普通高等学校招生全国统一考试全国卷理科数学试题及解答WORD版Word文档格式.doc

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一、选择题：

（1）设集合

（A）（B）（C）（D）

（2）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称,则

（A）（B）

（C）（D）

（3）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则

（4）如果复数是实数，则实数（）

A．1B．-1C．D．

（5）函数的单调增区间为（）

A．B．

C．D．

（6）的内角的对边分别为若成等比数列，且，则（）

A．B．C．D．

（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）

（8）抛物线上的点到直线距离的最小值是（）

（9）设平面向量的和，如果平面向量满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（）

A．B．

（10）设是公差为正数的等差数列，若，则（）

A．120B．105C．90D．75

（11）用长度分别为（单位：

cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）

（12）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（）

A．50种B．49种C．48种D．47种

第Ⅱ卷

二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

13．已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为____________

14设,式中x,y满足下列条件，则z的最大值为___________

15．安排7位工作人员5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人不安排在5月1日和5月2日，不同的安排方法数共有____________

16．设函数，若是奇函数，则=__________

三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）

（17）三角形ABC的三个内角A、B、C，求当A满足何值时取得最大值，并求出这个最大值

（18）（本题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。

每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。

若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。

设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

（19）（本题满分12分）

如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。

点A、B在上，C在上，AM=MB=MN。

（Ⅰ）证明ACNB

（Ⅱ）若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

（20）（12分）在平面直角坐标系xoy中，有一个点和为焦点，离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分曲线为C,动点P在C上，C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

（Ⅱ）的最小值

（21）（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）设，讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

（22）（本小题满分12分）

设数列的前项和

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设证明：

理科数学参考答案

一．选择题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1.C2.C3.B4.D5.A6.D

7.C8.B9.C10.B11.B12.D

二．填空题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．15514.7015.10016.①③④

三．解答题

（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

满分12分。

解：

（I）

∵x=是函数y=f（x）的图像的对称轴，

∴sin（2×

+）=±

1，

∴+=kπ+，k∈Z.

∵-π<

<

0,

∴=-.

（II）由（I）知=-，因此

y=sin（2x-）.

由题意得

2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.

所以函数y=sin（2x-）的单调增区间为

[kπ+,kπ+],k∈Z.

（III）由y=sin（2x-）知

x

π

y

-

-1

1

故函数y=f（x）在区间[0，π]上的图像是

（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。

方法一：

（I）证明：

∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：

CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥PCD.

（II）解：

过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形.

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

，

在Rt△PEB中BE=，PB=，

cos∠PBE=

∴AC与PB所成的角为arccos.

（III）解：

作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角。

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·

MC=.

∴AN=.

∵AB=2，

∴cos∠ANB=

故所求的二面角为arccos（-）.

方法二：

因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A（0,0,0）,B（0,2,0）,C（1,1,0）,D（1,0,0）,P（0,0,1）,M（0,1,）.

因=（0,0,1）,=（0,1,0）,故·

=0,所以AP⊥DC.

又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

因=（1,1,0）,=（0,2,-1）,

故||=，||=，·

=2，所以

cos<

·

>

==

由此得AC与PB所成的角为arccos

在MC上取一点N（x,y,z）,则存在λ∈R，使

=λ，

=（1-x,1-y,-z）,=（1,0,-）,

∴x=1-λ,y=1,z=λ.

要使AN⊥MC只需·

=0,即

x-z=0,解得λ=.

可知当λ=时,N点坐标为（,1,）,能使·

=0.

此时,=（,1,）,=（,-1,）,有·

由·

=0,·

=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.

∵||=,||=,·

=-.

∴cos<

>

=

（19）本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。

（I）∵f（x）+2x>

0的解集为（1，3），

∴f（x）+2x=a（x-1）（x-3）,且a<

0.因而

f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a.①

由方程f（x）+6a=0得

ax2-（2+4a）x+9a=0.②

因为方程②有两个相等的根，所以△=[-（2+4a）]2-4a·

9a=0,

即5a2-4a-1=0.

解得a=1或a=-.

由于a<

0，舍去a=1.将a=-代入①得f（x）的解析式

f（x）=-x2-x-.

（II）由

f（x）=ax2-2（1+2a）x+3a

=a（x-）2-

及a<

0，可得f（x）的最大值为-.

由

解得a<

-2-或-2+<

a<

0.

故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是

（-∞，-2-）∪（-2+,0）.

（20）本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。

（I）解：

因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为（1-0.5）3=,所以甲坑不需要补种的概率为

1-==0.875.

3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为

×

（）2=0.041.

（III）解法一：

因为3个坑都不需要补种的概率为（）3,

所以有坑需要补种的概率为

1-（）3=0.330.

解法二：

3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为

（）2=0.287,

恰有2个坑需要补种的概率为

（）2×

=0.041.

3个坑都需要补种的概率为

（）3×

（）0=0.002.

0.287+0.041+0.002=0.330.

（21）本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力.满分12分。

（I）由210S30-（210+1）S20+S10=0得

210（S30-S20）=S20-S10，

即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20,

可得210·

q10（a11+a12+…+a20）=a11+a12+…+a20.

因为an>

0，所以

210q10=1,

解得q=,因而

an=a1qn-1=,n=1,2,….

（II）因为{an}是首项a1=、公比q=的等比数列，故

Sn==1-，nSn=n-.

则数列{nSn}的前n项和

Tn=（1+2+…+n）-（++…+），

（1+2+…+n）-（++…+）.

前两式相减，得

（1+2+…+n）-（++…+）+

=-+,

即Tn=

（22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分.

设椭圆方程为=1（a>

b>

0）,F（c,0）.

则直线AB的方程为y=x-c,

代入=1，化简得

（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.

令A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则x1+x2=,x1x2=.

由=（x1+x2,y1+y2）,a=（3,-1）,与a共线，得

3（y1+y2）+（x1+x2）=0.

又y1=x1-c,y2=x2-c,

∴3（x1+x2-2c）+（x1+x2）=0,

∴x1+x2=

即,所以a2=3b2.

∴c=,

故离心率e=.

（II）证明：

由（I）知a2=3b2,所以椭圆=1可化为

x2+3y2=3b2.

设=（x,y）,由已知得

（x,y）=λ（x1,y1）+μ（x2,y2）,

x=λx1+μx2,

∴

y=λy1+μy2.

∵M（x,y）在椭圆上，

∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2.

即λ2（+3）+μ2（+3）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2,①

由（I）知x1+x2=c,a2=c2,b2=c2.

∴x1x2=c2.

∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1-c）（x2-c）

=4x1x2-3（x1+x2）c+3c2

=c2-c2+3c2

又=3b2,=3b2,代入①得

λ2+μ2=1.

故λ2+μ2为定值，定值为1.

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