《函数的概念》教学设计.doc

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函数的概念

必修一第二章《函数的概念》教学设计

海南省东方中学廖远琨

教学目标

了解：

通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的三要素；

理解：

函数概念的本质；抽象的函数符号的意义；（为常数）与的区别与联系；会求一些简单函数的定义域；

经历：

让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，函数定义域的求解过程以及求函数值的过程；渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力；

体验：

通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；体验函数思想；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和简洁美．

[设计意图]：

这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了素质教育的要求．

重点难点

教学重点:

理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.

教学难点:

符号“y=f（x）”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.

教法与学法选择

1．问题式教学法：

概念教学,根据学生的心理特征和认知规律，采取问题式教学法；以问题串为主线，通过设置几个具体问题情景，发现问题中两个变量的关系，让学生归纳、概括出函数概念的本质．

2．探究式学法：

学生在探究问题的过程中,通过老师的引导归纳概括出函数的概念，通过问题的解决，达到熟练理解函数概念的目的．

课时安排:

2课时

第1课时函数的概念

教学过程设计

（一）结构分析

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，把教学过程设计为七个阶段：

质疑解惑，剖析概念

创设情境，形成概念

回忆旧知，引出困惑

总结反思，提高认知

即时训练，巩固新知

讨论研究，深化理解

分层作业，自主探究

（二）．教学过程

引入

2010年9月5日0时14分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将“鑫诺六号”通信广播卫星送入太空。

在“鑫诺六号”飞行期间，我们时刻关注着“鑫诺六号”离地面的距离随时间是如何变化的，数学上可以用来描述这种运动变化中的数量关系.（函数）

[设计意图]：

从身边熟悉的例子入手，便于引起学生的注意，集中学生的精力．

1．回忆旧知，引出困惑

问题一：

请举出初中学过的一些函数．

，，等．

问题二：

请同学们回忆初中函数的定义是什么?

在一个变化过程中，有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一确定的值和它对应，那么就说是的函数，叫自变量．

[设计意图]：

通过回忆初中的函数及函数的定义，为探究问题三作好铺垫．

问题三：

是函数吗？

学生活动:

先由学生思考回答，对产生的两种意见展开小组讨论，学生可能解决不了留下悬念．

[设计意图]：

由于受认知能力的影响，利用初中所学函数知识很难回答这些问题，形成认知冲突，让学生带着悬念、带着认知冲突学习后面的知识，这样有利于激发学生的学习欲望，从而引出本节课的主题（用幻灯片打出课题）．

2.创设情境，形成概念

实例一：

函数在军事中的运用，解析式法表示函数

一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：

）随时间（单位：

）变化的规律是：

．

问题四：

１.的范围是什么？

的范围是什么？

　　　　２.和有什么关系？

这个关系有什么特点？

[设计意图]：

引导学生用集合与对应的语言来刻画实例一，同时培养学生分析问题和提取信息的能力．

事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，对环境的影响也越来越重，下面请同学们自学有关臭氧层空洞的问题和恩格尔系数的问题（课本实例二、三）：

实例二：

函数在天气中的运用，图像法表示函数关系

20

25

5

10

15

30

图1

26

25

t

S

O

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．

实例三：

函数在经济学中的运用，用列表法表示函数关系

国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

时间（年）

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

恩格尔系数（%）

53.8

52.9

50.1

49.9

49.9

48.6

46.4

44.5

41.9

39.2

37.9

通过先对两个实例的学生自学，然后请学生谈感受，老师提问，学生回答，师生共同完成．

3．质疑解惑,辨析概念

问题五：

实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？

问题六：

以上三个实例有什么相同的特征？

学生活动:

让学生分组讨论交流，总结归纳出．

共同特点：

①都有两个非空数集；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的值和它对应.

[设计意图]：

由前三个实例，抽象出函数概念的本质，未设计不是函数关系的对应图，这样处理有利于形成知识的正迁移．

通过学生的“观察分析比较归纳概括”培养学生抽象思维的能力，同时也培养了学生的创新意识．

问题七：

满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？

（先让学生说，老师再做补充）

引导学生思考：

在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数.

你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

函数概念：

设是非空的数集，如果按某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作.

其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集.

4、讨论研究，深化理解

问题八:

请同学们根据现在函数的定义判断前面三个实例是否表示两个集合的函数关系？

问题九:

是函数吗？

可以运用函数概念解决了。

问题十:

用几何画板在平面直角坐标系中画出一段弧，并作平移和旋转，同时叫学生判断这些平移和旋转中的弧是否表示函数图像.

方法引导：

如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

可依据定义，依据定义中的哪几个要点？

要注意函数概念中的哪些关键词？

[设计意图]:

是对函数概念的简单理解,同时也解决了问题三．

问题十一:

请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明．

通过交流得出以下几点：

①都是非空的数集；

②任意性与唯一性；

③确定的对应关系，对应关系可以是解析式、图象、表格．

问题十二:

函数由几部分组成?

三要素：

定义域、值域、对应法则，缺一不可．

问题十三:

怎样理解符号?

f（x）是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f（x）没有什么意义。

符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算,符号y=f（x）表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积。

符号f（x）与f（m）既有区别又有联系，当m是变量时,函数f（x）与函数f（m）是同一个函数，当m是常数时,f（m）表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量。

[设计意图]:

目的在于帮助学生巩固函数的概念．

在研究函数时常会用到区间的概念,设a,b是两个实数,且a

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

［a,b］

{x|a

开区间

（a,b）

{x|a≤x

半开半闭区间

［a,b）

{x|a

半开半闭区间

（a,b］

{x|x≥a}

［a,+∞）

{x|x>a}

（a,b］

{x|x≤a}

（-∞,a］

{x|x

（-∞,a）

R

（-∞,+∞）

5、即时训练，巩固新知

应用示例

活动1例1 填写下列表格：

函数

一次函数

二次函数

反比例函数

a>0

a<0

对应关系

定义域

值 域

例2.已知函数f（x）=+,

（1）求函数的定义域;

（2）求f（-3）,f（）的值;

（3）当a>0时,求f（a）,f（a-1）的值.

思路：

（1）让学生回想函数的定义域指的是什么？

函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+3≥0,有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.

（2）让学生回想f（-3）,f（）表示什么含义？

f（-3）表示自变量x=-3时对应的函数值,f（）表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f（-3）,f（）的值.

（3）f（a）表示自变量x=a时对应的函数值,f（a-1）表示自变量x=a-1时对应的函数值.

分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f（a）,f（a-1）的值.

解：

（1）要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2,

即函数的定义域是［-3,-2）∪（-2,+∞）.

（2）f（-3）=+=-1;

f（）==+

（3）∵a>0,∴a∈［-3,-2）∪（-2,+∞）,

即f（a）,f（a-1）有意义.

则f（a）=+;

f（a-1）==.

点评：

本题主要考查函数的定义域以及对符号f（x）的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.

变式训练

1.求函数y=的定义域.

答案：

{x|x≤1,且x≠-1}.

点评：

本题容易错解：

化简函数的解析式为y=x+1,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式.

活动2（安排在第二课时）

3、下列函数中哪个是与相同的函数，为什么？

（A）；（B）；（C）；（D）．

设计意图：

及时巩固概念，学习用函数概念作判断的“基本操作”．上述例题都采用让学生先独立完成再师生共同讲评的方式完成．

活动3巩固训练（安排在第二课时）

1．下列说法中不正确的是（　　）

A．函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应

B．函数的定义域和值域一定是无限集合

C．定义域和对应关系确定以后，函数的值域也就随之确定

D．若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素

2．下列图象中不能作为函数图象的是（　　）

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A．y＝x－1和y＝B．y＝x和y＝

C．y＝x2和y＝（x＋1）2D．y＝和y＝

4．下列函数中，定义域不是R的是（　　）

A．y＝kx＋bB．y＝ C．y＝x2－cD．y＝

5．下列对应为A到B的函数的是（　　）

A．A=R，B，f:

x→y=|x|B．A=Z,B=N,f:

x→y=x

C.A=Z,B=Z,f:

x→y= D.A=,B=,f:

x→y=0

6．若函数y＝f（x）的定义域是[－2,4]，则函数g（x）＝f（x）＋f（－x）的定义域是（　　）

A．[－4,4]B．[－2,2]C．[－4，－2]D．[2,4]

6、总结反思，提高认知

课堂小结

本节课学习了：

函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f（x）的理解。

7、分层作业，自主探究

作业

（一）必做题：

课本P24,习题1.2A组1、5.

（二）选做题：

1．已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2.

（1）求f

（2）与g（a）；

（2）求g[f

（2）]和f[g（x）]．

2.已知函数f（x）的定义域是［-1,1］,则函数f（2x-1）的定义域是________.

分析:

要使函数f（2x-1）有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.

答案：

［0,1］

设计意图：

巩固知识，加深理解，提升能力.

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