学生5份第3讲 轴对称2Word文档格式.docx

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，那么∠EAD＝______

（3）若∠EAD=100°

，那么∠BAC＝______

考点4、角的对称轴有条，是

考点5、角平分线上的点到的距离相等

∵

又∵

考点6、角的内部到距离相等的点在角的平分线上

∴

例3：

如图，在△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠BAC.

（1）若CD=5，则点D到AB的距离为.

（2）若BD：

DC=3：

2，点D到AB的距离为6，则BC的长是.

例4：

如图，OP平分∠AOB，PA

OA，PB

OB，垂足分别为A、B．

下列结论中，不一定成立的是（）

A．PA=PBB．PO平分∠APB

C．OA=OBD．AB垂直平分OP

补充考点：

①三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等

②三角形的三条角平分线的交点到的距离相等

1.请你先在图的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．

2.如图，求作点P，使点P同时满足：

1PA=PB；

②到直线m，n的距离相等．

7、等边对等角

∵

∴

8、等角对等边

∵

9、等腰三角形、

、

重合（三线合一）

（有条对称轴）

∵∵∵

又∵又∵又∵

∴∴∴

例5：

（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为

（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为

（3）已知等腰三角形的一个外角为100°

，则这个等腰三角形的顶角为__________．

（4）等腰△ABC中，若∠A=30°

，则∠B=．

例6：

（1）如图①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°

则∠EDC=_______．

（2）如图②，∠ACB=90°

E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=_____．

（3）如图③，AB=AC=DC，且BD=AD，则∠B=_____．

例7：

如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，

交AB于点D，交AC于点E．试说明BD＋EC＝DE．

例8：

如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：

BD=CE．

例9：

如左图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：

BE=CE；

（2）如右图，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°

，原题设其它条件不变．求证：

△AEF≌△BCF．

10、

（1）等边三角形的性质：

等边三角形的三条边，三个角都是，每条边上都有三线合一，有条对称轴

（2）等边三角形的3个判定方法：

三条边都的三角形是等边三角形

三个角都的三角形是等边三角形

有一个角是的三角形是等边三角形

例10：

（1）如图①，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=____．

（2）如图②，正方形ABCD，△EAD为等边三角形，则∠EBC＝_______．

（3）如图③，已知等边△ABC，AC=AD,且AC⊥AD，垂足为A，则∠BEC＝_______．

1②③

例11：

如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A、E重合），在AE的同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE相交于点O，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．下列五个结论：

①AD=BE；

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°

，其中恒成立的有__________（填序号）．

例12：

如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．

求证：

AE∥BC．

11、直角三角形斜边上的中线等于

又∵∴

12、用等积法求直角三角形斜边上

SΔABC=

=

13、直角三角形中，30°

的角所对的直角

边等于

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°

，CD是斜边AB的中线，且CD=4cm，则AB=_______．

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠B=30°

，AB=8，则AC=_______．

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=8，BC=6，则AB边上的高CD=．

例13：

如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，

连接GF，求证：

GF⊥DE．

例14：

如图，已知：

三角形ABC中，∠A＝90°

，AB＝AC，

D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，

△DEF为等腰直角三角形．

课后检测：

1．如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．

2．如图，在边长为2等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E、F是AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是__________cm2．

3．如图，在△ABC中，CD与C，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明

（1）△DCF为直角三角形；

（2）DE=EF．

4．如图，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试找出图中除△ABC外的等腰三角形，并说明你的理由．

5.如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．求证：

EC平分∠DEF．

6．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．BE与DF相等吗？

请说明理由．

7．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作

△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．

试说明：

（1）△ACE≌△DCB．

（2）PC平分∠APB．

8．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．

（l）求BE的长；

（2）试说明BD=ED。

9．画图、证明：

如图，∠AOB=90°

，点C、D分别在OA、OB上．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

作∠AOB的平分线OP；

作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；

连接OE、CF、DF．

（2）在所画图中，

①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由． 

②求证：

△CDF为等腰直角三角形

10.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°

，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：

ME=BD．

11.如图，设∠BAC=θ（0°

＜θ＜90°

）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.

（1）小棒能无限摆下去吗？

答：

.（填“能”或“不能”）

（2）若已经摆放了3根小棒，则θ1=___________，θ2=__________，θ3=__________；

（用含θ的式子表示）

（3）若只能摆放4根小棒，求θ的范围.

12．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？

若变化，请说明理由；

若不变，求出它的度数．

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？

若不变，则求出它的度数．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CD，BD＝CF．

（1）试说明DE＝DF．

（2）若∠A＝40°

，求∠EDF的度数．

14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°

，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 

_______．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于

16．如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM＝PN；

②MO＝NO；

③OP⊥MN；

④MD＝ND．其中正确的有

（第14题）（第15题）（第16题）

17．如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．

（1）当∠DQC＝30°

时，求AP的长．

（2）作PE⊥AC于E，求证：

DE＝AE＋CD．

18．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°

，AB的垂直平分线DE交AC于点D．

（1）求∠A的度数；

（2）若AC＝6cm，求AD的长度．