（2）必然事件概率为l.P（E）=l.
（3）不也许事件概率为0.P（F）=O.
（4）事件A与事件B互斥时，P（AUB）=P（A）+P（B）——概率加法公式。
（5）若事件B与事件A互为对立事件，，则A[_）B为必然事件,
P（A（JB）=1・
3.2古典概型
3.2.1古典概型
1、基本领件：
基本领件特点：
（1）任何两个事件是互斥；
（2）任何事件（除不也许事件）都可以表达到基本时间和。
2、古典概型：
（1）实验中所有也许浮现基本领件只有有限个；
（2）每个基本领件浮现也许性相等。
具备这两个特点概率模型称为古典概型。
3.2.2（整数值）随机数产生
如何用计算器产生指定两个整数之间取整数值随机数？
一一书上例题。
3.3几何概型
33.1几何概型
1、几何概型：
每个事件发生概率只有与构成该事件区域长度（面积或体积）成比例概率模型。
2、几何概型中，事件A发生概率计算公式:
P（A）=
构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域氏度（面积或体积）
3.3.2均匀随机数产生
惯用是［0,1］上均匀随机数，可以用计算器来产生0~1之间均匀随机数。
木章知识小结
（1）在详细情境中，理解随机事件发生不拟定性和频率稳定性，进一步理解概率意义以及频率与概率区别。
（2）通过实例，理解两个互斥事件概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算某些随机事件所含基本领件数及事件发生概率。
（4）理解随机数意义，能运用模仿办法（涉及计算器产生随机数来进行模仿）预计概率，初步体会几何概型意义（参见例3）o
（5）通过阅读材料，理解人类结识随机现象过程。
重难点归纳：
重点：
1、理解随机事件发生不拟定性和频率稳定性，对的理解概率意义.
2、理解古典概型及其概率计算公式.
3、关于几何概型概率计算
4、体会随机模仿中记录思想：
用样本预计总体.
难点：
1、理解频率与概率关系.
2、设计和运用模仿办法近似计算概率.
3、把求未知量问题转化为几何概型求概率问题.
（二）高考概率
概率考试内容：
随机事件概率.等也许性事件概率.互斥事件有一种发生概率.互相独立事件同步发生概率.独立重复实验.
考试规定：
（1）理解随机事件发生存在着规律性和随机事件概率意义.
（2）理解等也许性事件概率意义，会用排列组合基本公式计算某些等也许性事件概率。
（3）理解互斥事件、互相独立事件意义，会用互斥事件概率加法公式与互相独立事件概率乘法公式计算某些事件概率.
（4）会计算事件在n次独立重复实验中正好发生k次概率.
如下归纳9个常用考点:
解析概率与记录试题是高考必考内容。
它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率记录等知识为工具，以考核对五个概率事件判断辨认及其概率计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目的中档师，预测这也是此后高考概率记录试题考查特点和命题趋向。
下面对其常用题型和考点进行解析。
考点1考查等也许事件概率计算。
在一次实验中也许浮现成果有n个，并且所有成果浮现也许性都相等。
如果事件A包括成果有m个，那么P（A）=^0这就是等也许事件判断n
办法及其概率计n算公式。
高考常借助不同背景材料考查等也许事件概率计算办法以及分析和解决实际问题能力。
例1（天津）从4名男生和2名女生中任3人参加演讲比赛.
（I）求所选3人都是男生概率；
（II）求所选3人中恰有1名女生概率；
（III）求所选3人中至少有1名女生概率.
考点2考查互斥事件至少有一种发生与互相独立事件同步发生概率计算。
不也许同步发生两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一种发生事件为A+B,用概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）计算。
事件A（或B）与否发生对事件B（或A）发生概率没有影响，则A、B叫做互相独立事件，它们同步发生事件为ABo用概率乘法公式P（AB）=P（A）P（B）计算。
高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件辨认及其概率综共计算能力进行考查。
例2.（全国卷ni）设甲、乙、丙三台机器与否需要照顾互相之间没有影响。
已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾概率为0.05,甲、丙都需要照顾概率为0.1,乙、丙都需要照顾概率为0.125,（I）求甲、乙、丙每台
机器在这个小时内需要照顾概率分别是多少；（II）计算这个小时内至少有一台需要照顾概率。
考点3考核对立事件概率计算。
必有一种发生两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。
用概率减法公式
P（A）=1-P（A）计算其概率。
高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件判断辨认及其概率计算进行考查。
例3.（福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中概率分别为丄和？
。
2o
（I）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求正好命中一次概率；
（II）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中概率；
考点4考查独立重复实验概率计算。
若n次重复实验中，每次实验成果概率都不依赖其他各次实验成果，则此实验叫做n次独立重复实验。
若在1次实验中事件A发生概率为P,则在n次独立重复实验中，事件A正好发生k次概率为Pn（k）=*（A）=c3（l—“严。
高考结合实际应用问题考查n次独立重复实验中某事件正好发生k次概率计算办法和化归转化、分类讨论等数学思想办法应用。
例4.（湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相似。
假定每盏灯能否正常照明只与灯泡寿命关于，该型号灯泡寿命为1年以上概率为pl,寿命为2年以上概率为p2。
从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换己坏灯泡，平时不换。
（I）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡概率和更换2只灯泡概率；
（II）在第二次灯泡更换工作中，对其中某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡概率；（III）当pl=0.8,p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡概率（成果保存两个有效数字）
考点5考查随机变量概率分布与盼望计算。
解决此类问题时，一方而应明确随机变量也许取哪些值，然后按照互相独立事件同步发生概率法公式去计算这些也许取值概率值即可等到分布列，最后依照分布列和盼望、方差公式去获解。
以此考查离散型随机变量分布列和数学盼望等概念和运用概率知识解决实际问题能力。
例5.（湖北卷）某地近来岀台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加后来考试，否则就始终考到第4次为止。
如果李明决定参加驾照考试，设她每次参加考试通过概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数£分布列和£盼望，并求李明在一年内领到驾照概率。
考点6考查随机变量概率分布列与其她知识点结合
1、考查随机变量概率分布列与函数结合。
例6・（湖南卷）某都市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人与否游览哪个景点互不影响，设£表达客人离开该都市时游览景点数与没有游览景点数之差绝对值。
（I）求§分布及数学盼望；
（II）记“函数f（x）=x2—3事+1在区间［2,+oo）上单调递增”为事件A,
求事件A概率。
2、考查随机变量概率分布列与数列结合。
例7甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是互相独立事件，规则如下：
若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。
已知甲乙两人射击一次击中概率均为7,且第一次由甲开始射击。
（1）求前4次射击中，甲正好射击3次概率。
（2）若第n次由甲射击概率为a,求数列｛aj通项公式；求lima”，并阐明极D—限值实际意义。
3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合。
例8（辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是通过第一和第二工序加工而成，两道工序加工成果互相独立，每道工序加工成果均有
A、B两个级别对每种产品，两道工序加工成果都为A级时，产品为一等品，别的均为二等品。
（I）己知甲、乙两种产品每一道工序加工成果为A级概率如表一所示，
分别求生产岀甲、乙产品为一等品概P（甲）、P（乙）；
（II）已知一件产品利润如表二所示，用分别表达一件甲、乙产品利润，在（I）条件下，求£、1］分布列及Eg、Eq；
（III）己知生产一件产品需用工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元。
设x、y分别表达生产甲、乙产品数量，在
（II）条件下，y为什么值时，z=xE£+yEqx最大？
最大值是多少？
（解答时须给岀图示）考查随机变量概率分布列性质性质应用
考点7考查随机变量概率分布列性质应用。
离散型随机变量在某一范畴内取值概率等于它取这个范畴内各个值概率之和.，高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质应用进行考查。
例9（年全国髙考题）某同窗参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：
每题回答对的得100分，回答不对的得0分。
假设这名同窗每题回答对的概率均为0.&且各题回答对的与否互相之间没有影响.。
1求这名同窗回答这三个问题总得分概率分布和数学盼望；
2求这名同窗总得分不为负分（即00）概率。
考点8样本抽样辨认与计算。
简朴随机抽样，系统抽样，分层抽样得共同特点是不放回抽样，且各个体被抽获得概率相等，均为上（N为总体个体数，n为样木容量）。
系统N抽样、分层抽样实质分别是等距抽样与按比例抽样，只需按照定义，合用范畴和抽样环节进行，就可得到符合条件样木。
高考常结合应用问题，考查构照抽样模型，辨认图形，收集数据，解决材料等研究性学习能力。
例11（年湖北湖北高考题）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要运用抽样办法抽取10人参加某项调查，考虑选用简朴随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简朴随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,
270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2,270,并将整个编
号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种状况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本下列结论中，对的是（）
A.②、③都不能为系统抽样
B.②、④都不能为分层抽样
C.①、④都也许为系统抽样
D.①、③都也许为分层抽样
考点9考查直方图。
这是记录知识，不是概率吧？
例12・（江西卷）为理解某校高三学生视力状况，随机地抽查了该校100名高三学生视力状况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将某些数据丢失，但懂得前4组频数成等比数列，后6组频数成等差数列，设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间学生数为b,则a、b值分别为（）
A.0,27,78B.0,27,83C.2.7,78D.2.7,83办法小结：
解决概率问题时，一定要依照关于概念，判断问题与否是等也许性事件、互斥事件、互相独立事件，还是某一事件在n次独立重复实验中正好发生k次状况，以便选取对的计算办法，同步注意上述各类事件综合问题，要全面考虑，特别是近几年高考概率与盼望综合，体现了高考对概率知识规定进一步提高。
下面仅以几种例题作以小结。
一、用排列组合求概率
例1从0到9这10个数字中任取3个数字构成一种没有重复数字三位数，这个三位数不能被3整除概率为（）
（A）19/54（B）35/5（C）38/54（D）41/60
分析：
等也许事件概率核心是运用排列组合出基本领件数。
答案：
B
点评：
本题将等也许事件与对立事件概率，以及分类讨论综合在一起，体现了知识交汇点命题精神，是高考热点。
二、互斥事件有一种发生概率
例2某厂生产A产品，每盒10只进行包装，每盒产品都需要检查合格后才干出厂，规定如下,从每盒10只中任意抽4只进行检查，如果次品数不超过1只,就以为合格，否则就以为不合格，己经懂得某盒A产品中有2只次品
（1）求该盒产品被检查合格概率
（2）若对该盒产品分别进行两次检查,求两次检查成果不一致概率分析：
对一种复杂事件概率可以分拆成几种互斥事件概率或者转化为求其对立事件概率。
点评：
求互相独立事件同步发生概率，要保证两者确是“互相独立”事件。
木例“比赛型”题，分析比较简朴，只要结合关于比赛规则即可解决，此类题也是高考热点题。
三、对立重复实验
例3—位学生每天骑自行车上学，从她家到学校有5个交通岗，假设她在交通岗遇到红灯是互相独立，且首末两个交通岗遇到红灯概率均为p,别的3个交通岗遇到红灯概率均为丄。
2
（1）若p=2/3,求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯概率；
（2）若该学生至多遇到一次红灯概率不超过5/18,求p取值范畴。
分析：
首末两个交通岗遇红灯概率相似，别的3个交通岗遇红灯概率也相似，可看作独立重复实验。
点评：
要注意恰有k次发生和某指定k次发生差别。
对独立重复实验来说，前者概率为
总结：
概率初步考题普通以
（1）等也许事件；
（2）互斥事件有一种发生；（3）互相独立事件同步发生；（4）独立重复实验为载体。
有考题也许综合各种概率题型；在等也许事件概率计算中，核心有二：
一是谁是一次实验（一次事件所含基本领件总数）；二是事件A所含基本领件数。
固然，所有基木领件是等也许是前提；善于将复杂事件分解为互斥事件和与独立事件积是解题核心。
（三）髙考数学概率中易错题辨析
一、概念理解不清致错
例1.抛掷一枚均匀骰子，若事件A：
“朝上一面为奇数”，事件
B：
“朝上一面点数不超过3”，求P（A+B）
错误解法1：
事件A：
朝上一面点数是1,3,5；事件B：
趙上一面点
数为1,2,3,/.P（A+B）=P（A）+P（B）=-+-=1
662
错因分析：
事件A：
朝上一而点数是1,3,5；事件B：
趙上一面点
数为1,2,3,很明显，事件A与事件B不是互斥事件。
即P（A+B）HP（A）+P（B）,因此上解是错误。
事实上：
对的解法为：
A+B包括：
朝上一面点数为1,2,3,5四种状况
・・・P（A+B）=42
63
错误解法2：
事件A：
朝上一面点数为1,3,5；事件B：
朝上一面点
数为1,2,3,即以A、B事件中重复点数1、3
・・・P（A+B）=P（A）+P（B）~P（A・B）
11113
=—+—-—X—=—
22224
错因分析：
A、B事件中重复点数为1、3,因此P（A-B）=<这种
6
错误解法在于简朴地类比应用容斥原理
Card（AUB）=Card（A）+Card（B）-Card（AAB）致错
对的解答：
P（A+B）=P（A）+P（B）一P（A・B）
_l122
——+———=—
2263
<1（当第〃次掷出偶数）
【1,（当第打次掷出奇数）
例2.某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列“},使
记S”=5+“2+…求Sj>0（/=1,2,3,4）且S*=2概率。
错解：
记事件A：
58=2,即前8项中，5项取值1,另3项取值一1
・・・Ss=2概率P（A）=©•（$
记事件B:
S,.>0（Z=L2,3,4），将sr.>0（z=l,2,3,4）分为两种情形：
（1）若第1、2项取值为1,则3,4项取值任意
（2）若第1项为1,第2项为一1,则第3项必为1第四项任意
AP（B）
错因分析：
SfO且％=2是同一事件两个关联条件，而不是两个互相独
立事件。
s,no对瓦=2概率是有影响，因此解答应为:
正解：
•・•5；>00=1,2,3,4）.I前4项取值分为两种情形
1若1、3项为1；则余下6项中3项为1,另3项为・1即可。
即鬥（护
2若1、2项为正，为避免与第①类重复，则第3项必为-1,
则后5项中只须3项为1,余下2项为-1,即P2=ci-
（1）8,
・•・所求事件概率为"（d+c；）-（孑=4
二、有序与无序不分致错
例3・甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同题目，其中选取题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题。
求：
（1）甲抽到选取题，乙提到判断题概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选取题概率是多少？
错误解法：
（1）甲从选取题抽到一题成果为C：
乙从判断题中抽到一题成果为C]
而甲、乙依次抽到一题成果为％
・・.所求概率为：
卑=2
瞬15
错因分析：
甲、乙依次从10个题目各抽一题成果，应当是先选后排，因此应为从。
为避免错误，对于基本领件总数也可这样做：
甲抽取一道题目成果应为V种，乙再抽取余下9道题中任一道成果应为种，因此
对的解答:
（2）错误解法：
从对立事件考虑，甲、乙都抽到判断题成果为c：
种，因此都抽到判断题概率为磊召所求事件概率为详疇
错因分析：
指定事件中指明甲.乙依次各抽一题，那么甲.乙都提到
阐明：
对于第
（2）问，咱们也可以用这样解答:
（指定事件包括在基木领件中）；当基本领件是无序，则指定事件也必无序。
核心在于基木领件结识角度必要精确。
例4.己知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为
A、B两组，每组4支，求：
A、B两组中有一组恰有两支弱队概率。
错解：
将8支球队均分为A、B两组，共有W种办法：
A、B两组中有一组恰有两支弱队分法为：
先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，构成这一组共有W种办法，其他球队分在另一组，只有一
种分法。
错因分析：
从基本领件成果数来看，分组是讲求顺序，那么指定事件：
“A、B组中有一组有2支弱队”应分为两种情形。
即“A组有”或
“B组有”，因此对的解答为:
正解:
剧或競
阐明：
这道题也可从对立事件求解:
3支弱队分法同一组共有：
G+G种成果。
・••所求事件概率为1-£撐
W7
三、分步与分类不清致错
例5.某人有5把不同钥匙，逐把地试开某房门锁，试问她恰在第3次打开房门概率？
错误解法：
由于此人第一次开房门概率为』，若第一次未开，第2次能打开房门概率应为扌;因此此人第3次打开房门概率为+o
错因分析：
此人第3次打开房门实际是第1次未打开，第2次未打开，第3次打开“这三个事件积事件”，或者理解为“开房门是通过未开、未开、开”这三个环节，不能理解为此事件只有“开房门”这一种环节，因此，对的解答应为：
正解：
第1次未打开房门概率为第2次未开房门概率为，第3
54
次打开房门概率为［，所求概率为：
P==
35435
例5.某种射击比赛规则是：
开始时在距目的100m处射击，若命中记3分，同步停止射击。
若第一次未命中，进行第二次射击，但目的已在150m远处，这时命中记2分，同步停止射击；若第2次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目的己在200m远处。
若第3次命中则记1分，同步停止射击，若前3次都未命中，则记0分。
己知身手甲在100m处击中目的概率为她命中目的概率与目的距离平方成反比，且各次射击都是独立。
求：
射手甲得k分概率为Pk，求P3,P2,Pi，Po值。
:
设射手射击命中目的概率P与目的距离*之间关系
为P=由已知丄=厶=&=5000
x221002
错误解法：
‘50001
p、==-
20028
12149
r=（1-1）（1-±）（1-A）=_
°298144
错因分析：
求P2时，将第150m处射击命中目的概率作为第2次命中
目的概率，隔离了第1次射击与第2次射击关系，事实上，第2次射击行
为发生是在第1次未击中前提下才作出。
・・・P2应为“第1次未击中，第2次击中”这两个事件积事件概率。
求
P1时也如此。
四、考虑不周致错
例6.某运动员射击一次所得环数x分布列如下：
X78910
P0.20.20.20.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为她成绩记为求：
§分布列。
错误解法：
§取值为8,9,10o冃,两次环数为7,7；两次成
绩为7,8或8,8；§=9,两次成绩7,9或8,9或9,9；§=10,两次队
数为7,10或8,10或9,10或10,10o
・・P（歹=7）=0.2x0.2=0.04
P（g=8）=0.2x0.3+0.32=0」5
P（g=9）=0.2x0.3+0.3x0.3+0.32=0.23
P（g=10）=0.2X0.3-0.2+03-0.3+0.22=0.2
（分布列略）
错因分析：
§=即两次成绩应为7,8或8,7或8
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