文科数学步步高一轮复习word版12Word文件下载.docx
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若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p（x）},B＝{x|q（x）},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
（1）若A⊆B,则p是q的充分条件；
（2）若A⊇B,则p是q的必要条件；
（3）若A＝B,则p是q的充要条件；
（4）若AB,则p是q的充分不必要条件；
（5）若AB,则p是q的必要不充分条件；
（6）若A
B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）“对顶角相等”是命题.（ √ ）
（2）命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.（ ×
）
（3）当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.（ √ ）
（4）当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.（ √ ）
（5）若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.（ √ ）
题组二 教材改编
2.[P8T3]下列命题是真命题的是（ ）
A.矩形的对角线相等
B.若a＞b,c＞d,则ac＞bd
C.若整数a是素数,则a是奇数
D.命题“若x2＞0,则x＞1”的逆否命题
答案 A
3.[P12T2
（2）]“x－3＝0”是“（x－3）（x－4）＝0”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
答案 充分不必要
题组三 易错自纠
4.命题“若x2＞y2,则x＞y”的逆否命题是（ ）
A.若x＜y,则x2＜y2B.若x≤y,则x2≤y2
C.若x＞y,则x2＞y2D.若x≥y,则x2≥y2
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2＞y2,则x＞y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.
5.设x＞0,y∈R,则“x＞y”是“x＞|y|”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 x＞y⇏x＞|y|（如x＝1,y＝－2）,
但当x＞|y|时,能有x＞y.
∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件.
6.已知p：
x＞a是q：
2＜x＜3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
答案 （－∞,2]
解析 由已知,可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a},
∴a≤2.
题型一 命题及其关系
1.下列命题是真命题的是（ ）
A.若
＝
则x＝yB.若x2＝1,则x＝1
C.若x＝y,则
D.若x＜y,则x2＜y2
2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是（ ）
A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有
C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福
答案 D
3.原命题为“△ABC中,若cosA＜0,则△ABC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是（ ）
A.真,真,真B.假,假,真
C.真,真,假D.真,假,假
解析 若cosA＜0,A为钝角,则△ABC为钝角三角形,所以原命题为真,则逆否命题也为真；
△ABC为钝角三角形,可能是B或者C为钝角,A可能为锐角,cosA＞0.所以逆命题为假,则否命题也为假.故选B.
4.设m∈R,命题“若m＞0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________.
答案 若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤0
思维升华
（1）写一个命题的其他三种命题时,需注意：
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
（2）判断一个命题为真命题,要给出推理证明；
判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.
（3）根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
题型二 充分必要条件的判定
典例
（1）“0≤m≤1”是“函数f（x）＝cosx＋m－1有零点”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 方法一 若0≤m≤1,则0≤1－m≤1,
∴cosx＝1－m有解.
要使函数f（x）＝cosx＋m－1有零点,
只需|m－1|≤1,解得0≤m≤2,故选A.
方法二 函数f（x）＝cosx＋m－1有零点,
则|m－1|≤1,解得0≤m≤2,
∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}.
∴“0≤m≤1”是“函数f（x）＝cosx＋m－1”有零点的充分不必要条件.
（2）已知条件p：
x＞1或x＜－3,条件q：
5x－6＞x2,则綈p是綈q的（ ）
解析 由5x－6＞x2,得2＜x＜3,即q：
2＜x＜3.
所以q⇒p,p⇏q,所以綈p⇒綈q,綈q⇏綈p,
所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A.
思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法
（1）定义法：
根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
（2）集合法：
根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.
跟踪训练
（1）（2018届莆田一中月考）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的（ ）
A.充要条件B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件D.必要不充分条件
解析 非有志者不能至,是必要条件；
但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件.
（2）设a,b∈R,则“（a－b）a2＜0”是“a＜b”的（ ）
解析 若“（a－b）a2＜0”,则“a＜b”,是真命题；
而若“a＜b”,则“（a－b）a2＜0”当a＝0时不成立,是假命题.故选A.
题型三 充分必要条件的应用
典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0},非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0,得－2≤x≤10,
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
引申探究
若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P＝S,
∴
方程组无解,
即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
思维升华充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验.
跟踪训练
（1）（2017·
山西五校联考）已知p：
（x－m）2＞3（x－m）是q：
x2＋3x－4＜0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.
答案 （－∞,－7]∪[1,＋∞）
解析 p对应的集合A＝{x|x＜m或x＞m＋3},
q对应的集合B＝{x|－4＜x＜1},
由p是q的必要不充分条件可知,BA,
∴m≥1或m＋3≤－4,
即m≥1或m≤－7.
（2）设n∈N*,一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案 3或4
解析 由Δ＝16－4n≥0,得n≤4,
又n∈N*,则n＝1,2,3,4.
当n＝1,2时,方程没有整数根；
当n＝3时,方程有整数根1,3,
当n＝4时,方程有整数根2.综上可知,n＝3或4.
等价转化思想在充要条件中的应用
典例已知p：
≤2,q：
x2－2x＋1－m2≤0（m＞0）,綈p是綈q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.
思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.本题中既有对题目中条件的化简,又有充分必要条件和集合间关系的转化.
解析 ∵綈p是綈q的必要不充分条件,
∴q是p的必要不充分条件.
即p是q的充分不必要条件,
由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0）,
得1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m,m＞0}.
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m,m＞0}.
又由
≤2,得－2≤x≤10,
∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}.
设N＝{x|－2≤x≤10}.
由p是q的充分不必要条件知,NM,
或
解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9,＋∞）.
答案 [9,＋∞）
1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
2.命题“若a＞－3,则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确；
其逆命题为“若a＞－6,则a＞－3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题.
3.“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（ ）
4.（2018·
河南八市联考）命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的否命题是（ ）
A.若a≤b,则a＋c≤b＋c
B.若a＋c≤b＋c,则a≤b
C.若a＋c＞b＋c,则a＞b
D.若a＞b,则a＋c≤b＋c
解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a≤b,则a＋c≤b＋c”,故选A.
5.（2017·
广东名校模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A.充分条件B.必要条件
解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选B.
6.（2017·
安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－
＋a为奇函数”的（ ）
解析 显然当a＝0时,f（x）＝sinx－
为奇函数.
当f（x）为奇函数时,f（－x）＋f（x）＝0.
又f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－
＋a＋sinx－
＋a＝0,
因此2a＝0,故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.
7.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
解析 若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交；
若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A.
8.下列结论错误的是（ ）
A.命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题为“若x≠4,则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m＞0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0,则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0,则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根,则m＞0”.若方程有实根,则Δ＝1＋4m≥0,
即m≥－
不能推出m＞0,所以不是真命题.
9.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.
答案 2
解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.
10.设p：
实数x,y满足x＞1且y＞1,q：
实数x,y满足x＋y＞2,则p是q的________条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
解析 当x＞1,y＞1时,x＋y＞2一定成立,即p⇒q,
当x＋y＞2时,可令x＝－1,y＝4,即q⇏p,
故p是q的充分不必要条件.
11.已知命题p：
a≤x≤a＋1,命题q：
x2－4x＜0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.
答案 （0,3）
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1},
N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}.
∵p是q的充分不必要条件,∴MN,
解得0＜a＜3.
12.有下列几个命题：
①“若a＞b,则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4,则－2＜x＜2”的逆否命题.
其中真命题的序号是________.
答案 ②③
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误；
②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,正确；
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2,则x2≥4”,正确.
13.（2017·
邵阳二模）“m＞1”是“函数f（x）＝3x＋m－3
在区间[1,＋∞）上无零点”的（ ）
解析 函数f（x）＝3x＋m－3
在区间[1,＋∞）上无零点,则31＋m＞3
即m＋1＞
解得m＞
故“m＞1”是“函数f（x）＝3x＋m－3
在区间[1,＋∞）上无零点”的充分不必要条件,故选A.
14.已知条件p：
2x2－3x＋1≤0,条件q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
答案
解析 方法一 命题p为
命题q为{x|a≤x≤a＋1}.
綈p对应的集合A＝
綈q对应的集合B＝{x|x＞a＋1或x＜a}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件,
∴0≤a≤
.
方法二 命题p：
A＝
命题q：
B＝{x|a≤x≤a＋1}.
∴p是q的充分不必要条件,即AB,
15.若“数列an＝n2－2λn（n∈N*）是递增数列”为假命题,则λ的取值范围是_____________.
解析 若数列an＝n2－2λn（n∈N*）为递增数列,则有an＋1－an＞0,即2n＋1＞2λ对任意的n∈N*都成立,于是可得3＞2λ,即λ＜
故所求λ的取值范围是
16.设a,b为正数,则“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的________条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
解析 ∵a－b＞1,即a＞b＋1.又∵a,b为正数,
∴a2＞（b＋1）2＝b2＋1＋2b＞b2＋1,即a2－b2＞1成立；
反之,当a＝
b＝1时,满足a2－b2＞1,但a－b＞1不成立.所以“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的充分不必要条件.
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