《等差数列》教学设计1.doc

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《等差数列》教学设计

一．教材分析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修五第二章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。

研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

二．教学目标

知识目标：

（1）理解并掌握等差数列的概念；

（2）能用定义判断一个数列是否为等差数列；

（3）了解等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，会应用等差中项公式，并能在解题中灵活应用它们；

（4）初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。

能力目标：

（1）培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；

（2）在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；

（3）通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

情感目标：

（1）通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；

（2）通过对等差数列的研究，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

三、教学重点、难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列"等差"的特点及通项公式的含义。

②如何推导出等差数列的通项公式。

四．教学策略和手段

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

教学手段：

多媒体计算机和传统黑板相结合。

多媒体的运用使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。

而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。

五．教学过程

环节

教学内容

师生互动

设计意图

新

课

导

入

问题1我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列？

（学生试着写出来）

问题2.2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：

kg）：

48，53，58，63

问题3水的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。

如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：

m）

18，15.5，13，10．5，8，5．5

问题3我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。

按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金（1+利率*存期）

例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：

如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）

时间

年初本金（元）

年末本利和（元）

第1年

10000

10072

第2年

10000

10144

第3年

10000

10216

第4年

10000

10288

第5年

10000

10360

各年末本利和（单位：

元）组成了数列：

10072，10144，10216，10288，10360

教师出示引例，并提出问题．

学生探究．

希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程．

新

课

新

课

探

究

举

例

应

用

反

馈

练

习

从上述四个问题中我们得到了四个数列

（1）0，5，10，15，20，25，…

（2）48，53，58，63

（3）18，15.5，13，10．5，8，5．

（4）10072，10144，10216，10288，10360

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）．

即（常数）

口答练习：

判断下列数列是否为等差数列？

1，2，4，6，8，10，12，…；

0，1，2，3，4，5，6，…；

3，3，3，3，3，3，3，…；

2，4，7，11，16，…；

－8，－6，－4，0，2，4，…；

注意：

求公差d一定要用后项减前项，而不能用前项减后项．

2．等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这是A叫做a与b的等差中项且

3．常数列

特别地，数列

3，3，3，3，3，3，3，…

也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列．

4．等差数列的通项公式

首项是，公差是d的等差数列的通项公式可以表示为

推导方法主要有：

归纳法，累加法等。

5．通项公式的应用

根据这个通项公式，只要已知首项和公差d，便可求得等差数列的任意项．

事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个．

例1求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项．

解因为=8，d=5－8=－3，所以这个数列的通项公式是

=8+（n-1）×（-3），

即=－3n+11．所以

=－3×20+11=-49.

例2等差数列－5，－9，－13，…的第多少项是－401？

解因为=－5，而且

d=－9－（－5）=－4，

=－401，

所以

－401=－5+（n－1）×（－4）．

解得n=100．

即这个数列的第100项是－401．

练习一　

（1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项．

（2）求等差数列10，8，6，…的第20项．

练习二

在等差数列中：

（1）d=－，=8，求；

（2）=12，=27，求d．

例3已知一个等差数列的公差为d,第m项是，试求第n项

解:

因为=+（n-1）d，

=+（m-1）d，两式相减得

-=（n-m）d

所以=+（n-m）d

强调：

已知等差数列的任意项和公差d，也可求得等差数列的任意项．

练习三

（1）已知等差数列中，=6，=16，求和公差d

（2）已知等差数列中，=20，=-1，求

例4.已知数列的通项公式为其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

解：

取数列中的任意相邻两项n-1与（n≥2）求差得

-1=（pn+q）-[p（n-1）+q]=（pn+q）-（pn-q+q）=p，

它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差为p。

在通项公式中，令n=1得a1=p+q，

所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。

探究：

在直角坐标系中作通项公式为=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？

（用几何画板作图显示）

由学生总结：

该数列的图象是一群孤立的点。

且都落在直线y=3x-5的图象上。

结论：

公差不为零的等差数列

的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。

（注：

当p=0时，=q，等差数列为

常数列，此时数列的图象是平行x轴

（或x轴上）的均匀分布的一群孤立

点。

）

师：

请同学们仔细观察，看看这几个数列有什么共同特点？

学生观察、回答．

教师总结特征：

从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）．

我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列．

教师板书定义．

师：

等差数列的例子，在生活中有很多，谁能再举几个？

教师出示题目．

学生思考、抢答．

师：

你能说出练习中各等差数列的公差吗？

学生说出各题的公差d．

教师订正并强调求公差应注意的问题．

学生思考回答：

你能用a与b表示A吗？

师：

已知一个等差数列的首项是，公差是d，如何求出它的任意项呢？

学生分组探究，填空，归纳总结通项公式

＝+d，

=+d=+d

=+d，

=+d=+d

=+d，，

……

=+d．

师：

一个等差数列的各项，已知和就可以确定下来？

师：

等差数列的通项公式中共有几个变量？

教师引导学生分析本题，已知什么？

求什么？

怎么求？

学生思考、说出已知、所求，代入通项公式．

强调：

通项公式是用含有n的式子表示an．

学生尝试解答后，师生共同板书解题过程．

仿照例1，教师引导、点拨．

学生解答．

多媒体出示解题过程．

学生核对、订正．

教师强调解题过程要规范、严谨．

学生练习．

请学生在黑板上做题．

教师巡视指导．

师生共同订正．

教师出示例题．

学生同桌之间合作探究．

学生分析解题思路．

教师出示答案，订正．

学生做练习．

学生回答各题结果，统一订正答案．

教师出示例题让学生分析题意？

学生回答：

要判定是不是等差

数列，可以利用等差数

列的定义，也就是看

（n≥2）是

不是一个与n无关的常

数就行了。

（学生叙述，教师板书）

提出问题：

数列的通项公式给出

的是与n之间的一种关系，一个n都对应着一个，这与我们以前学过的什么内容类似？

由本例得到什么结论？

（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）

学生：

与一次函数内容类似，即与n之间的关系是一次函数的系；

由本例的结论可知，如果是关于n的一次函数，那么数列{an}是等差数列。

由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力．

在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．

强化学生对等差数列“等差”特征的理解，把握和应用

引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．

学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．

鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．

通过例题，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识．

由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力．

在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．

引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．

鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．

加深学生对等差数列与一次函数的联系和理解。

小

结

1．等差数列的定义及通项公式．

2．等差数列通项公式的应用．

会知三求一

学生阅读课本P36～P38，畅谈本节课的收获．

教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法．

教师鼓励学生积极回答，答不完整没有关系，其它同学补充．以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．

作

业

教材P40，习题2.2A第1，2，4题．

变式1：

若数列是等差数列,若=k，（k为常数）试证明：

数列{}是等差数列

变式2：

已知等差数列的首项=-24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。

课堂作业

学生课后独立思考成．

巩固拓展．此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

六．板书设计

等差数列

一．概念

1．等差数列

2．等差中项

二．通项公式与性质

公式推导过程

三．例题

例1.

例2．

例3.

例4.

四．小结

练习

七．教学反思

本节内容可以说是一个承前启后的内容，本身是比较简单的知识，但也是一个重点知识，我觉得对于这部分的讲解主要还是抓住教材，让简单的东西更直白化，用简单的方式让学生抓住重点。

主要采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，从而使学生形成自主学习的能力，让学生懂得去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

通过以往的教学经验发现，学生对这部分的知识是比较容易掌握的，但问题是学生遇到问题举一反三的能力教弱，对于这类知识的变迁或者将它融入到其他知识中后，学生就开始犯难，这主要还是基础不过关，所以在开始讲解这部分知识时就要抓好基础知识，不要看它简单，以为只要记住公式就可以了，就掉以轻心，老师的角色就是要时刻提醒学生认真对待。