条件概率知识点例题练习题.docx

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条件概率知识点例题练习题

条件概率专题

一、知识点

①只须将无条件概率

替换为条件概率

，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质

②在古典概型中---

3在几何概型中---

条件概率及全概率公式

 .对任意两个事件A、B,是否恒有P（A）≥P（A|B）.

答：

不是.有人以为附加了一个B已发生的条件,就必然缩小了样本空间,也就缩小了概率,从而就一定有P（A）≥P（A|B）, 这种猜测是错误的.事实上,可能P（A）≥P（A|B）,也可能P（A）≤P（A|B）,下面举例说明.

在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令

A={抽到一数字是3的倍数};   B1={抽到一数字是偶数};   B2={抽到一数字大于8},那么

   P（A）=3/10,P（A|B1）=1/5,P（A|B2）=1.因此有P（A）＞P（A|B1）,P（A）＜P（A|B2）.

.以下两个定义是否是等价的.

定义1.若事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B）, 则称A、B相互独立.

定义2.若事件A、B满足P（A|B）=P（A）或P（B|A）=P（B）,则称A、B相互独立.

答：

不是的.因为条件概率的定义为

    P（A|B）=P（AB）/P（B）或P（B|A）=P（AB）/P（A）

自然要求P（A）≠0, P（B）≠0,而定义1不存在这个附加条件,也就是说,P（AB）=P（A）P（B）对于P（A）=0或P（B）=0也是成立的.事实上, 若P（A）=0由0≤P（AB）≤P（A）=0可知P（AB）=0故P（AB）=P（A）P（B）.

因此定义1与定义2不等价,更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化.

.对任意事件A、B,是否都有        P（AB）≤P（A）≤P（A+B）≤P（A）+P（B）.

答：

是的.由于P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）（*）

因为 P（AB）≥0,故P（A+B）≤P（A）+P（B）.

由P（AB）=P（A）P（B|A）,因为0≤P（B|A）≤1,故P（AB）≤P（A）;

同理P（AB）≤P（B）, 从而P（B）-P（AB）≥0,由（*）知P（A+B）≥P（A）.

原命题得证.

.在引入条件概率的讨论中,曾出现过三个概率:

P（A|B）,P（B|A）,P（AB）.从事件的角度去考察,在A、B相容的情况下,它们都是下图中标有阴影的部分,然而从概率计算的角度看,它们却是不同的.这究竟是为什么?

答：

概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:

P（A|B）的计算基于附加样本空间ΩB;

P（B|A）的计算基于附加样本空间ΩA;

P（AB）的计算基于原有样本空间Ω.

.在n个事件的乘法公式：

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1A2…An-1）

中,涉及那么多条件概率,为什么在给出上述乘法公式时只提及P（A1A2…An-1）>0呢?

答：

按条件概率的本意,应要求P（A1）>0, P（A1A2）>0,…, P（A1A2…An-2）>0,          P（A1A2…An-1）>0.

事实上,由于A1A2A3…An-2A1A2A3…An-2An-1,从而便有P（A1A2…An-2）≥P（A1A2…An-1）>0.这样, 除P（A1A2…An-1）>0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如P（A1A2…An-2）>0,…, P（A1A2）>0, P（A1）>0便是题设条件P（A1A2…An-1）>0的自然结论了.

.计算P（B）时, 如果事件B的表达式中有积又有和,是否就必定要用全概率公式.

答：

不是.这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的.  其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于A1,A2,…,An的结构.事实上, 对于具体问题, 若能设出n个事件Ai,使之满足

（*）

就可得  .（**）

这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.

因此, 能否使用全概率公式, 关键在于（**）式,而要有（**）式, 关键又在于适当地对Ω进行一个分割, 即有（*）式.

.设P（A）≠0, P（B）≠0,因为有

（1）若A、B互不相容,则A、B一定不独立.

（2）若A、B独立,则A、B一定不互不相容.

故既不互不相容又不独立的事件是不存在的.上述结论是否正确.

答：

不正确.原命题中的结论

（1）

（2）都是正确的. 但是由

（1）

（2）（它们互为逆否命题, 有其一就可以了）只能推出在P（A）≠0, P（B）≠0的前提下,事件A、B既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”.事实上,恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的,下面举一例.

5个乒乓球（4新1旧）, 每次取一个, 无放回抽取三次, 记Ai={第i次取到新球}, i=1,2,3.因为是无放回抽取,故A1、A2、A3互相不独立,又A1A2A3={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发生, 因此A1、A2、A3不互不相容.

.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系?

事件A、B“独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?

答：

“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的,大体上可由如下的命题概括:

“对立”→“互不相容”, 反之未必成立.

至于“独立”与“互不相容”的区别和联系,并非一目了然.

事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率,其关系可借助图直观显示.

事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P（A|B）=P（A）或P（B|A）=P（B）时, 称A、B是相互独立的.

它们的联系可由下述命题概括:

对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B互不相容”→“A、B不独立”. 其等价命题是:

在P（A）>0与P（B）>0下, 则有“A、B独立”→“A、B不互不相容”（相容）.注意, 上述命题的逆命题不成立.

.设A、B为两个事件,若

0

则A、B相互独立,A、B互不相容,,这三种情形中的任何两种不能同时成立.

答：

在条件（*）下

当A、B相互独立时,有P（AB）=P（A）P（B）;

当A、B互不相容时,有P（AB）

当时,有P（AB）>P（A）P（B）.

在条件（*）下,上述三式中的任何两个不能同时成立.因此, A、B相互独立,A、B互不相容, 这三种情形中的任何两种不能同时成立.

此结论表明:

在条件（*）下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了.

.证明:

若P（A）=0或P（A）=1, 则A与任何事件B相互独立.

答：

若P（A）=0,又, 故0≤P（AB）≤P（A）=0.

于是P（AB）=0=P（A）P（B）,所以A与任何事件B相互独立.

若P（A）=1,则.由前面所证知,与任何事件B相互独立. 再由事件独立性的性质知, 与B相互独立,即A与B相互独立.另种方法证明:

由P（A）=1知, 进而有.

又且AB与互不相容, 故.

即A与B相互独立.

.设A、B是两个基本事件, 且00, ,问事件A与B是什么关系?

[解1]由已知条件可得.

由比例性质,得.

所以P（AB）=P（A）P（B）.因此事件A与B相互独立.

[解2]由得

.

因而.

又,

所以P（B|A）=P（B）.

因此事件A与B相互独立.

.是不是无论什么情况, 小概率事件决不会成为必然事件.

答：

不是的.我们可以证明, 随机试验中,若A为小概率事件,不妨设P（A）=ε（0＜ε＜1为不论多么小的实数）,只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早要发生的概率为1.

事实上,设Ak={A在第k次试验中发生},则P（Ak）=ε,,在前n次试验中A都不发生的概率为:

.

于是在前n次试验中, A至少发生一次的概率为

  .

如果把试验一次接一次地做下去, 即让n→∞,由于0＜ε＜1,则当n→∞时,有pn→1.

以上事实在生活中是常见的,例如在森林中吸烟,一次引起火灾的可能性是很小的,但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾.

.只要不是重复试验, 小概率事件就可以忽视.

答：

不正确.小概率事件可不可以忽视,要由事件的性质来决定,例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的,但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.

.重复试验一定是独立试验,理由是:

既然是重复试验就是说每次试验的条件完全相同,从而试验的结果就不会互相影响,上述说法对吗?

答：

不对.我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的.

一个罐子中装有4个黑球和3个红球,随机地抽取一个之后,再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球,这种手续反复进行,显然每次试验的条件是相同的.每抽取一次以后,这时与取出球有相同颜色的球的数目增加，而与取出球颜色不同的球的数目保持不变，从效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此这不是独立试验,此例是一个如同传染病现象的模型，每一次传染后都增加再传染的概率.

.伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布.

答：

不一定.例如某射手每次击中目标的概率是p，现在连续向一目标进行射击，直到射中为止.此试验只有两个可能的结果：

A={命中}；={未命中}，且P（A）=p.并且是重复独立试验，因此它是伯努利试验（伯努利概型），设Xk={第k次射中}，Xk显然是一个随机变量，但

       P（Xk=k）=qk-1p，k=1,2,…，其中q=p-1，

可见Xk是服从参数为p的几何分布，而不是二项分布.

.某人想买某本书,决定到3个新华书店去买,每个书店有无此书是等可能的.如有,是否卖完也是等可能的.设3个书店有无此书,是否卖完是相互独立的.求此人买到此本书的概率.

答：

（37/64）.

.在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率是; 若乙机未被击落,就进行还击,击落甲机的概率是, 则再进攻乙机,击落乙机的概率是.在这几个回合中,

（1）  甲机被击落的概率是多少?

（2） 乙机被击落的概率是多少?

答：

以A表示事件“第一次攻击中甲击落乙”,以B表示事件“第二次攻击中乙击落甲”,以C表示事件“第三次攻击中甲击落乙”.

（1）甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能,故甲机被击落的概率为

.

（2）乙机被击落有两种情况.一是第一次攻击中甲击落乙,二是第三次攻击中甲击落乙,故乙机被击落的概率是

=+×=.

.某个问题,若甲先答,答对的概率为;若甲答错,由乙答,答对的概率为.求问题由乙答出的概率.

答：

.有5个人在一星期内都要到图书馆借书一次,一周内某天借书的可能性相同,求

（1）5个人都在星期天借书的概率;

（2）5个人都不在星期天借书的概率;

（3）5个人不都在星期天借书的概率.

答：

（1）（1/75）;

（2）（65/77）;

        （3）（1-1/75）.

1.从1,2,3,…,15中,甲、乙两人各任取一数（不重复）,已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.

二、例题

解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,

设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”.

则显然所要求的概率为P（A|B）.

根据公式 

         而P（B）=3/15=1/5, 

         ,

      ∴P（A|B）=9/14.

窗体底端

窗体顶端

2.掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 

解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,

设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.

则显然所要求的概率为P（A|B）.

根据公式  

       ,

        ,P（A|B）=1/2.

3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率.

1解.设事件Ai表示“第i次取到白球”.（i=1,2,…,N）

则根据题意P（A1）=1/2,P（A2|A1）=2/3,

由乘法公式可知:

   P（A1A2）=P（A2|A1）P（A1）=1/3.

而  P（A3|A1A2）=3/4,

     P（A1A2A3）=P（A3|A1A2）P（A1A2）=1/4.

由数学归纳法可以知道

           P（A1A2…AN）=1/（N+1）.

窗体底端

窗体顶端

4. 甲袋中有5只白球,7只红球;乙袋中有4只白球,2只红球.从两个袋子中任取一袋,然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 

解.设事件A表示“取到的是甲袋”,则表示“取到的是乙袋”,

事件B表示“最后取到的是白球”.

根据题意:

 P（B|A）=5/12, 

                 , 

                   P（A）=1/2.

   ∴

       .

窗体底端

窗体顶端

5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率.

解.设事件Ai表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2.

事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.

 显然A0,A1,A2构成一完备事件组,且根据题意

   P（A0）=1/10,P（A1）=3/5,P（A2）=3/10;

  P（B|A0）=2/5,P（B|A1）=1/2,P（B|A2）=3/5;

由全概率公式

P（B）=P（B|A0）P（A0）+P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）

=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.

6.袋中装有编号为1,2,…,N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率.

解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;

事件B表示“最后取到的是2号球”.

显然      P（A）=1/N,

且  P（B|A）=1/（N-1）, 

      ;

∴

=1/（N-1）×1/N+1/N×（N-1）/N

=（N2-N+1）/N2（N-1）.

7. 袋中装有8只红球,2只黑球,每次从中任取一球,不放回地连续取两次,求下列事件的概率.

（1）取出的两只球都是红球;

（2）取出的两只球都是黑球;

（3）取出的两只球一只是红球,一只是黑球;

（4）第二次取出的是红球. 

解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,

设事件A2表示“第二次取到的是红球”.

（1）要求的是事件A1A2的概率.

根据题意 P（A1）=4/5,

               ,

               P（A2|A1）=7/9,

  ∴P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=4/5×7/9=28/45.

（2）要求的是事件的概率.

根据题意:

   ,

            ,

∴.

（3）要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.

    ,,

     ,

    ,

 ∴.

（4）要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.

由全概率公式:

=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.

8. 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是、、、.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 

解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,

设事件Bi表示“射手是第i级射手”.（i=1,2,3,4）

显然,B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且

P（B1）=4/20,P（B2）=8/20,P（B3）=7/20,P（B4）=1/20;

P（A|B1）=,P（A|B2）=,P（A|B3）=,P（A|B4）=.

由全概率公式得到

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）+P（A|B4）P（B4）

=×4/20+×8/20+×7/20+×1/20=.

窗体底端

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9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100（米）的概率分别是、、,又设它在距目标400、200、100（米）时的命中率分别是、、.求目标被命中的概率为多少?

解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,

设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,

设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,

用事件B表示“目标被击中”.

由题意, P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=,

    且A1、A2、A3构成一完备事件组.

又已知P（B|A1）=,P（B|A2）=,P（B|A3）=.

由全概率公式得到:

P（B）=P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3）

=×+×+×=.

10. 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2﹑3﹑5﹑3,假定各道工序的加工互不影响,求加工出零件的次品率是多少?

解.设事件Ai表示“第i道工序出次品”,i=1,2,3,4

因为各道工序的加工互不影响,因此Ai是相互独立的事件.

P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=,P（A4）=,

只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是（A1+A2+A3+A4）这个事件的概率.

为了运算简便,我们求其对立事件的概率

==.

∴P（A1+A2+A3+A4）==.

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11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标,根据这一成绩,求

（1）射击三次皆中目标的概率;

（2）射击三次有且只有2次命中目标的概率;

（3）射击三次至少有二次命中目标的概率. 

解.设事件Ai表示“第i次命中目标”,i=1,2,3

根据已知条件P（Ai）=, ,i=1,2,3

某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件Ai是相互独立的.

（1）射击三次皆中目标的概率即求P（A1A2A3）.

由独立性:

     P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）==.

（2）“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表示.

显然,

又根据独立性得到:

.

（3）“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C表示.

至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C=B+A1A2A3

P（C）=P（B）+P（A1A2A3）=+=.

12. 三人独立译某一密码,他们能译出的概率分别为1/3,1/4,1/5,求能将密码译出的概率. 

解.设事件Ai表示“第i人能译出密码”,i=1,2,3.

由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P（A1+A2+A3）.

已知P（A1）=1/3,P（A2）=1/4,P（A3）=1/5,

而  

      =（1-1/3）（1-1/4）（1-1/5）=.

 ∴P（A1+A2+A3）==.

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13. 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为、、,若命中此目标一、二、三弹,该目标被摧毁的概率分别为、和, 试求此目标被摧毁的概率.

解.设事件Ai表示“第i次命中目标”,i=1,2,3.

设事件Bi表示“目标被命中i弹”,i=0,1,2,3.

设事件C表示“目标被摧毁”.

由已知P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=;

 P（C|B0）=0,P（C|B1）=,P（C|B2）=,P（C|B3）=.

又由于三次射击是相互独立的,所以

=××+××+××=,

=××+××+××=,

.

由全概率公式得到

P（C）=P（C|B0）P（B0）+P（C|B1）P（B1）+P（C|B2）P（B2）+P（C|B3）P（B3）

=0×+×+×+×=.

三、练习题

1．已知P（B|A）=

P（A）=

则P（AB）=（）

A．

B.

C．

D.

2．由“0”、“1”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P（A|B）=（）

A.

B.

C.

D.

3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是

，刮三级以上风的概率为

，既刮风又下雨的概率为

，则在下雨天里，刮风的概率为（）

A.

B.

C.

D.

4．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为，活到25岁以上的概率为.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是.

５．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则

（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？

（2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？

６．某种元件用满6000小时未坏的概率是

，用满10000小时未坏的概率是

，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率

7．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。

如果要在班内任选一人当学生代表

（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率

（2）求这个代表恰好是团员代表的概率

（3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率

（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率

8．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品合格率是95％，乙厂合格率是80％，则

（1）市场上灯泡的合格率是多少？

（2）市场上合格品中甲厂占百分之几？

（保留两位有效数字）

9．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一