全国中考数学续套压轴题分类解析汇编专题面积问题Word格式文档下载.doc

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∴Rt△CAO∽Rt△ABE。

∴，即，解得。

（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：

，。

当0＜＜8时，，解得。

当＞8时，，

解得，（为负数，舍去）。

当或时，。

（3）过M作MN⊥x轴于N，则。

当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。

∵，

∴抛物线的顶点坐标为（5，）。

∴它的顶点在直线上移动。

∵直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1），

∴1＜＜2。

∴＜＜。

【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。

（1）由Rt△CAO∽Rt△ABE得到，根据点B与点D重合的条件，代入CA=2AM=2AB，AO=1·

t=t，BE（DE）=OC=4，即可求得此时t的值。

（2）分0＜＜8和＞8两种情况讨论即可。

（3）求出抛物线的顶点坐标为（5，），知它的顶点在直线上移动。

由抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边）得1＜＜2，解之即得a的取值范围。

23.（2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

（2）求证：

CB是△ABE外接圆的切线；

（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）。

将E（0，3）代入上式，解得：

a=﹣1。

∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3。

又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴点B（1，4）。

（2）证明：

如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°

∴∠BEA=180°

﹣∠1﹣∠MEB=90°

。

∴AB是△ABE外接圆的直径。

在Rt△ABE中，，∴∠BAE=∠CBE。

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°

，∴∠CBE+∠3=90°

∴∠CBA=90°

，即CB⊥AB。

∴CB是△ABE外接圆的切线。

（3）存在。

点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。

（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．

将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）。

情况一：

如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．

由△AHD∽△FHM，得，即，解得HK=2t。

∴

=×

3×

3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t。

情况二：

如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。

由△IQA∽△IPF，得．即，

解得IQ=2（3﹣t）。

（3﹣t）×

2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+。

综上所述：

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。

（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。

（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°

，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°

，从而得证。

（3）在Rt△ABE中，∠AEB=90°

，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。

①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。

由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，

即tan∠DEO==tan∠BAE，

即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。

因此O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。

②DE为短直角边时，P2在x轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°

sin∠DP2E=sin∠BAE=。

而DE=，则DP2=DE÷

sin∠DP2E=÷

=10，OP2=DP2﹣OD=9。

即P2（9，0）。

③DE为长直角边时，点P3在y轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，

则∠EDP3=∠AEB=90°

cos∠DEP3=cos∠BAE=。

则EP3=DE÷

cos∠DEP3=÷

，OP3=EP3﹣OE=。

即P3（0，﹣）。

综上所述，得：

P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）。

（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；

当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。

24.（2012湖南郴州10分）阅读下列材料：

我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：

Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：

Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：

d=．

例：

求点P（1，2）到直线的距离d时，先将化为5x－12y－2=0，再由上述距离公式求得d=．

解答下列问题：

如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线上的一点M（3，2）．

（1）求点M到直线AB的距离．

（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？

若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；

若不存在，请说明理由．

（1）将化为4x＋3y＋12=0，，由上述距离公式得：

d=。

∴点M到直线AB的距离为6。

（2）存在。

设P（x，），则点P到直线AB的距离为：

d=。

由图象，知点P到直线AB的距离最小时x＞0，＞0，

∴d=。

∴当时，d最小，为。

当时，，∴P（，）。

又在中，令x=0，则y=－4。

∴B（0，－4）。

令y=0，则x=－3。

∴A（－3，0）。

∴AB==5。

∴△PAB面积的最小值为。

【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。

（1）按例求解即可。

（2）用二次函数的最值，求出点P到直线AB的距离最小值，即可求出答案。

25.（2012湖南怀化10分）]如图，抛物线m：

与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为,将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n,它的顶点为D.

（1）求抛物线n的解析式；

（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为，△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.

（1）∵抛物线m的顶点为，

∴m的解析式为=。

∴。

∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转得到，∴D的坐标为。

∴抛物线n的解析式为：

，即。

（2）∵点E与点A关于点B中心对称，∴E。

设直线ED的解析式为，则，解得。

∴直线ED的解析式为。

又点P的坐标为，

∴S==。

∴当时，S有最大值。

但，∴△PEF的面积S没有最大值。

（3）直线CM与⊙G相切。

理由如下：

∵抛物线m的解析式为，令得。

∵抛物线m的对称轴与轴的交点为G，∴OC=4，OG=3，。

∴由勾股定理得CG=5。

又∵AB=10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上。

过M点作y轴的垂线，垂足为N，

则。

又，

∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=900。

∴直线CM与⊙G相切。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理和逆定理。

（1）由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标，根据旋转的性质即可求出抛物线n的解析式。

（2）求出直线ED的解析式，由点P在直线ED，可知P，从而求出△PEF的面积S的函数关系式，由点P在线段ED上得。

从而根据二次函数最值的求法得出结果。

（3）要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系，由AB=10，得⊙G的半径为5。

求出CG，知点C在⊙G上。

由勾股定理和逆定理，得出。

从而得出，得出直线CM与⊙G相切的结论。

26.（2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°

，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

（1）求证：

△BMD∽△CNE；

（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？

（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；

当x为何值时，y有最大值？

并求y的最大值．

（1）证明：

∵AB=AC，∠B=30°

，∴∠B=∠C=30°

∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°

∴∠MDB=∠NEC=120°

∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°

∴△BMD∽△CNE。

（2）过点M作MH⊥BC，

∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，

∴MH=MF。

设BD=x，

∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°

∵∠B=30°

，∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°

﹣30°

=30°

=∠B。

∴DM=BD=x。

∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x。

在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°

=，解得：

x=16﹣8。

∴当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切。

（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，

∵AB=AC，∴BK=BC=×

8=4

，∴AK=BK•tan∠B=4×

∴S△ABC=BC•AK=×

8×

由

（2）得：

MD=BD=x

∴MH=MD•sin∠MDH=x，

∴S△BDM=•x•x=x2。

∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x。

∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：

S△CEN=。

∴S△CEN=（4﹣x）2。

∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣x2﹣（4﹣x）2=﹣x2+2x+

=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）。

∴当x=2时，y有最大值，最大值为。

【考点】等腰（边）三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

（1）由AB=AC，∠B=30°

，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°

，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°

，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°

，即可判定：

△BMD∽△CNE。

（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4﹣x，由

（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案。

（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案。

27.（2012湖南湘潭10分）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

（1）∵B（4，0）在抛物线的图象上

∴，即：

∴抛物线的解析式为：

（2）由

（1）的函数解析式可求得：

A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。

∴OA=1，OC=2，OB=4。

又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。

∴∠OCA=∠OBC。

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。

∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：

（，0）。

（3）已求得：

B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：

y=x﹣2。

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：

y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=，即：

x2﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。

∴16﹣4×

（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。

∴直线l：

y=x﹣4。

∵，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大。

∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得：

∴M（2，﹣3）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一元二次方程根的判别式，解方程和方程组。

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。

（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。

（3）△MBC的面积可由表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。

28.（2012辽宁沈阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（－2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°

，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）求证：

∠BEF=∠AOE；

（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为

（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍.若存在，请直接写出点P的坐标；

温馨提示：

考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

（1）∵A（－2，0），B（0，2），∴OA=OB=2。

∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。

∴AB=2。

∵OC=AB，∴OC=2，即C（0，2）。

∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得

∴抛物线的表达式为y=－x2－x+2。

∵OA=OB，∠AOB=90°

，∴∠BAO=∠ABO=45°

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°

+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°

+∠BEF，∴∠BEF=∠AOE。

（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论

①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°

，

在△EOF中，∠EOF=180°

－∠OEF－∠OFE=180°

－45°

=90°

又∵∠AOB＝90°

，则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立。

②如图①，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°

在△EOF中，∠EFO=180°

-∠OEF-∠EOF=180°

-45°

∴∠AOF+∠EFO=90°

+90°

=180°

∴EF∥AO。

∴∠BEF=∠BAO=45°

。

又∵由

（2）可知，∠ABO=45°

，∴∠BEF=∠ABO。

∴BF=EF。

∴EF=BF=OF=OB=×

2＝1。

∴E（－1，1）。

③如图②，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H，

在△AOE和△BEF中，

∵∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF，

∴△AOE≌△BEF（AAS）。

∴BE=AO=2。

∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°

∴∠AOB=∠EHB。

∴EH∥AO。

∴∠BEH=∠BAO=45°

在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°

，∴EH=BH=BEcos45°

=2×

=。

∴OH=OB－BH=2－2。

∴E（－，2－）。

综上所述，当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E（－1，1）或E（－，2－）。

（4）P（0，2）或P（－1，2）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

（1）应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。

（2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。

（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。

（4）假设存在这样的点P。

当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（－，2－）。

如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2－。

由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。

过点F作FN∥x轴，交PG于点N。

易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。

依题意，可得S△EPF=（）S△EDG=（）S△EFN，

∴PE：

NE=。

过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－。

∵FN∥EH，∴PT：

ST=PE：

∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。

∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。

∴2=－x2－x+2，解得x1=0，x2=－1。

∴P点坐标为（0，2）或（－1，2）。

综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍，点P的坐标为（0，2）或（－1，2）。

29.（2012广东河源9分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且

与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º

（1）点B的坐标是，∠CAO＝º

，当点Q与点A重合时，点P的坐标

为；

（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应

的自变量x的取值范围．

（1）（6，2）。

30。

（3，3）。

（2）当0≤x≤3时，

如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°

=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得，∴EF=（3+x），

此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时，如图2，

当5＜x≤9时，如图3，

当x＞9时，如图4，

综上所述，S与x的函数关系式为：

。

【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：

∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：

（6，2）。

②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：

∵，∴∠CAO=30°

③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；

如图：

当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°

，D（0，3），∴PE=3。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。

（2）分