版高考数学理科一轮设计第56章教师用书人教A版文档格式.docx

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a＋b＝b＋a

（2）结合律：

（a＋b）＋＝

a＋（b＋）

减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

a－b＝a＋（－b）

数乘求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0λ（μa）＝λμa；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa诊断自测

1判断正误（在括号内打“√”或“×

”）　精彩PPT展示

（1）零向量与任意向量平行（　　）

（2）若a∥b，b∥，则a∥（　　）

（3）向量AB→与向量D→是共线向量，则A，B，，D四点在一条直线上（　　）

（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立（　　）

（）在△AB中，D是B中点，则AD→＝12（A→＋AB→）（　　）

解析　

（2）若b＝0，则a与不一定平行

（3）共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，，D四点不一定在一条直线上

答案　

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）√　（）√

2给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若a，b都是单位向量，则a＝b；

③向量AB→与BA→相等则所有正确命题的序号是（　　）

A①B③①③D①②

解析　根据零向量的定义可知①正确；

根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；

向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误

答案　A

3（2017&

#8226;

枣庄模拟）设D为△AB所在平面内一点，AD→＝－13AB→＋43A→，若B→＝λD→（λ∈R），则λ＝（　　）

A2B3－2D－3

解析　由AD→＝－13AB→＋43A→，可得3AD→＝－AB→＋4A→，即4AD→－4A→＝AD→－AB→，则4D→＝BD→，即BD→＝－4D→，可得BD→＋D→＝－3D→，故B→＝－3D→，则λ＝－3，故选D

答案　D

4（201&

全国Ⅱ卷）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________

解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，

又向量λa＋b与a＋2b平行，

则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12

答案　12

（必修4P92A12改编）已知&

#9649;

ABD的对角线A和BD相交于，且A→＝a，B→＝b，则D→＝______，B→＝________（用a，b表示）

解析　如图，D→＝AB→＝B→－A→＝b－a，B→＝→－B→＝－A→－B→＝－a－b

答案　b－a　－a－b考点一　平面向量的概念

【例1】下列命题中，不正确的是________（填序号）

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，，D是不共线的四点，则“AB→＝D→”是“四边形ABD为平行四边形”的充要条；

③若a＝b，b＝，则a＝

解析　①不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同

②正确∵AB→＝D→，∴|AB→|＝|D→|且AB→∥D→，又A，B，，D是不共线的四点，∴四边形ABD为平行四边形；

反之，若四边形ABD为平行四边形，则|AB→|＝|D→|，

AB→∥D→且AB→，D→方向相同，因此AB→＝D→

③正确∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝，∴b，的长度相等且方向相同，∴a，的长度相等且方向相同，故a＝

答案　①

规律方法　

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈

（4）非零向量a与a|a|的关系：

a|a|是与a同方向的单位向量

【训练1】下列命题中，正确的是________（填序号）

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；

向量的模均为实数，可以比较大小

答案　③

考点二　平面向量的线性运算

【例2】

（1）（2017&

潍坊模拟）在△AB中，P，Q分别是AB，B的三等分点，且AP＝13AB，BQ＝13B若AB→＝a，A→＝b，则PQ→＝（　　）

A13a＋13bB－13a＋13b

13a－13bD－13a－13b

（2）（201&

北京卷）在△AB中，点，N满足A→＝2→，BN→＝N→若N→＝xAB→＋A→，则x＝________；

＝________

解析　

（1）PQ→＝PB→＋BQ→＝23AB→＋13B→＝23AB→＋

13（A→－AB→）＝13AB→＋13A→＝13a＋13b，故选A

（2）由题中条得，N→＝→＋N→＝13A→＋12B→＝13A→＋12（AB→－A→）＝12AB→－16A→＝xAB→＋A→，所以x＝12，＝－16

答案　

（1）A　

（2）12　－16

规律方法　

（1）解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化

（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果

【训练2】

（1）如图，正方形ABD中，点E是D的中点，点F是B的一个靠近B点的三等分点，那么EF→等于（　　）

A12AB→－13AD→B14AB→＋12AD→

13AB→＋12DA→D12AB→－23AD→

（2）在△AB中，AB＝2，B＝3，∠AB＝60°

，AD为B边上的高，为AD的中点，若A→＝λAB→＋μB→，则λ＋μ等于（　　）

A1B1213D23

解析　

（1）在△EF中，有EF→＝E→＋F→

因为点E为D的中点，所以E→＝12D→

因为点F为B的一个靠近B点的三等分点，

所以F→＝23B→

所以EF→＝12D→＋23B→＝12AB→＋23DA→

＝12AB→－23AD→，故选D

（2）∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13B→，

∴2A→＝AB→＋13B→，即A→＝12AB→＋16B→

故λ＋μ＝12＋16＝23

答案　

（1）D　

（2）D

考点三　共线向量定理及其应用

【例3】设两个非零向量a与b不共线

（1）若AB→＝a＋b，B→＝2a＋8b，D→＝3（a－b）求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数，使a＋b和a＋b共线

（1）证明　∵AB→＝a＋b，B→＝2a＋8b，D→＝3（a－b）

∴BD→＝B→＋D→＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝（a＋b）＝AB→∴AB→，BD→共线，

又它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线

（2）解　∵a＋b与a＋b共线，∴存在实数λ，

使a＋b＝λ（a＋b），即a＋b＝λa＋λb，

∴（－λ）a＝（λ－1）b

∵a，b是不共线的两个非零向量，

∴－λ＝λ－1＝0，∴2－1＝0，∴＝±

1

规律方法　

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线

（2）向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立

【训练3】

（1）（2017&

资阳模拟）已知向量AB→＝a＋3b，B→＝a＋3b，D→＝－3a＋3b，则（　　）

AA，B，三点共线BA，B，D三点共线

A，，D三点共线DB，，D三点共线

（2）已知A，B，是直线l上不同的三个点，点不在直线l上，则使等式x2A→＋xB→＋B→＝0成立的实数x的取值集合为（　　）

A{0}B&

#8709;

{－1}D{0，－1}

解析　

（1）∵BD→＝B→＋D→＝2a＋6b＝2（a＋3b）＝2AB→，

∴BD→、AB→共线，又有公共点B，

∴A，B，D三点共线故选B

（2）因为B→＝→－B→，所以x2A→＋xB→＋→－B→＝0，即→＝－x2A→－（x－1）B→，因为A，B，三点共线，

所以－x2－（x－1）＝1，即x2＋x＝0，

解得x＝0或x＝－1

答案　

（1）B　

（2）D[思想方法]

1向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；

向量减法的三角形法则要素是”起点重合，指向被减向量”；

平行四边形法则要素是“起点重合”

2证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线

3对于三点共线有以下结论：

对于平面上的任一点，A→，B→不共线，满足P→＝xA→＋B→（x，∈R），则P，A，B共线&

#8660;

x＋＝1

[易错防范]

1解决向量的概念问题要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；

二是考虑零向量是否也满足条要特别注意零向量的特殊性

2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1已知下列各式：

①AB→＋B→＋A→；

②AB→＋B→＋B→＋→；

③A→＋B→＋B→＋→；

④AB→－A→＋BD→－D→其中结果为零向量的个数为（　　）

A1B23D4

解析　由题知结果为零向量的是①④，故选B

答案　B

2设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（　　）

Aa与λa的方向相反Ba与λ2a的方向相同

|－λa|≥|a|D|－λa|≥|λ|&

a

解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；

B正确；

对于，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；

对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小

3如图，在正六边形ABDEF中，BA→＋D→＋EF→＝（　　）

A0BBE→

AD→DF→

解析　由题图知BA→＋D→＋EF→＝BA→＋AF→＋B→＝B→＋BF→＝F→

4设a0为单位向量，下述命题中：

①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；

②若a与a0平行，则a＝|a|a0；

③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0假命题的个数是（　　）

A0B12D3

解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；

若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题综上所述，假命题的个数是3

设为平行四边形ABD对角线的交点，为平行四边形ABD所在平面内任意一点，则A→＋B→＋→＋D→等于（　　）

A→B2→3→D4→

解析　A→＋B→＋→＋D→＝（A→＋→）＋（B→＋D→）＝2→＋2→＝4→故选D

6在△AB中，AB→＝，A→＝b，若点D满足BD→＝2D→，则AD→等于（　　）

A23b＋13B3－23b

23b－13D13b＋23

解析　∵BD→＝2D→，∴AD→－AB→＝BD→＝2D→＝2（A→－AD→），

∴3AD→＝2A→＋AB→，∴AD→＝23A→＋13AB→＝23b＋13

7（2017&

温州八校检测）设a，b不共线，AB→＝2a＋pb，B→＝a＋b，D→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为（　　）

A－2B－11D2

解析　∵B→＝a＋b，D→＝a－2b，

∴BD→＝B→＋D→＝2a－b

又∵A，B，D三点共线，∴AB→，BD→共线

设AB→＝λBD→，∴2a＋pb＝λ（2a－b），

∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1

8如图所示，已知AB是圆的直径，点，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，A→＝b，则AD→＝（　　）

Aa－12b　　　B12a－b

a＋12b　　　　D12a＋b

解析　连接D，由点，D是半圆弧的三等分点，得D∥AB且D→＝12AB→＝12a，

所以AD→＝A→＋D→＝b＋12a

二、填空题

9如图，点是正六边形ABDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量A→相等的向量有________个

解析　根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量A→相等的向量有B→，D→，EF→，共3个

答案　3

10如图，在平行四边形ABD中，对角线A与BD交于点，AB→＋AD→＝λA→，则λ＝________

解析　因为ABD为平行四边形，所以AB→＋AD→＝A→＝2A→，已知AB→＋AD→＝λA→，故λ＝2

答案　2

11向量e1，e2不共线，AB→＝3（e1＋e2），B→＝e2－e1，D→＝2e1＋e2，给出下列结论：

①A，B，共线；

②A，B，D共线；

③B，，D共线；

④A，，D共线其中所有正确结论的序号为________

解析　由A→＝AB→－B→＝4e1＋2e2＝2D→，且AB→与B→不共线，可得A，，D共线，且B不在此直线上

答案　④

12已知△AB和点满足A→＋B→＋→＝0，若存在实数使得AB→＋A→＝A→成立，则＝________

解析　由已知条得B→＋→＝－A→，如图，延长A交B于D点，则D为B的中点

延长B交A于E点，延长交AB于F点，同理可证E，F分别为A，AB的中点，即为△AB的重心，

∴A→＝23AD→＝13（AB→＋A→），即AB→＋A→＝3A→，则＝3

能力提升题组

1分钟）

13（2017&

延安模拟）设e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，B→＝e1＋e2，D→＝3e1－2e2，若A，B，D三点共线，则的值为（　　）

A－94B－49

－38D不存在

解析　由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD→

又AB→＝3e1＋2e2，B→＝e1＋e2，D→＝3e1－2e2，

所以BD→＝D→－B→＝3e1－2e2－（e1＋e2）

＝（3－）e1－（2＋1）e2，

所以3e1＋2e2＝λ（3－）e1－λ（2＋1）e2，

所以3＝λ（3－），2＝－λ（2＋1），解得＝－94

14已知点，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2P→＝2A→＋BA→，则（　　）

A点P在线段AB上B点P在线段AB的反向延长线上

点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上

解析　因为2P→＝2A→＋BA→，所以2AP→＝BA→，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B

1是平面上一定点，A，B，是平面上不共线的三个点，动点P满足：

P→＝A→＋λAB→|AB→|＋A→|A→|，λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△AB的（　　）

A外心B内心重心D垂心

解析　作∠BA的平分线AD∵P→＝A→＋λAB→|AB→|＋A→|A→|，

∴AP→＝λAB→|AB→|＋A→|A→|＝λ′&

AD→|AD→|（λ′∈[0，＋∞）），

∴AP→＝λ′|AD→|&

AD→，∴AP→∥AD→

∴P的轨迹一定通过△AB的内心

16若点是△AB所在平面内的一点，且满足|B→－→|＝|B→＋→－2A→|，则△AB的形状为________

解析　B→＋→－2A→＝（B→－A→）＋（→－A→）＝AB→＋A→，B→－→＝B→＝AB→－A→，∴|AB→＋A→|＝|AB→－A→|

故A，B，为矩形的三个顶点，△AB为直角三角形

答案　直角三角形

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

最新考纲　1了解平面向量的基本定理及其意义；

2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；

4理解用坐标表示的平面向量共线的条