∠1=∠FAD+∠EDA，

∴∠E+∠F=∠FAD+∠EDA，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

=∠BAD+∠ADC+∠B+∠C．

又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°

3与三角形有关的角

1.三角形外角性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

2.三角形的外角和：

三角形的外角和等于360°

1．（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'

处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'

=γ，那么下列式子中正确的是（　　）

A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°

﹣α﹣β

由折叠得：

∠A=∠A'

∵∠BDA'

=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'

+∠CEA'

∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'

=γ，

∴∠BDA'

=γ=α+α+β=2α+β，

2．（2018•平顶山三模）一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）

A．120°

B．135°

C．150°

D．165°

如图，由三角形的外角性质得，∠1=45°

+90°

=135°

∠α=∠1+30°

+30°

=165°

3．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°

，∠ABC=60°

，则∠EAD+∠ACD=（　　）

A．75°

B．80°

C．85°

D．90°

∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°

∴∠BAD=30°

∵∠BAC=50°

，AE平分∠BAC，

∴∠BAE=25°

∴∠DAE=30°

﹣25°

=5°

∵△ABC中，∠C=180°

﹣∠ABC﹣∠BAC=70°

∴∠EAD+∠ACD=5°

+70°

=75°

4．（2018•南岸区模拟）如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°

，∠BCE=44°

，求∠ACB的度数．

∵AD=BD，∠A=23°

∴∠ABD=∠A=23°

∵BG∥EF，∠BCE=44°

∴∠DBC=∠BCE=44°

∴∠ABC=44°

+23°

=67°

∴∠ACB=180°

﹣67°

﹣23°

=90°

5．（2017秋•海淀区期末）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．

连接DE

∵A，B分别为CD，CE的中点，

AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，

∴CD=CE=DE，

∴△CDE为等边三角形．

∴∠C=60°

∴∠AEC=90°

﹣∠C=30°

综合练习

一．选择题（共7小题）

1．三角形的高线、中线、角平分线都是（　　）

A．直线B．线段

C．射线D．以上情况都有

三角形的高线、角平分线和中线都是线段，

2．四边形剪去一个角后，内角和将（　　）

A．减少180°

B．不变

C．增加180°

D．以上都有可能

如下图所示：

观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．

则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．

内角和是：

或360°

或540°

3．下列说法：

①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；

②三角形的三条高交于三角形内一点；

③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

（1）满足a+b＞c且a＜c，b＜c的a、b、c三条线段一定能组成三角形，故错误；

（2）只有锐角三角形的三条高交于三角形内一点，故错误；

（3）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，故错误；

4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°

，∠B＝75°

，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°

，则∠2的度数为（　　）

A．80°

B．90°

C．100°

D．110°

∵∠A＝65°

∴∠C＝180°

﹣65°

﹣75°

＝40°

由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°

∴∠3＝∠1+∠C′＝60°

∴∠2＝∠C+∠3＝100°

5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（　　）

A．2B．7C．8D．1

设三角形的第三边为m．

由题意：

5﹣3＜m＜5+3，

即2＜m＜8，

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°

，则∠AOB的度数是（　　）

A．100°

B．125°

C．135°

D．130°

∵BO平分∠ABC，∠ABO＝30°

∴∠ABC＝60°

又∵∠C＝90°

∴∠BAC＝30°

∵AO平分∠BAC，

∴∠BAO＝

∠BAC＝15°

∴△AOB中，∠AOB＝180°

﹣∠BAO﹣∠ABO＝135°

7．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（　　）

A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3

A、7+8＞9，能构成三角形；

B、5+6＞7，能构成三角形；

C、3+4＞5，能构成三角形；

D、1+2＝3，不能构成三角形．

二．解答题（共1小题）

8．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．

在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．

∵DE∥AC，AB∥EF，

∴∠1＝　∠C　，∠3＝　∠B　（　∠A　）

∵AB∥EF，

∴∠4＝　∠A　（　两直线平行同位角相等　）

∵DE∥AC，

∴∠4＝　∠2　（　两直线平行内错角相等　）

∴∠2＝　∠A　．（　等量代换　）

∵∠1+∠2+∠3＝180°

∴∠A+∠B+∠C＝　180　．

∴∠1＝∠C，∠3＝∠B

∴∠4＝∠A（两直线平行内错角相等）

∴∠4＝∠2（两直线平行内错角相等　）

∴∠2＝∠A（等量代换）．

∴∠A+∠B+∠C＝180°

∠C，∠B，∠A，∠2，两直线平行内错角相等，两直线平行，∠2，两直线平行内错角相等∠A，等量代换，180°