高中数学基础知识梳理(共十章)(精编版)文档格式.doc
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①AA，Ø
A，若A≠Ø
，则Ø
A；
②若AÍ
B，BÍ
C，则AC；
③若AB，BÍ
④若AÍ
B，BC，则AC；
④若AB，BC，则AC.
⑶子集的个数：
若集合A中有n个元素，则①集合A的子集个数是2n；
②集合A的真子集
个数是2n−1；
③集合A的非空真子集个数是2n−2.
⑷集合相等的意义：
若集合A与B含有相同的元素，称它们相等，记作A=B；
集合相等的充要条件：
A=BÛ
AÍ
B且BÍ
A.
Ⅱ交集
⑴交集的意义：
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A、B的交集，
A
B
记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}
请根据右面的韦恩图打出A∩B的阴影.
⑵交集的性质：
①A∩A=；
②A∩Ø
=；
③A∩B=B∩A；
④若A∩BÍ
A，则A∩BÍ
⑤若A∩BÍ
A，则AÍ
B.
Ⅲ并集
⑴并集的意义：
由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并
集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}
请根据右面的韦恩图打出A∪B的阴影.
⑵并集的性质：
①A∪A=；
②A∪Ø
③A∪B=B∪A；
④A∪BÊ
A；
⑤A∪BÊ
⑥A∪B=AÛ
BÍ
Ⅳ补集
⑴全集、补集的意义：
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合叫做全集，全
集通常用U表示；
设S是一个集合,A是S的一个子集（即AÍ
S）,由S中所有不属于A的元素组
成的集合,叫做集合A的补集（或余集）,记作CSA,即CSA={x|x∈S且xÏ
A}.
S
请根据右面的韦恩图打出CSA的阴影.
⑵补集的性质:
①A∪CUA=；
②A∩CUA=；
③CUU=；
④CUØ
⑤CU（CUA）=；
⑥CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）；
⑦CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）.
⒐集合的元素的个数：
⑴“集合A的元素的个数”可用符号记作；
⑵对任意两个有限集合A，B，有
card（A∪B）=card（A）+card（B）−card（A∩B）.
二、简易逻辑
⒈命题概念：
可以判断真假的语句叫做命题.
⒉逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
⒊简单命题：
不含逻辑联结词的命题叫做简单命题.
⒋复合命题：
由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
⒌真值表：
表示命题的真假的表叫真值表.
⑴非p形式复合命题的真值表（填“真”或“假”）
p
非p
真
假
⑵p且q形式复合命题的真值表（填“真”或“假”）
p
q
P且q
对p且q形式的复合命题，只要p和q中有一个是假即为.
真
假
⑶p或q形式复合命题的真值表（填“真”或“假”）
P或q
对p或q形式的复合命题，只要p和q中有一个是真即为.
⒍四种命题：
⑴互逆命题及逆命题的概念：
在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一
个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；
如果把第一
个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.
⑵互否命题及否命题的概念：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，那么这样的两个命题叫做互否命题；
把其中一个命题叫做原命
题，另一个就叫做原命题的否命题.
⑶互为逆否命题及逆否命题的概念：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定
和条件的否定，那么这样的两个命题叫做互为逆否命题；
把其中一个命题叫做
原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题.
⑷四种命题的一般形式：
（用符号“┐”表示否定）
①原命题：
若p则q；
②逆命题：
；
③否命题：
；
④逆否命题：
.
⑸四种命题之间的关系：
在下列双箭头符号旁填上相应的文字）
原命题
逆命题
逆否命题
否命题
⑹一个命题的真假与其他三个命题的真假关系：
①原命题为真，它的逆命题；
②原命题为真，它的否命题；
③原命题为真，它的逆否命题.
⑺用反证法证明命题的一般步骤：
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
⒎充分条件和必要条件：
⑴充分条件和必要条件的概念：
若p则q，即pÞ
q，我们说，p是q的条件，q是p的条件.
⑵充要条件的概念：
若p则q，且若q则p，即pÛ
q，我们说p是q的条件，
q是p的条件.
第二章函数基础知识梳理
一、映射：
⒈映射的定义：
设A、B是两个集合，按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：
A→B.
⒉象与原象的概念：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B.如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.
⒊一一映射的定义：
设A、B是两个集合，f：
A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.
二、函数：
⒈函数的传统定义：
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
⒉函数的近代定义：
如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：
A→B就叫做A到B的函数，记作y=f（x），其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f（x）的定义域，象集合C（CÍ
B）叫做函数y=f（x）的值域.
函数的三要素是：
⒊函数的表示法：
解析法、列表法、图象法.
⒋关于区间的概念：
⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为；
⑵满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为；
⑶满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为
或.
以上的实数a与b都叫做相应区间的端点.
⒌函数解析式的求法：
⑴换元法；
⑵待定系数法.
⒍求函数定义域的主要依据：
⑴分式中的分母不为0；
⑵偶次根式的被开方数不小于零；
⑶对数的真数大于零；
⑷零指数幂的底数不等于零；
⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
⑹对于应用问题，要注意自变量所受实际意义的限制.
⒎求函数值域的方法有：
⑴配方法；
⑵换元法；
⑶判别式法；
⑷单调性法；
⑸基本不等式法；
⑹数形结合法；
⑺反函数法.
三、函数的单调性：
⒈函数单调性的定义：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＜f（x2）,那么就说f（x）在这个区间上是增函数.这个区间叫增区间.
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2）,
那么就说f（x）在这个区间上是减函数.这个区间叫减区间.
注意：
函数的单调区间（增区间或减区间）是其定义域的子集；
函数的定义域不一定是函数的单调
区间.
⒉函数单调性的判别方法：
⑴图象法.若函数f（x）的图象在区间D上从左至右是上升（下降）的,则f（x）在区间D上是增（减）函
数；
⑵定义法.其一般步骤是：
①取值.在所给区间上任取x1＜x2；
②作差f（x1）−f（x2）；
③变形.分解因式或配方等；
④定号.看f（x1）−f（x2）的符号；
⑤下结论.
⑶利用复合函数的单调性：
设y=f（u）,u=g（x）,已知g（x）在[a,b]上单调递增（或递减）,y=f（u）在[g（a）,g（b）]（或[g（b）,g（a）]）上单
调,那么复合函数y=f[g（x）]在[a,b]上一定单调,并且有如下结论:
当f（u）与g（x）的单调性相同时,f[g（x）]在[a,b]上为；
增（增）=增；
减（减）=增.
当f（u）与g（x）的单调性相反时,f[g（x）]在[a,b]上为.增（减）=减；
减（增）=减.
⑷利用函数单调性的判定定理：
用定义可直接证出.
①函数f（x）与f（x）+c（c为常数）具有相同的单调性；
②当c＞0时,函数f（x）与cf（x）具有相同的单调性；
当c＜0时,函数f（x）与cf（x）具有相反的单调
性；
③若f（x）≠0,则函数f（x）与具有相反的单调性；
④若f（x）≥0,则函数f（x）与具有相同的单调性；
⑤若函数f（x）,g（x）都是增函数,则f（x）+g（x）也是增函数；
（增+增=增）
⑥若函数f（x）,g（x）都是减函数,则f（x）+g（x）也是减函数；
（减+减=减）
⑦若函数f（x）是增函数,g（x）是减函数,则f（x）−g（x）也是增函数；
（增−减=增）
⑧若函数f（x）是减函数,g（x）是增函数,则f（x）−g（x）也是减函数；
（减−增=减）
另外还有以下几个重要结论：
（用定义可直接证出）
⑼*两个恒正的增函数的积还是增函数；
⑽*两个恒正的减函数的积还是减函数；
⑾*两个恒负的增函数的积是减函数；
⑿*两个恒负的减函数的积是增函数；
⒊一些特殊函数的单调性：
⑴一次函数y=kx+b,当k＞0时,在R上是；
当k＜0时,在R上是.
⑵二次函数y=ax2+bx+c,
当a＞0时,在（−∞,]上为,在[,+∞）上为；
当a＜0时,在（−∞,]上为,在[,+∞）上为.
⑶反比例函数y=,当k＞0时,在（−∞,0）,（0,+∞）上都是；
当k＜0时,在（−∞,0）,（0,+∞）上都是.
⑷指数函数y=ax,当a＞1时,在R上是,当0＜a＜1时,在R上是.
⑸对数函数y=logax,当a＞1时,在（0,+∞）是,当0＜a＜1时,在（0,+∞）是.
⑹*记住重要函数y=x+的单调性,并会证明：
当x＞0时，函数在（0,）上单调递减,在[,+∞]上单调递增；
当x＜0时，函数在上单调递减,在上单调递增.
四、函数的奇偶性：
⒈函数奇偶性的定义：
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（−x）=f（x）,那么函数f（x）叫做偶函数.
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（−x）=−f（x）,那么函数f（x）叫做奇函数.
⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于对称.
⑵函数的奇偶性可分为四类：
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数（此时我们说该函数
具有奇偶性）、既不是奇函数又不是偶函数（此时我们说该函数不具有奇偶性）.
注意：
设函数f（x）的定义域关于原点对称,那么函数f（x）既是奇函数又是偶函数的充要条
件是f（x）恒等于0.
例：
f（x）=0,x∈（−1,1）；
f（x）=0,x∈[−2,2]；
f（x）=等等.
⒉具有奇偶性函数的图象特征：
⑴奇函数Û
图象关于对称；
⑵偶函数Û
图象关于对称.
⒊判断函数奇偶性的方法：
⑴图象法；
①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性；
若对称,再进行第二步；
②判断f（−x）与f（x）的关系,并下结论.
若f（−x）=−f（x）且f（x）不恒等于0,则此函数为奇函数；
若f（−x）=f（x）且f（x）不恒等于0,则此函数为偶函数；
若f（−x）=−f（x）且f（−x）=f（x）,则此函数为既是奇函数又是偶函数；
若f（−x）≠−f（x）且f（−x）≠f（x）,则此函数为既不是奇函数又不是偶函数.
⒋函数奇偶性的性质：
⑴两个奇函数的和（或差）仍是奇函数；
即：
奇±
奇=奇.
⑵两个偶函数的和（或差）仍是偶函数；
偶±
偶=偶.
⑶奇偶性相同的两个函数的积（或商,分母不为0）为；
即：
奇×
奇=偶；
偶×
偶-偶；
奇/奇=偶；
偶/偶=偶.
⑷奇偶性相反的两个函数的积（或商,分母不为0）为；
即奇×
偶=奇；
奇=奇；
奇/偶=奇；
偶/奇=奇.
⑸奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；
偶函数在关于原点对称的区间上具有
相反的单调性；
⑹定义域关于原点对称的函数f（x）可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和,即
f（x）=g（x）+h（x）,其中g（x）=,h（x）=.
⑺若f（x）是奇函数，且f（0）有意义，则必有f（0）=.
f（0）=0是f（x）是奇函数的条件.
五、反函数：
⒈定义：
函数y=f（x）（x∈A）,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系,用y的式子表示x,得
到x=φ（y）.如果对于C中的任何一个值,通过x=φ（y）,x在A中都有唯一的值和它对应那么,
x=φ（y）就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的函数x=φ（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）
的反函数,记作x=f−1（y）,习惯上一般用x表示自变量,用y表示函数,所以y=f（x）的反函数
通常写为y=f−1（x）.由反函数的定义知
⑴函数y=f（x）与它的反函数y=f−1（x）互为反函数；
⑵f[f−1（x）]=x；
⑶f−1[f（x）]=x.
⒉函数x=f−1（y）（y∈C,x∈A）、函数y=f−1（x）（x∈C,y∈A）与函数y=f（x）（x∈A,y∈C）的区别与联系：
⑴函数x=f−1（y）与函数y=f−1（x）都是y=f（x）的反函数；
⑵在y=f（x）与x=f−1（y）中,x,y所处的地位不同：
在y=f（x）中,x是自变量,y是x的函数；
在x=f−1（y）中,y是自变量,x是y的函数.
在同一坐标系中y=f（x）与x=f−1（y）的图象；
⑶在y=f（x）与y=f−1（x）中,x,y所处的地位相同,但取值的范围不同：
在y=f（x）中,x∈A,y∈C,而在
y=f−1（x）中,x∈C,y∈A.在同一坐标系中y=f（x）与y=f−1（x）的图象关于直线对称；
⒊求函数y=f（x）的反函数的步骤：
⑴求原函数的值域,即反函数y=f−1（x）的定义域；
⑵将y=f（x）看成方程,在其定义域内解出x=f−1（y）；
⑶将x,y互换得y=f（x）,并注明其定义域.
注意：
求分段函数的反函数,先分别在各段中求出其反函数,然后用大刮号联立.
⒋关于反函数的有关结论：
⑴函数y=f（x）的定义域是它的反函数y=f−1（x）的,函数y=f（x）的值域是它的
反函数y=f−1（x）的；
⑵定义域上的单调函数必有反函数；
⑶互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
⑷若奇函数有反函数,则其反函数也是奇函数；
（注意：
并不是每个奇函数都有反函数,例如：
y=sinx（x∈R）.
⑸定义域为非零的偶函数不存在反函数；
函数f（x）=1,（x∈{0}）是不是偶函数（为什么?
）它有没有反函数?
若有,则它的反函数
是.反函数的奇偶性是什么?
答：
.
⑹f[f−1（x）]=,f[f−1（y）]=；
⑺互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.
六、函数图象的变换：
⒈平移变换：
⑴y=f（x）的图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位得到y=f（x−a）的图象；
⑵y=f（x）的图象沿x轴向左平移a（a＞0）个单位得到y=f（x+a）的图象；
⑶y=f（x）的图象沿y轴向上平移a（a＞0）个单位得到y=f（x）+a的图象；
⑷y=f（x）的图象沿y轴向下平移a（a＞0）个单位得到y=f（x）−a的图象.
⒉伸缩变换：
⑴把y=f（x）的图象上所有的点的横坐标变为原来的（a>
0）倍,纵坐标不变,可得到y=f（ax）的图象；
⑵把y=f（x）的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A（A>
0）倍,横坐标不变,可得到y=Af（x）的
图象；
⒊对称变换：
（一）两个函数图象的对称关系：
⑴y=f（x）与y=−f（x）的图象关于x轴对称；
⑵y=f（x）
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