二次函数存在性问题专题复习(全面典型含答案)Word文档格式.doc
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C
B
_
D
A
O
图9
三、二次函数中直角三角形的存在性问题
5.（2011重庆潼南中考，12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下：
①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?
若存在，求出所有点P的坐标；
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题
6.（2011湘潭市中考，10分）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.
⑴求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；
若不存在，请说明理由.
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题
7．（2010山东临沂）如图，二次函数y=-x2+ax+b的图像与x轴交于A（-，0）、
B（2，0）两点，且与y轴交于点C；
（1）求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四
点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点
为顶点的四边形是直角梯形？
若存在，求出P点的坐标；
若不存在，说明理由。
六、二次函数中菱形的存在性问题
8．（2012•辽宁铁岭）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？
若能，请直接写出点M的运动时间t的值；
若不能，请说明理由．
七、二次函数中与圆有关存在性问题
9.已知：
抛物线与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），它的对称轴交x轴于点N（x3，0），若A，B两点距离不大于6，
（1）求m的取值范围；
（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；
（3）试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由
定值问题：
1.（2012四川自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°
，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？
如果不变，求出这个定值；
如果变化，求出最大（或最小）值．
1、【答案】解：
（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴。
（2）由
（1）得.
当时，．解之，得 。
∴.
又当时，，
∴C点坐标为（0，－3）。
又抛物线顶点坐标D（－1，－4），
作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥轴于点F。
易知
在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2，∴AC2＋CD2＝AD2。
∴△ACD是直角三角形。
（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。
由
（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。
由△AOM∽△ABC，得。
即。
过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=，
OG=AO－AG=3－。
又点M在第三象限，所以M（－，－）。
2、【答案】解：
（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。
∴抛物线的解析式为。
（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，
则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。
∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。
故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。
（3）存在，如图：
∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，
设P（，），由题意知＞0，＞0，且，
①若△AMP∽△BOC，则。
即+2=3（2+2）得：
1=，2=﹣2（舍去）．
当=时，=，即P（，）。
②若△PMA∽△BOC，则，。
即：
2+2=3（+2）得：
1=3，2=﹣2（舍去）
当=3时，=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。
3、【答案】解：
（1）把点B（－2，－2）的坐标代入得，，∴＝4。
∴双曲线的解析式为：
。
设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴＝4，即m＝4n。
∴n2＝1，∴n＝±
1。
∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。
∴A点的坐标为（1，4）。
把A、B点的坐标代入得，，解得，＝1，＝3。
∴抛物线的解析式为：
（2）∵AC∥轴，∴点C的纵坐标y＝4，
代入得方程，，解得1＝－4，2＝1（舍去）。
∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。
又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝×
5×
6＝15。
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。
理由如下：
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：
AB，等高：
CD和AB的距离）。
∵直线AB相应的一次函数是：
，且CD∥AB，
∴可设直线CD解析式为，
把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，。
∴直线CD相应的一次函数是：
解方程组，解得，。
∴点D的坐标为（3，18）。
4.
（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴解之得：
；
故为所求
（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为，则有，，
故BD的解析式为；
令则，故
（3）、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由
（2）知，OM=OA=OD=2，
图3
易知BN=MN=1， 易求
设，
依题意有：
，即：
解之得：
，，故符合条件的P点有三个：
5.解答：
解：
（1）由已知得：
A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴，
解得：
b=﹣2，c=﹣3；
（2）如图：
∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：
y=x+1，
∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，）；
（3）①如图：
顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．
可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=×
×
（4﹣）+×
（﹣1）=；
②如图：
ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）
则有：
m2﹣2m﹣2=，
m1=，m2=，
∴P1（，），P2（，），
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）
n2﹣2n﹣2=﹣，
n1=，n2=（与点F重合，舍去），
∴P3（，），
综上所述：
所有点P的坐标：
P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
6.解：
（1）∵当=0时，=3
当=0时，=﹣1
∴（﹣1，0），（0，3）
∵（3，0）·
·
1分
设抛物线的解析式为=a（+1）（﹣3）
∴3=a×
1×
（﹣3）
∴a=﹣1
∴此抛物线的解析式为=﹣（+1）（﹣3）=-+2+3·
2分
（2）存在
∵抛物线的对称轴为：
==1·
4分
∴如图对称轴与轴的交点即为Q
∵=，⊥
∴=
∴（1，0）·
6分
当=时，设的坐标为（1，m）
∴2+m=1+（3﹣m）
∴m=1
∴（1，1）·
8分
当=时，设（1，n）
∴2+n=1+3
∵n＞0
∴n=
∴（1，）
∴符合条件的点坐标为（1，0），（1，1），（1，）·
10分
7、答案：
[解]
（1）根据题意，将A（-，0），B（2，0）代入y=-x2+ax+b中，得，解这个
方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y=-x2+x+1，当x=0时，y=1，
∴点C的坐标为（0，1）。
∴在△AOC中，AC===。
在△BOC中，BC===。
AB=OA+OB=+2=，∵AC2+BC2=+5==AB2，∴△ABC是直角三角形。
（2）点D的坐标为（，1）。
（3）存在。
由
（1）知，AC^BC。
P
j若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线
BC的解析式为y=-x+1，直线AP可以看作是由直线
BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=-x+b，
把点A（-，0）代入直线AP的解析式，求得b=-，
∴直线AP的解析式为y=-x-。
∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，
∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=-x-，解得x1=，
x2=-（舍去）。
当x=时，y=-，∴点P（，-）。
k若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。
可求得直线AC的解析式为y=2x+1。
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，
所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B（2，0）代
入直线BP的解析式，求得b=-4，
∴直线BP的解析式为y=2x-4。
∵点P既在拋物线
上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，
即-x2+x+1=2x-4，解得x1=-，x2=2（舍去）。
当x=-时，y=-9，∴点P的坐标为（-，-9）。
综上所述，满足题目条件的点P为（，-）或（-，-9）。
8．解：
（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上
∴m=3即B（﹣2，3）
又∵抛物线经过原点O
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上
．
∴设抛物线的解析式为．
（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
若S△ADP=S△ADC，
∵，，
又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，
∴C（0，1），
∴OC=1，
∴，即或，
∴点P的坐标为．
（3）结论：
存在．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时DM1=AE=，
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，
∴t1=4﹣；
②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，
∴M2F=DF+DM2=6，
∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=，
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，
∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，
∴t3=4+；
④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴，即，得M4E=，
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，
∴M4F=DM4+DF=+5=，
∴t4=．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；
时间t的值为：
t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．
9.解：
（1）令y=0，则∵
∴∴∴
由AB≤6，且，得：
∴
（2）当AB=5时，∴抛物线的解析式为：
（3）N（x3，0）是抛物线与x轴的交点∴①若N在x轴的正半轴上，
则由切割线定理：
∴
②若N在x轴的负半轴上，
则由切割线定理：
∴
∴∵∴∴∴m的值为1或。
定值问题
1.【答案】解：
（1）证明：
如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°
，
∠BAE+∠EAC=60°
，∠FAC+∠EAC=60°
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°
，∴∠ABF=60°
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°
，AC=AB。
∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。
∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。
由
（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
由“垂线段最短”可知：
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
１６
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