高考数学难点重点突破精讲精练专题四数列中的应用问题学生版doc.docx
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高考数学难点重点突破精讲精练专题四数列中的应用问题学生版doc
专题04数列中的应用问题
【名师导航】
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.
数列在实际问题中也有广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题，其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体和有着高等数学背景的数列解答题是未来高考的一个新的亮点。
【考纲知识梳理】
数列的综合应用
1、解答数列应用题的步骤：
（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；
（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；
（3）求解——求出该问题的数学解；
（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。
2、数列应用题常见模型
（1）等差模型：
如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；
（2）等比数列：
如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。
注：
银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：
单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和
，属于等差模型；
复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和
，属于等比模型。
（3）递推数列模型：
如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是
与
的递推关系，还是前n项和
与
之间的递推关系。
【热点难点精析】
以等差数列为模型的实际应用
※相关链接※
1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。
然后用等差数列知识求解。
这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。
2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
※例题解析※
〖例〗气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为
使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止,一共使用了多少天?
以等比数列为模型的实际应用
※相关链接※
1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。
2、与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。
这都与等比数列有关。
※例题解析※
〖例〗我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为
，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0）,因此，历年所交纳的储备金数目
是一个公差为d的等差数列。
与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。
这就是说，如果固定利率为r（r>0）,那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为
，第二年所交纳的储备金就变为
以
表示到第n年所累计的储备金总额。
（1）写出
与
（n≥2）的递推关系式；
（2）求证：
，其中
是一个等比数列，
是一个等差数列。
2、正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示。
现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段。
则这10条线段的长度的平方和是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、如图，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：
1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S19等于（ ）
A.129 B.172 C.228 D.283
4、用砖砌墙,第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块……依次类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖用完,那么共用去砖的块数为
A.1018 B.10 C.1022 D.1024
5、（理）用n个不同的实数a1,a2,a3,…,an,得到n!
个不同的排列，每个排列为一行，可写出一个n!
行的数阵.第i行为ai1,ai2,ai3,…,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+（-1）nnain,i=1,2,3,…，n!
.例如：
用1，2，3可得数阵（如下图）.由于每行都是1，2，3的一个排列，其中1作排头的有A22=2个，于是每一列中1，2，3都分别出现2次，所以此数阵每一列各数之和都是（1+2+3）×2=12,所以b1+b2+b3+…+b6=-12+2×12-3×12=-24.那么用1,2,3,4,5,形成的数阵中b1+b2+b3+…+b1
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
A.-3600 B.1800 C.-1080 D.-7、弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能得少，那么剩下的弹子有（ ）
A.3 B.4 C.8 D.9
7、
一种跳格游戏，某人从格外只能进入第一格，在格中每次可向前跳1格或2格
，那么从格外跳到第8格的跳法种数为
A.21 B.26 C.17 D.13
5、一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64MB（1MB=210KB）内存需经过的时间为（ ）
8、某人从起，每年1月1日到银行存人a元一年定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到1月1日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）
A.a（1+p）7 B.a（1+p）8
C.
[（1+p）7-（1+p）] D.
[（1+p）8-（1+p）]
9、将n2个正整数1,2,3,…,n2填入到n×n个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.下图就是一个3阶幻方.定义f（n）为n阶幻方对角线上数的和.例如f（3）=15,那么f（4）是（ ）
8
1
6
3
5
7
4
9
2
A.32 B.33 C.34 D.35
10、某班试用电子投票系统选举干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1,2,…,k.规定：
同意按“1”，不合意（含弃权）按“0”.令
aij=
其中i=1,2,…，k,且j=1,2,…,k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为…（ ）
A.a11+a12+…a1k+a21+a22+…+a2k B.a11+a21+…+ak1+a22+…+ak2
C.a11a12+a21a22+…+ak1ak2 D.a11a21+a12a22+…+a1ka2k
11、对于一个有限数列P=（P1,P2,…,Pn），P的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为
（S1+S2+…+Sn），其中Sk=P1+P2+…+Pk（1≤k≤n），若一个99项的数列（P1,P2,…,P99）
的蔡查罗和为1000，那么100项数列（1,P1,P2,…,P99）的蔡查罗和为
A.991 B.992 C.993 D.999
12、用n个不同的实数a1,a2
…,an可得到n!
个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!
行的数阵.对第i行ai1,ai2,…,ain，记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+（-1）nnam，i=1,2,3,…,n!
.例如：
用1，2，3可得数阵如下图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=-12+2×12-3×12=-24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b1（ ）
A.-3600 B.1800 C.-1080 D.-74、某医院购买一台医疗设备价格为ａ万元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，如果按月利率８‰，每月复利一次,若6个月付清，共付ｘ万元，若12个月付清,共付ｙ万元，则ｘ、ｙ满足（ ）
A.ｘ＝ｙ B.ｘ＜ｙ C.ｘ＞ｙ D.ｘ≥ｙ
15、对于一个有限数列P=（P1,P2,…,Pn），P的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为
（S1+S2+…+Sn），其中Sk=P1+P2+…+Pk（1≤k≤n），若一个99项的数列（P1,P2,…,P99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（1,P1,P2,…,P99）的蔡查罗和为
A.991 B.992
C.993 D.999
16、某林厂年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量xm3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
17、一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f（n）和f（n+1），则f（n）与f（n+1）的关系为（ ）
A.f（n+1）-f（n）=n+1 B.f（n+1）-f（n）=n C.f（n+1）=f（n）+2n D.f（n+1）-f（n）=1
18、如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：
正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到127个正方形.若最后得到的正方形的边长为1，则初始正方形的边长为_____________.
19、图
（1）
（2）（3）（4）分别包含1个、5个、13个、25个第十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”,则f（
n）=___________.
知数列{an}（n=1,…,2010）,圆C1:
x2+y2-4x-4y=0和圆C2:
x2+y2-2anx-2a2011-ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则数列{an}的所有项的和为________________
21、如图,把正三角形ABC分成若干个全等的小正三角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数,使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点A为第一行,…BC为第n行,记点A上的数为a1,1,…第i行中第j个数为ai,j（1≤j≤i）.若a1,1=1,a2,
a2,
.则下列结论中正确的是________（把正确结论的序号都填上）.
①a1,1a5,3=a3,1a3,3;
②a3,1a4,2a5,3…an,n-2=a3,3a4,3a5,3…an,3;
③a2009,1+a2009,2+a2009,3+…+a2009,2009=
④ai,i+ai+1,i+ai+2,i+…+an,i=2n-i（an,i+an,i+1+an,i+2+…+an,n）
22、对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数，计算f（-0.3）+f
（1）+f（1.3）=__________________；若an=f（
）,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和，则S4n=________________.
【答案】1 2n2-n f（-0.3）+f
（1）+f（1.3）=-1+1+1=1.
S4n=f（
）+f（
）+f（
）+…+f（
）+
=4［1+2+…+（n-1）］+n=2n2-n.
23、在杨辉三角（规定
=1）的斜线中,
每条斜线上的数字之和构造数列
…,这个数列前10项中,共有质数______________个.
24、某种细胞开始时有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，两小时后分裂成6个并死去1个，三个小时后分裂成10个并死去1个,……按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数是_______________.
25、（-长沙市5月高三模拟考试（数学理））某县为了切实贯彻党中央国务院关于建设社会主义新农村的政策,依据该县农村的实际制订了如下新农村医疗保险（简称“医保”）实验方案：
末通过农民个人投保和政府财政投入共注资1000万元为农村“医保”基金，预计此后每年用于农民“医保”报销的费用将用去上一年末基金的5%，并且每年末将新注入的基金均为m万元.
（Ⅰ）设末的基金为a1,以后各年的基金依次为:
a2,a3,a4,…,an（单位:
万元）,试写出a1,a2,a3和an关于m,n（n∈N*）的表达式;
（Ⅱ该县受“医保”要求和本县人口、财政条件的限制，该县的医保基金每年年末始终呈现递增趋势，同时不能超过1500万元，试问该县每年新增“医保”基金m应控制在什么范围内？
）
26、【15分】已知“接龙等差”数列a1,a2,…,a10,a11,…,a21,…,a30,a31,…的
构成如下:
a1=1,a1,a2,…,a10是公差为1的等差数列;a10,a11,…,a差为d的等差数列；a21,…,a30是公差为d2的等差数列；…；a10n,a10n+1,a10n+2,…,a10n+10是公差为dn的等差数列（n∈N*）,其中d≠0.
（1）若a0,求d;
（2）设bn=a10n,求bn;
（3）当d＞-1时,证明对所有奇数n总有bn＞5.
27、（）在数列{an}中,已知an+1an=2an-an+1,且a1=2（n∈N*）,
（1）求证:
数列{
-1}是等比数列;
（2）设bn=an2-an,且Sn为{bn}的前n项和,试证:
2≤Sn＜3.
28、在圆x2+y2=5x内,过点（
）有n（n∈N*）条弦,它们的长构成等差数列,a1为过该点的最短的弦长,an为过该点的最长的弦长,若公差d∈（
）,求n的值.
29、在直角坐标平面上有一点列Pn（xn,yn）（n∈N*）,点Pn位于直线y=3x+
上,且Pn的横坐标构成以
为首项,-1为公差的等差数列{xn}.
（1）求点Pn的坐标;
（2）设抛物线列C1,C2,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第n条抛物线Cn的顶点为Pn,且经过点Dn（0,n2+1）（n∈N*）.记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn,求证:
+
+…+
＜
;
（3）设S={x|x=2xn,n∈N*},T={y|y=4yn,n∈N*},等差数列{an}的任意一项an∈S∩T,其中a1是S∩T中的最大数,且-256＜a15,求数列{an}的通项公式.
30、【18分】冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮。
为研究雪花的形状，19，瑞典数学家科克（KochHeigeVon）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线。
它的形成过程如下：
（ⅰ）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ⅱ）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（ⅲ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线。
将图①、图②、图③……中的图形依次记作M1、M2、…、Mn…设M1的边长为1。
求：
（Ⅰ）写出Mn的边数
、边长bn、周长Ln；
（Ⅱ）求Mn的面积Sn；
（Ⅲ）观察上述求解的结果，数列
有怎样的特性？
它们的极限是否存在？
若存在，求出极限。
并归纳雪花曲线的特性。
31、【13分】某县为了切实贯彻党中央国务院关于建设社会主义新农村的政策,依据该县农村的实际制订了如下新农村医疗保险（简称“医保”）实验方案：
末通过农民个人投保和政府财政投入共注资1000万元为农村“医保”基金，预计此后每年用于农民“医保”报销的费用将用去上一年末基金的5%，并且每年末将新注入的基金均为m万元.
（Ⅰ）设末的基金为a1,以后各年的基金依次为:
a2,a3,a4,…,an（单位:
万元）,试写出a1,a2,a3和an关于m,n（n∈N*）的表达式;
（Ⅱ该县受“医保”要求和本县人口、财政条件的限制，该县的医保基金每年年末始终呈现递增趋势，同时不能超过1500万元，试问该县每年新增“医保”基金m应控制在什么范围内？
）
32、【13分】某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50％，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩.
（1）求该林场第6年植树的面积；
（2）设前n（1≤n≤10且n∈N）年林场植树的总面积为
亩，求
的表达式.
33、【12分】甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为
（n2-n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多（
）n-1a万元.
（1）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？
如果有这种情况，将会出现在第几年?
34、【12分】某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.
（1）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）？
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以10万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算，请说明理由.
35、【14分】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件：
①0，1是f（x）=0的两个零点；②f（x）的最小值为
.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=λf（n）（λ≠0,n∈N*）,求数列{an}的前n项和Sn；
（3）在
（2）的条件下，当λ=
时,若5f（an）是bn与an的等差中项，试问数列{bn}中第几项的值最小？
并求出这个最小值.
36、某城市末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量均为x万吨.
（I）记末的粮食储备量为a1万吨，以后各年末的粮食储备量依次为a2万吨，a3万吨，….写出a1，a2，a3和an（n∈N）的表达式；
（II）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150万吨，那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨？
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