概率论第一章习题解答(胡庆军)[1]文档格式.doc

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5）;

注:

也可如下表示:

2.一个工人生产了个零件,以事件表示“他生产的第个零件是正品”.试用表示下列事件:

1）没有一个零件是次品；

2）至少有一个零件是次品；

3）只有一个零件是次品；

4）至少有两个零件不是次品.

1）;

2）;

（亦即:

全部为正品的对立事件）

3）;

4）.

3.设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:

1）A发生;

2）只有A发生;

3）A与B发生而C不发生;

4）三个事件都发生;

5）三个事件中至少有一个发生;

6）三个事件中至少有两个发生;

7）三个事件中恰好发生一个;

8）三个事件中恰好发生两个;

9）三个事件都不发生;

10）三个事件中不多于两个发生;

11）三个事件中不多于一个发生.

解:

1）;

2）;

3）;

4）;

5）;

6）

（）（等价说法:

至少有两个不发生的对立事件）;

7）;

8）;

9）（=）;

10）（=）（等价说法:

至少有一个不发生.）;

11）（=）（即:

至少有两个不发生）.

4.试把事件表示成个两两互不相容事件之并.

.

5.甲从2,4,6,8,10中,乙从1,3,5,7,9中各任取一数,求甲的数大于乙的数的概率.

所有可能情况有种,所涉事件共有15种可能,则所求概率为

.

6.一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.试求:

1）5只都是好的概率为多少?

2）有2只坏的概率为多少?

所有可能情况有种（注:

组合数,下同.）,则所求概率为

1）;

2）.

7.一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停,乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的.求没有2位乘客在同一层离开的概率.

所有可能情况为种,则所求概率为.

8.某城市的自行车都有牌照,其编号从00001到10000.偶然遇到一辆自行车,求其牌照中含有数字

8的概率.

利用对立事件求概率的公式,所求概率为.

9.设甲袋中有只白球只黑球,乙袋中有只白球只黑球.在两袋中各任取一只球,求所得两球颜色不同的概率.

所有可能情况有种,则所求概率为.

10.设一个人的生日在星期几是等可能的.求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不在同一天的概率.

11.从双尺码不同的鞋子中任取（）只,求下列事件的概率:

1）所取只鞋子中没有两只成对;

2）所取只鞋子中只有两只成对;

3）所取只鞋子恰好配成对.

样本空间可考虑有种可能结果,古典概型,则所求概率分别为

2）;

3）.

12.设有个人,每人都被等可能地分配到个房间中的任一间.求下列事件的概率:

1）指定的间房里各住一人;

2）恰有间房,其中各住一人.

所有可能情况为种,则所求概率分别为

2）.

13.甲乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先摸,不放回,直至有一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.

甲先摸到白球,则可能结果如下（注:

至多有限次摸球）:

①当为偶数时,则所求概率为

②当为奇数时,则所求概率为

14.从装有个白球,个黑球的袋中一次次地有放回摸球,直至摸到白球为止.求在偶数次摸到白球的概率.

记事件:

表示第次摸到黑球;

:

表示第次摸到白球.则

事件{偶数次摸到白球}.

故所求概率为

{偶数次摸到白球}

15.已知一个家庭有三个孩子,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.（假设生男生女是等可能的.）

在三个孩子的家庭中,样本点总数为种,记事件

{三个孩子的家庭中有女孩},{三个孩子的家庭中至少有一个男孩}.

要求?

由,又,,

则.

16.掷三颗骰子,已知所得的点数都不一样,求含有1点的概率.

{掷三颗骰子,点数都不一样},{掷三颗骰子,有1点}.要求?

由,且

.

则.

17.口袋中有只白球,只黑球,一次取出只球,发现都是同色球,问这种颜色是黑色的概率为多少?

记事件,,

则

.

18.设件产品中有件废品,从中任取两件.

1）在这两件中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率;

2）在这两件中有一件是正品的条件下,求另一件是废品的概率.

1）记事件,,则所求概率为

2）记事件,,则所求概率为

19.袋中有黑、白球各一个,一次次从中摸球,如果摸到白球,则放回白球,且再加入一个白球,直至摸到黑球为止.求摸了次都没有摸到黑球的概率.

第次摸到白球,,要求:

?

由计算概率的乘法定理,则所求概率为

20.个人依次摸彩（张票中有一张彩票）,

1）已知前个人都没摸到,求第个人摸到彩票的概率;

2）求第个人摸到彩票的概率.

记事件{第个人摸到彩票},,

1）所求概率为.

2）由,则

21.某射击小组有20名射手,其中一级射手4人,二级8人,三级7人,四级1人,各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.

记事件{所选射手能进入比赛},{所选射手为第级},.

已知,,,,

,,.

用全概率公式,则所求概率为

22.有个口袋,每袋中有个黑球个白球,从第一袋中任取一球放入第二袋,再从第二袋中任取一球放入第三袋,这样一直做下去,直至从第袋中取出一球.求:

1）最后取出白球的概率;

2）从第一袋中取出是白球的条件下,求最后取出白球的概率.

记事件{从第袋中取出白球},.

1）,

归纳假设:

则

所以.

2）要求:

?

记,则

23.甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中,废品各占5%,4%,2%.从它们的产品中任取一个恰好是废品,问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少?

记事件表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产;

事件{所取产品是废品}.要求:

（）

已知,,,

,.

则

由贝叶斯公式,则所求概率分别为

.

24.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车,则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;

而乘飞机不会迟到.可他迟到了,问他是乘火车来的概率为多少?

记事件分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来.

事件{朋友迟到}.要求:

已知,,,,

由贝叶斯公式,则所求概率为

25.装有个白球和个黑球的罐子中丢失一球,但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两个球,结果都是白球,求丢失的是白球的概率.

记事件{丢失白球},{任取两个球都是白球}.要求:

由,

已知,,

.

则所求概率为

26.设个事件相互独立,且,,求下列事件的概率:

1）个事件全不发生;

2）个事件至少发生一个;

3）个事件恰好有一个发生.

2）;

3）

27.一架轰炸机袭击1号目标,另一架袭击2号目标,击中1号目标的概率为0.8,击中2号目标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率.

记事件{击中号目标},.要求:

方法一:

方法二:

28.如下列图,分别求所示系统能正常工作的概率,其中框图中的字母代表元件,各元件能否正常工作是相互独立的.字母相同而下标不同的都是同类元件,类元件的可靠性分别为.

A1

A2

A3

B3

B2

B1

B

C

A

D2

D1

分别以表示对应元件能正常工作.则所求概率分别为

1）

2）

3）方法一:

.

方法二:

29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲、乙命中的概率分别为,甲先射,谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少?

记事件{第轮甲命中目标},{第轮乙命中目标},.则

{甲获胜},

所以

.

由于{乙获胜},

或:

.

30.一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%.为试验某种新药是否有效,把它给10名患者服用,并规定至少有4名患者痊愈则认为新药有效,否则,认定新药无效.试求:

1）虽然新药有效,且把痊愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率;

2）新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.

一名患者痊愈的概率记为,10名患者痊愈的个数记为,则.

1）由题意知,,所求概率为

2）由题意知,,所求概率为

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