四川省内江市2016年中考数学试卷(解析版)Word下载.doc
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选项A
选项B
选项C
选项D
主视图
三角形
矩形
梯形
俯视图
圆（含圆心）
圆
故选B．
6．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）
A．x＞3B．x≥3C．x＞4D．x≥3且x≠4
[答案]D
[解析]欲使根式有意义，则需x－3≥0；
欲使分式有意义，则需x－4≠0．
∴x的取值范围是解得x≥3且x≠4．故选D．
7．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（）
A．最高分B．中位数C．方差D．平均数
[解析]这里中位数是预赛成绩排序后第13名同学的成绩，成绩大于中位数则能进入决赛，否则不能．
8．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
[解析]依题意可知甲骑自行车的平均速度为（x＋2）千米/时．因为他们同时到达C地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以＝．
9．下列命题中，真命题是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
[解析]满足选项A或选项B中的条件时，不能推出四边形是平行四边形，因此它们都是假命题．由选项D中的条件只能推出四边形是菱形，因此也是假例题．只有选项C中的命题是真命题．
故选C．
10．如图2，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°
，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）
A．π－4B．π－1C．π－2D．π－2
O
A
C
B
图2
[解析]∵∠O＝2∠A＝2×
＝90°
∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC＝－×
2×
2＝π－2．
11．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）
A．B．C．D．不能确定
[解析]如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于H．则
BH＝，AH＝＝．
连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC．
∴AB·
PD＋BC·
PE＋CA·
PF＝BC·
AH．
∴PD＋PE＋PF＝AH＝．
P
D
E
F
答案图
H
12．一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°
，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是（）
A．（）2015B．（）2016C．（）2016D．（）2015
x
y
C1
D1
A1
B1
E1
E2
E3
E4
C2
D2
A2
B2
C3
D3
A3
B3
图3
[答案]D
[解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴＝＝＝30°
∴B2C2＝C1D1·
＝．∴C2D2＝．
同理，B3C3＝C2D2·
＝（）2；
由此猜想BnCn＝（）n－1．
当n＝2016时，B2016C2016＝（）2015．
故选D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．分解因式：
ax2－ay2＝______．
[答案]a（x－y）（x＋y）．
[解析]先提取公因式a，再用平方差公式分解．
原式＝a（x2－y2）＝a（x－y）（x＋y）．
故选答案为：
a（x－y）（x＋y）．
14．化简：
（＋）÷
＝______．
[答案]a．
[解析]先算小括号，再算除法．
原式＝（－）÷
＝÷
＝（a＋3）·
＝a．
故答案为：
a．
15．如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．
图4
[答案]
[解析]∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°
∴BC＝＝5．
∵S△OBC＝OB·
OC，又S△OBC＝BC·
OE，
∴OB·
OC＝BC·
OE，即3×
4＝5OE．
∴OE＝．
16．将一些半径相同的小圆按如图5所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有______个小圆．（用含n的代数式表示）
第1个图第2个图第3个图第4个图
图5
[答案]n2＋n＋4
[解析]每个图由外围的4个小圆和中间的“矩形”组成，矩形的面积等于长成宽．由此可知
第1个图中小圆的个数＝1×
2＋4，
第2个图中小圆的个数＝2×
3＋4，
第3个图中小圆的个数＝3×
4＋4，
……
第n个图中小圆的个数＝n（n＋1）＋4＝n2＋n＋4．
n2＋n＋4．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（7分）计算：
|－3|＋·
－－（2016－π）0＋（）－1．
解：
原式＝3＋×
－2－1＋2 5分
＝3＋1－2－1＋2 6分
＝3． 7分
18．（9分）如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：
D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
图6
（1）证明：
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
∴△EAF≌△EDC． 3分
∴AF＝DC．
∵AF＝BD，
∴BD＝DC，即D是BC的中点． 5分
（2）四边形AFBD是矩形．证明如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形． 7分
∵AB＝AC，又由
（1）可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∴□AFBD是矩形． 9分
19．（9分）某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：
A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图7
（1），图7
（2）），请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有_______人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
图7
（1）
项目
人数/人
100
80
20
40
60
图7
（2）
（1）由扇形统计图可知：
扇形A的圆心角是36°
，
所以喜欢A项目的人数占被调查人数的百分比＝×
100%＝10%． 1分
由条形图可知：
喜欢A类项目的人数有20人，
所以被调查的学生共有20÷
10%＝200（人）． 2分
（2）喜欢C项目的人数＝200－（20＋80＋40）＝60（人）， 3分
因此在条形图中补画高度为60的长方条，如图所示．
4分
（3）画树状图如下：
甲
乙
丙
丁
或者列表如下：
甲乙
甲丙
甲丁
乙甲
乙丙
乙丁
丙甲
丙乙
丙丁
丁甲
丁乙
丁丙
分 7
从树状图或表格中可知，从四名同学中任选两名共有12种结果，每种结果出现的可能性相等，其中选中甲乙两位同学（记为事件A）有2种结果，所以
P（A）＝＝． 9分
20．（9分）如图8，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°
方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°
方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度（结果保留根号）．
北
图8
如图，过点C作CH⊥AB于H，则△BCH是等腰直角三角形．设CH＝x，
则BH＝x，AH＝CH÷
＝x． 2分
∵AB＝200，∴x＋x＝200．
∴x＝＝100（－1）． 4分
∴BC＝x＝100（－）． 6分
∵两船行驶4小时相遇，
∴可疑船只航行的平均速度＝100（－）÷
4＝45（－）． 8分
答：
可疑船只航行的平均速度是每小时45（－）海里． 9分
21．（10分）如图9，在△ABC中，∠ABC＝90°
，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
（3）在
（2）的条件下，求HG·
HB的值．
G
图9
（1）直线BD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OB，∵BD是△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC．
∴∠DBC＝∠C．
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB＝∠CED．
∵∠C＋∠CED＝90°
∴∠DBC＋∠OBE＝90°
∴BD与⊙O相切；
3分
（2）连接AE．∵AB＝BE＝1，∴AE＝．
∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝．∴BC＝1＋． 4分
∵∠C＋∠CAB＝90°
，∠DFA＋∠CAB＝90°
∴∠CAB＝∠DFA．
又∠CBA＝∠FBE＝90°
，AB＝BE，
∴△CAB≌△FEB．∴BF＝BC＝1＋． 5分
∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋（1＋）2＝4＋2． 6分
∴S⊙O＝π·
EF2＝π． 7分
（3）∵AB＝BE，∠ABE＝90°
，∴∠AEB＝45°
∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°
． 8分
∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°
－22.5°
＝67.5°
∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°
∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°
∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1＋． 9分
∴GH＝BH－BG＝．
∴HB·
HG＝×
（1＋）＝2＋． 10分
B卷
一、填空题（每小题6分，共24分）
22．任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：
2x＋k＝－1的解为非负数的概率为______．
[解析]不等式组的解集为－＜k≤3，其整数解为k＝－2，－1，0，1，2，3．
其中，当k＝－2，－1时，方程2x＋k＝－1的解为非负数．
所以所求概率P＝＝．
23．如图10，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于______．
[解析]设点A的坐标为（a，）．
∵AB∥x轴，∴点B的纵坐标为．
将y＝代入y＝，求得x＝．
∴AB＝－a＝．
∴S△OAB＝·
·
＝．
图10
y＝
－1
图11
图12
24．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图11所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是______．
[答案]P＞Q
[解析]∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵－＝1，∴b＞0且a＝－．
∴|2a＋b|＝0，|2a－b|＝b－2a．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0．∴|3b＋2c|＝3b＋2c．
由图象可知当x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0．
∴－－b＋c＜0，即3b－2c＞0．∴|3b－2c|＝3b－2c．
∴P＝0＋3b－2c＝3b－2c＞0，
Q＝b－2a－（3b＋2c）＝－（b＋2c）＜0．
∴P＞Q．
P＞Q．
25．如图12所示，已知点C（1，0），直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．
[答案]10
[解析]作点C关于y轴的对称点C1（－1，0），点C关于x轴的对称点C2，连接C1C2交OA于点E，交AB于点D，则此时△CDE的周长最小，且最小值等于C1C2的长．
∵OA＝OB＝7，∴CB＝6，∠ABC＝45°
∵AB垂直平分CC2，
∴∠CBC2＝90°
，C2的坐标为（7，6）．
在△C1BC2中，C1C2＝＝＝10．
即△CDE周长的最小值是10．
10．
二、解答题（每小题12分，共36分）
26．（12分）问题引入：
（1）如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______（用α表示）；
如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______（用α表示）．
（2）如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______（用α表示），并说明理由．
类比研究：
（3）BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．
图13②
图13①
图13③
（1）第一个空填：
90°
＋；
2分
第一个空填：
＋． 4分
第一空的过程如下：
∠BOC＝180°
－（∠OBC＋∠OCB）＝180°
－（∠ABC＋∠ACB）＝180°
－（180°
－∠A）＝90°
＋．
第二空的过程如下：
－∠A）＝120°
（2）答案：
120°
－．过程如下：
－（∠DBC＋∠ECB）＝180°
＋∠A）＝120°
－． 8分
（3）答案：
＋∠A）＝·
180°
－． 12分
27．（12分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图14所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？
如果有，求出最大值和最小值；
如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
18m
苗圃园
图14
（1）苗圃园与墙平行的一边长为（30－2x）米．依题意可列方程
x（30－2x）＝72，即x2－15x＋36＝0． 2分
解得x1＝3，x2＝12． 4分
（2）依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．
面积S＝x（30－2x）＝－2（x－）2＋（6≤x≤11）．
①当x＝时，S有最大值，S最大＝；
6分
②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×
（30－22）＝88． 8分
（3）令x（30－2x）＝100，得x2－15x＋50＝0．
解得x1＝5，x2＝10． 10分
∴x的取值范围是5≤x≤10． 12分
28．（12分）如图15，已知抛物线C：
y＝x2－3x＋m，直线l：
y＝kx（k＞0），当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：
y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；
（3）在
（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：
是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；
若不存在，说明理由．
l1
Q
l
图15
（1）∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴方程组有且只有一组解． 2分
消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．
∴△＝0，即（－4）2－4m＝0．
∴m＝4． 4分
（2）如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴＝．
同理，＝．
∵＋＝，∴＋＝2．
∴＋＝2．
∴＋＝，即＝． 5分
解方程组得x＝，即PD＝． 6分
由方程组消去y，得x2－（k＋3）x＋4＝0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC＋BE＝k＋3，AC·
BE＝4． 7分
∴＝．
解得b＝8． 8分
（3）不存在．理由如下：
9分
假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，
于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．
由
（2）可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，
∴k＋3＝2×
，即（k＋3）2＝16．
解得k＝1（舍去k＝－7）． 11分
当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．
∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ． 12分
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