复数的运算说课稿文档格式.doc

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3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神。

（四）教学重点：

复数的概念，复数的代数运算是重点

（五）教学难点：

复数代数形式的乘、除法法则。

教学方法：

（六）启发式教学法关键：

掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。

二、说教法：

1、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。

2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。

三、说学法：

1、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。

通过对数系学习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。

2、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。

3、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。

培养学生归纳问题、转化问题的努力。

四、说课过程：

（一）、复习提问：

1、1.虚数单位:

（1）它的平方等于-1，即　;

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2、与－1的关系:

就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－

3、复数的概念：

形如a+bi 

（a，b∈R）叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部。

4、复数的分类：

复数a+bi 

（a，b∈R），当b=0时，就是实数;

当b≠0时，叫做虚数;

当a=0，b≠0时，叫做纯虚数;

5、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i相等的充要条件是a1=a2，b1=b2。

6、复数的分类：

虚数不能比较大小，只有等与不等。

即使是也没有大小。

7、复数的模：

若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模，；

积或商的模可利用模的性质

（1），

（2）

8、复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数复平面内的点

（二）类比代数式，引入复数运算：

一、复数代数形式的加减运算

类似根据代数式的加减法，

则复数z1与z2的和：

z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i.

复数z1与z2的差：

z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i.

二、复数的加法运算满足交换律和结合律

1、复数的加法运算满足交换律:

z1+z2=z2+z1.

证明：

设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R）.

∵z1+z2=（a1+b1i）+（a2+b2i）=（a1+a2）+（b1+b2）i.

z2+z1=（a2+b2i）+（a1+b1i）=（a2+a1）+（b2+b1）i.

又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.

∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.

2、复数的加法运算满足结合律:

（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）

设z1=a1+=a2+b2i，z3=a3+b3i（a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R）.

∵（z1+z2）+z3=［（a1+b1i）+（a2+b2i）］+（a3+b3i）

=［（a1+a2）+（b1+b2）i］+（a3+b3）i

=［（a1+a2）+a3］+［（b1+b2）+b3］i

=（a1+a2+a3）+（b1+b2+b3）i.

z1+（z2+z3）=（a1+b1i）+［（a2+b2i）+（a3+b3i）］

=（a1+b1i）+［（a2+a3）+（b2+b3）i］

=［a1+（a2+a3）］+［b1+（b2+b3）］i

=（a1+a2+a3）+（b1+b2+b3）i

∵（a1+a2）+a3=a1+（a2+a3），（b1+b2）+b3=b1+（b2+b3）.

∴（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）.即复数的加法运算满足结合律

三、复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加（减）法（a+bi）±

（c+di）=（a±

c）+（b±

d）i.

与多项式加（减）法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）.

１．复平面内的点平面向量

2.复数平面向量

3.复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=（a，b），=（c，d）以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，

∴=+=（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）＝（a+c）+（b+d）i

4.复数减法的几何意义：

复数减法是加法的逆运算，设z=（a－c）+（b－d）i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数z－z1的差（a－c）+（b－d）i对应由于，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

讲解范例：

例1计算：

（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）

解：

（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）＝（5-2-3）+（-6-1-4）i=－11i

例2计算：

（1－2i）+（－2+3i）+（3－4i）+（－4+5i）+…+（－2002+2003i）+（2003－2004i）

解法一：

原式=（1－2+3－4+…－2002+2003）+（－2+3－4+5+…+2003－2004i）=（2003－1001）+（1001－2004）i=1002－1003i.

解法二：

∵（1－2i）+（－2+3i）=－1+i，

（3－4i）+（－4+5i）=－1+i，

……

（2001－2002i）+（－2002+2003）i=－1+i.

相加得（共有1001个式子）：

原式=1001（－1+i）+（2003－2004i）

=（2003－1001）+（1001－2004）i=1002－1003i

例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？

z=z2－z1=（1+2i）－（2+i）=－1+i，

∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，

∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.

点评：

任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.　即所表示的复数是zB－zA.　，而所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关

5、复数的乘除法运算：

复数的乘法：

z1z2=（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i.

复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:

zmzn=zm+n,（zm）n=zmn,（z1z2）n=z1nz2n.

6、共轭复数：

若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；

特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；

，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。

，

7、复数的除法：

（a+bi）（c+di）==，分母实数化是常规方法

复数的运算，典型例题精析：

例4．

（1）复数等于（）

－i+iC.－1+iD.－1－i

解析:

复数=，选C．

（2）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝．

已知；

（3）设复数z满足关系，求z；

设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得

由复数相等可得：

，解得，所以

设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。

（4）若，解方程

设x=a+bi（a,b∈R）代入条件得:

由复数相等的定义可得：

∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。

例4：

（1）复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）

A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线

令z=x+yi（x，y∈R），则x2+（y+1）2－[x2+（y－1）2]=1，∴y=1/4。

故选A。

8.复数的代数式运算技巧：

（1）i的周期性：

i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1

（2）①②③④

（3）“1”的立方根的性质：

①②③④⑤

扩充知识：

9、特别地，zB－zA.，为两点间的距离。

z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；

，z对应的点的轨迹是一个圆；

，z对应的点的轨迹是一个椭圆；

，z对应的点的轨迹是双曲线。

10、显然有公式：

11、实系数一元二次方程的根问题：

（1）当时，方程有两个实根。

（2）当时，方程有两个共轭虚根，其中。

此时有且。

注意两种题型：

虚系数一元二次方程有实根问题：

不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。

但仍然适用韦达定理。

已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：

（1）当时，

（2）当时，

①即，则

②即，则

例6

（1）计算：

答案：

（2）设复数z满足：

，求|z|的最大值与最小值；

|z|的最大值为，最小值为；

（3）若，解方程

（4）设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_______。

∵|u|=||•|1+i|=|z|，∴≤|u|≤2，故面积S=。

【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。

已知z=1+i，a，b为实数，

（1）若ω=z2+3－4,求|ω|;

（2）若，求a，b的值。

（1）ω=（1+i）2+3（1－i）－4=―1―i，∴。

（2）由条件，∴，∴。

【思维点拨】利用复数的充要条件解题。

课后思考题：

例5：

设且是纯虚数，求的最大值。

－1

P

O

1/2

x

y

令z=x+yi（x，y∈R），则，∵是纯虚数，

∴，即，由数形结合可知本题是求圆上的点到A（0,－1）的最大距离。

∴max=|PA|=。

课后题：

书上与作业本课后习题

（三）、归纳小结：

1、复数加减乘除的运算公式与龚二附属定义与应用

2、复数加减乘除的几何意义

3、复数的代数式运算技巧

4、复数加减乘除的拓展应用