高中数学必修一基础强化天天练第32练 函数与方程二分法.docx

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高中数学必修一基础强化天天练第32练函数与方程二分法

高中数学必修一基础强化天天练

第32练函数与方程（二分法）

目标：

根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；理解“逼近”的数学思想方法.

一、填空题

1．已知函数f（x）＝x3＋x2－2x－2，f

（1）·f

（2）<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f（x0）＝________.

【答案】0.625

【解析】　由题意知f（x0）＝f（

）＝f（1.5），代入解析式易计算得0.625.

2．下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是________．（填序号）

【答案】②③④

【解析】　由①中的图象可知，不存在一个区间（a，b），使f（a）·f（b）<0，即①中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．

3．若函数

在区间

上存在零点，则

的值等于_________。

【答案】2

【解析】函数

在

上递增

函数零点所在的区间为

4．设f（x）＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈（1,2）内近似解的过程中得f

（1）<0，f（1.5）>0，f（1.25）<0，则方程的根落在区间________．

【答案】（1.25,1.5）

【解析】∵f

（1）·f（1.5）<0，x1＝

＝1.25.

又∵f（1.25）<0，∴f（1.25）·f（1.5）<0，

则方程的根落在区间（1.25,1.5）内．

5．函数f（x）＝x3－x2－x＋1在[0,2]上的零点有____个．

【答案】1

【解析】f（x）＝（x－1）2（x＋1）＝0，

x1＝1，x2＝－1，

故f（x）在[0,2]上有一个零点．

6.方程ex–

=0在实数范围内的解的个数是____________

【答案】1

【解析】结合函数y=ex和y=

的图像（图略），两图像有且只有1个交点，所以方程ex–

=0在实数范围内的解的个数是1.

7．已知x0是函数f（x）＝2x＋

的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则下列各式中正确的是________．（填序号）

①f（x1）<0，f（x2）<0；②f（x1）<0，f（x2）>0；

③f（x1）>0，f（x2）<0；④f（x1）>0，f（x2）>0.

【答案】②

【解析】∵f（x）＝2x－

，f（x）由两部分组成，2x在（1，＋∞）上单调递增，－

在（1，

＋∞）上单调递增，∴f（x）在（1，＋∞）上单调递增．∵x1

又∵x2>x0，∴f（x2）>f（x0）＝0.

8．方程x3=2的一个解x0∈（m，m＋0.5），则m＝_________.

【答案】1

【解析】设f（x）=x3-2∵f

（1）=-1<0，f

（2）=6>0

∴在区间（1,2）上，方程x3-2=0有一解，记为x0.取1与2的平均数1.5

∵f（1.5）=1.375>0，∴1

9.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．

【答案】[2,2.5）

【解析】　令f（x）＝x3－2x－5，则f

（2）＝－1<0，f（3）＝16>0，

f（2.5）＝15.625－10＝5.625>0.

∵f

（2）·f（2.5）<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5）．

10．在用二分法求方程f（x）＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f（0.625）<0，f（0.70）>0，f（0.6875）<0，即可得出方程的一个近似解为____________（精确到为0.1）．

【答案】0.7

【解析】因为0.70与0.6875精确到0.1的近似值都为0.7.

二、解答题

11．确定函数f（x）＝

x＋x－4的零点所在的区间．

解　（答案不唯一）

设y1＝

x，y2＝4－x，则f（x）的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．

由图知，y1与y2在区间（0,1）内有一个交点，

当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f（4）<0，

当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f（8）＝1>0，

∴在（4,8）内两曲线又有一个交点．

故函数f（x）的两零点所在的区间为（0,1），（4,8）．

12．设函数g（x）＝－6x3－13x2－12x－3.

（1）证明：

g（x）在区间（－1,0）内有一个零点；

（2）求出函数g（x）在（－1,0）内的零点（精确到0.1）．

（1）证明　g（x）＝－6x3－13x2－12x－3.

∵g（－1）＝2>0，g（0）＝－3<0，

∴g（x）在区间（－1,0）内有一个零点．

（2）解　g（－0.5）>0，g（0）<0⇒x∈（－0.5,0）；

g（－0.5）>0，g（－0.25）<0⇒x∈（－0.5，－0.25）；

g（－0.5）>0，g（－0.375）<0⇒x∈（－0.5，－0.375）；

g（－0.4375）>0，g（－0.375）<0

⇒x∈（－0.4375，－0.375）．

因此，x≈－0.4为所求函数g（x）的零点．

1.设f（x）=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f

（1）<0，f（1.5）>0，f（1.25）<0，则方程的根落在区间______.

解：

（1.25，1.5）

2.设ƒ（x）=

若ƒ（

）>0,ƒ（

）<0,

<

则一元二次方程ƒ（x）=0在区间（

，

）内有______个解.

解：

1

3．用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．

解：

[2,2.5]

4.

5.方程log3x+x=3的解所在区间是________.

A.（0,2）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

解：

f

（2）f（3）<0，所以选C.

6.

7．函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是下面的哪一个________．（填序号）

①（－2，－1）；②（－1,0）；③（0,1）；④（1,2）．

解：

③

8.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是_______.（填上正确的序号）

解：

③

9.若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

f

（1）=-2

f（1.5）=0.625

f（1.25）=-0.984

f（1.375）=-0.260

f（1.438）=0.165

f（1.4065）=-0.052

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为_________.

解：

f（1.375）f（1.438）<0，且1.375、1.438精确到0.1的近似值都是1.4.所以，此方程的一个近似根是1.4.

10.若方程

在区间（

）（

∈z，且b-a=1）上有一根，则a+b的值为_________.

解：

-3

二、解答题

11.求函数y=x2与函数y=7-x的图象的交点的横坐标.（精确到0.1）

解：

此问题即为求方程x2=7-x的的近似解（精确到0.1）.运用二分法或者求根公式均可得-3.8，-1.8.

12.用二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1.0,1.5]内的实根．（精确到0.1）

解：

令f（x）＝x3－x－1，f（1.0）＝－1<0，f（1.5）＝0.875>0.

用二分法逐项计算，列表如下：

区间

中点的值

中点函数近似值

（1.0,1.5）

1.25

－0.297

（1.25,1.5）

1.375

0.225

（1.25,1.375）

1.3125

－0.052

（1.3125,1.375）

1.34375

0.083

∵区间[1.3125,1.34375]的左右端点精确到0.1时的近似值为1.3，∴方程x3－x－1＝0的近似解为1.3.