四年级奥数教材.docx

四年级奥数教材.docx

《四年级奥数教材.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四年级奥数教材.docx（40页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

四年级奥数教材

四年级奥数目录

（1）找规律★★（观察力和计算能力的一个结合）

①数列中的规律

②图形中的规律

（二）数字谜★★★（运用简单的数字组成不同或相同的位数，使式子合理）

①横式字谜

②竖式字谜

（三）定义新运算★★★（它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。

）

（四）鸡兔同笼★★★（根据现实的例子，进行推理和计算）

（五）行程问题★★★★（求路程的问题，公式的运用）

①追及问题与相遇问题

②火车过桥

（六）植树问题★★★（植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的，每种方法不一）

（七）有趣的数阵图★★★（把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图）

（八）枚举法★★（通过推测将所有的可能写下来）

（九）推理逻辑★★（根据已知的条件，推出合理的答案）

（十）倒推法的妙用★★★（加的倒推成减，减的倒推成加，以此更简单快速地计算出答案）

（十一）火柴棍游戏★★★（通过移动火柴变成另一个数字或图形）

（十二）巧求周长

（一）★★★★（一些不规则的比较复杂的几何图形，求周长，可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后利用周长公式进行计算）

（十三）面积计算★★★★（解答比较复杂的长方形、正方形的面积计算的问题时，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧）

（十四）移多补少平均数★★★（将多的一方分出一部分给少的，使多的和少的同样多）

（十五）一笔画★★（类似于走迷宫）

（1）找规律

观察是解决问题的根据。

通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：

1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；

2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；

3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；

4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

①数列中的规律

一、例题与方法指导

例1：

先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

1，4，7，10，（），16，19

思路导航：

在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。

根据这一规律，括号里应填的数为：

10+3=13或16－3=13

像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

例2：

先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。

1，2，4，7，（），16，22

思路导航：

在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。

由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：

7+4=11。

经验证，所填的数是正确的。

应填的数为：

7+4=11或16-5=11

例3：

先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

23，4，20，6，17，8，（），（），11，12

思路导航：

在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的一个数为：

17-3=14，11前面的数为：

8+2=10

2、巩固训练

1.先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）2，6，10，14，（），22，26

（2）3，6，9，12，（），18，21

（3）33，28，23，（），13，（），3

（4）55，49，43，（），31，（），19

（5）3，6，12，（），48，（），192

（6）2，6，18，（），162，（）

（7）128，64，32，（），8，（），2

（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3

2.先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）10，11，13，16，20，（），31

（2）1，4，9，16，25，（），49，64

（3）3，2，5，2，7，2，（），（），11，2

（4）53，44，36，29，（），18，（），11，9，8

（5）81，64，49，36，（），16，（），4，1，0

（6）28，1，26，1，24，1，（），（），20，1

（7）30，2，26，2，22，2，（），（），14，2

（8）1，6，4，8，7，10，（），（），13，14

3、拓展提升

先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）1，6，5，10，9，14，13，（），（）

（2）13，2，15，4，17，6，（），（）

（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（），（），18，14

（4）21，2，19，5，17，8，（），（）

（5）32，20，29，18，26，16，（），（），20，12

（6）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486

（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（），（）

（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（），（）

②图形中的规律

我们通常会碰到一些图形，它们在某一方面，比如颜色，形状，大小，结构，位置或繁难等有些共同的特征或变化规律，你能通过观察找规律，并根据规律推断出结果吗

一、例题与方法指导

例1.下面哪个图形和其他几个不一样，你能找出来吗

思路导航：

题中几个图形的共同特征是：

先连接各边中点，组成一个复合图形。

所不同的是，B图形是一个三角形，而其他几个图形都是四边形，这样，只有B与其他几个不一样。

例2.找出下组图形中不同的项。

思路导航：

题中只有D图形不是由A翻转过来的，其他图形都是在同一个平面内通过把A图形旋转而得到的。

故不同的选项应该为D

例3.在下面图形中找出一个与众不同的.

（1）

（2）（3）（4）（5）

思路导航：

很容易看出题目图中

（1）逆时针旋转

就是（4）,但是这样一来,

（2）、（3）、（5）都与它们不同了.题目上要求找出一个.所以放弃这种想法.

图

（2）顺时针旋转

且大、小两个矩形颜色互换一下就得到（5）.而图

（1）与（3）的变化规律也是这样:

顺时针旋转

大小两部分颜色互换.因此

（1）与（3）配对,

（2）与（5）配对.

解:

与众不同的是题目图中的（4）.

例4.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.

思路导航：

我们分花盆、花茎、花叶、花朵四个部分逐步观察.

（1）花盆:

花盆的形状每一行都是由同样的三种形状组成,所以第三行所缺的形状便是应填的图案中的花盆形状;花盆的颜色在同一行中都是由黑、白、灰（画有斜线）三色组成,图中第三行已有白、灰二色，所以应填的花盆为黑色（如下图

（1））;

（2）花茎:

如同上面一样的分析.花茎的形状为鱼钩状,方向向右（如下图

（2））;

（3）花叶:

花叶数量为两朵,方向是向左、右平展（如下图（3））;

（4）花朵:

形状为圆形（如下图（4））.

（1）

（2）（3）（4）

解:

依照所给图形的变化规律,空格中应填的图形如图（4）.

2、巩固训练

1.按顺序观察图5—2中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“?

”的空格处应画什么样的图形?

分析观察中，注意到图5—1中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2;图5—2中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。

解：

在图5—2的“?

”处应是

2.请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。

　　分析首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的;其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是：

　　①仅由圆、三角形、正方形组成;

　　②各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。

　　因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。

解略。

3.按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“?

”处填上合适的图形.

　　分析显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆;同时，图（a）、（c）中都有3个图形，而（b）中只有两个.由此可知：

图（a）到（b）的变化规律对应于图（c）到（d）的变化规律.再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图（d）中的图形了。

解：

在上图的“?

”处应填如下图形.

4.下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“?

”处填上适当的图形.

　　分析本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成，图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：

对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。

因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样，“?

”处的图形就不难得出。

解：

图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.

小结：

对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。

（2）数字谜

小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。

谜底你还记得吗记不得也没关系，想想“空中”指什么“天”。

这个地名第1个字可能是天。

“码头”指什么呢码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。

这样谜底就出来了：

天津。

算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。

“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。

文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。

文字算式谜也是最难的一种算式谜。

在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。

①横式字谜

1、例题与方法指导

例1□，□8，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。

那么所填的3个数字之和是多少

思路导航：

150*3-8-97-5=340

　　　　　所以3个数之和为3+4+5=12。

例2在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：

（1）6□□4÷56=□0□，

（2）7□□8÷37=□1□，

　　　（3）3□□3÷2□=□17，

　　　（4）8□□□÷58=□□6。

分析：

（1）6104/56=109

（2）7548/37=204

　　　（3）3393/29=117

　　　（4）8468/58=146

例3在算式40796÷□□□=□99……98的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。

求其中的除数。

分析：

40796/102=399...98。

例4我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学

　　在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。

如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少

例5□÷（□÷□÷□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。

思路导航：

这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：

a/（b/c/d）=a/（b/c*d）=a*c*d/b，（a

　　　　　当a=1时，有6*8/2=24，8*9/3=24；

　　　　　当a=2时，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

　　　　　所以，满足要求的等式有：

1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。

例6①□×□=5□；②12+□－□=□，把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。

　　分析：

根据第一个等式，只有两种可能：

7*8=56，6*9=54；如果为7*8=56，则余下的数字有：

3、4、9，显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：

3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。

2、训练巩固

1.迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛

在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少

　　分析：

考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：

能够满足：

春春×春春=迎迎赛赛的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：

77*88=6776，第二个为：

55*99=5445；

所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。

2.迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯

在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

那么“迎+春+杯”等于多少

　　分析：

同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；

这样，第一个算式显然只有：

8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。

3、拓展提升

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：

（1）5×□=2□；

（2）6×□＝3□。

2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：

（1）□÷□=□÷□；

（2）□÷□＞□÷□。

3.在下列各式的□中填入合适的数字：

（1）448÷□□=□；

（2）2822÷□□=□□；

（3）13×□□=4□6。

4.在下列各式的□中填入合适的数：

（1）□÷32＝8……31；

（2）573÷32＝□……29；

（3）4837÷□＝74……27。

②竖式字谜

一、例题与方法指导

例1在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少

　　分析：

首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。

再看十位，“欢”是5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。

所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。

例2在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：

巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少

　　分析：

还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排出）；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9；再看千位，

（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；

（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。

所以“数字谜”代表的三位数是965。

例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．

　　分析：

首先万位上“华”=1；再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相应的只能是0或1。

但是“华”=1，所以，“人”就是0；再看百位，“人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。

由此可知“回”比“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进位。

于是可以确定“香”等于9的；再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大1，那么“爱”就等于8；同时，个位必须有进位；再看个位，两数相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”=6，“归”=7。

这样，整个算式就是：

9567+1085=10652。

例4图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，RS，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少

　　分析：

先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。

所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。

所以，得到的算式结果是31486。

2、训练巩固

1.在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．那么D+G等于多少

　　分析：

先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。

所以，D＋G就可以等于6，8或10。

2.王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求王老师家的电话号码．

　　分析：

我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。

由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；

首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。

所以，王老师家的电话号码是8371692。

3.将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少

　　分析：

用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。

所以，原四位数最大是1989。

3、拓展提升

1.已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少

　　分析：

由1/7的特点易知，ABCDE=42857。

142857*3=428571。

2.某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少

　　分析：

由个位起逐个递推：

4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位为5；4*5+2=22，原千位为2；

4*2+2=10，原万位为0；1*4=4，正好。

所以，原数最小是102564。

3.在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少

　　分析：

同第10题一样，也是利用1/7的特点。

因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有3和6可选：

好=3，则：

142857*3=428571；好=6，则：

142857*6=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。

（3）定义新运算

定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。

它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、>、<”等。

表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。

如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。

值得注意的是：

定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。

1、例题与方法指导

例1.设ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5。

解5△6-5×4-6×3=20-18=2

6△5=6×4-5×3=24-15=9

说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

例2.对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）。

思路导航：

先做括号内的运算。

解（5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95

5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79

说明本题定义的运算不满足结合律。

这是与常规的运算有区别的。

例3.已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b表示a×（a+1）×…（a+b-1）.

计算（6△3）-（5△2）。

思路导航：

原式=6×7--5×6

=336-30

规定：

a△=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。

例4.求1△100的值。

已知x△10=75,求x.

思路导航：

（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050

（2）原式即x+（x+1）+（x+2）+…+（X+9）=75,

所以

10X+（1+2+3+…+9）=75

10x+45=75

10x=30

x=3

2、巩固训练

1.若对所有b,a△b=a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=（a+b）÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）。

2.如果规定：

③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

3、能力提升

（4）鸡兔同笼

鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。

这种类型题是古代趣题，在现实生活和生产中应用广泛，有着十分重要的使用价值。

鸡兔问题，也叫简换问题。

解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。

计算时的主要数量关系是：

1.如果假定全部是兔，则

鸡的只数=（每只兔的足数×总头数－总足数）÷（每一只鸡与兔足数的差）

简单理解就是：

鸡的只数=（4×总头数－总足数）÷2

兔的只数=总头数－鸡的只数

2.如果假定全部是鸡，则

兔的只数=（总足数－每只鸡的足数×总头数）÷（每一只鸡与兔足数的差）

简单写就是

兔的只数=（总足数－2×总头数）÷2

鸡的只数=总头数－兔的只数

1、例题与方法指导

例1.鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只

思路导航：

鸡有2只脚，兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚，那么兔子和鸡一样，都是2只脚。

鸡和兔的总脚数就是100×2=200（只），但比实际320只脚要少320－200=120（只）