江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)Word下载.doc

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（2）试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积.

四（12分）已知是等腰梯形，,求的长，使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分，其中

六、（12分）求，其中为曲线从到.

七.（12分）已知数列单调增加，

记，判别级数的敛散性.

2008年江苏省普通高等学校非理科专业

一、填空题（每小题5分，共40分）

1）时，

2）

3）设则

4）时，在时关于的无穷小的阶数最高

5）

6）

7）设则

8）设为所围区域，则

二、（8分）设数列为：

，求证：

数列收敛，并求其极限

三、（8分）设函数在上连续求证：

存在使得

四、（8分）将平面上的曲线绕直线旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.

五、（8分）设讨论在处的连续性、可偏导性、可微性.

六、（10分）已知曲面与平面的交线在平面上的投影为一椭圆，求此椭圆面积.

七、（8分）求

八、（10分）求这里

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1.，

2.

3.

4.已知点,为坐标原点，则四面体的内接球面方程为

5.设由确定，则

6.函数中常数满足条件时，为其极大值.

7.设是上从点到的一段曲线，时，曲线积分取最大值.

8.级数条件收敛时，常数的取值范围是

二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：

该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时

三.（10分）曲线的极坐标方程为，求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程，并求切线与轴围成图形的面积.

四（8分）设在上是导数连续的有界函数，，

求证：

五（12分）本科一级考生做：

设锥面被平面截下的有限部分为.

（1）求曲面的面积；

（2）用薄铁片制作的模型，为上的两点，为原点，将沿线段剪开并展成平面图形，以方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出的边界的极坐标方程.

本科二级考生做：

设圆柱面被柱面截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，为上的三点，将沿线段剪开并展成平面图形，建立平面在极坐标系，使位于轴正上方，点坐标为，写出的边界的方程，并求的面积.

六（10分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为，

本科一级考生做

本科二级考生做

七（10分）本科一级考生做1）设幂级数的收敛域为，求证幂级数的收敛域也为；

2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；

若不正确举一反例说明.

求幂级数的收敛域与和函数

2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

1.是周期为的奇函数，且在处有定义，当时，，求当时，的表达式.

4.时

5.

6..

7.设可微，，，

则.

8.设，为，则

.

二．（10分）设在上连续，在内可导，，,求证：

内至少存在一点使得

三.（10分）设，在的边界上任取点,设到原点距离为，作垂直于，交的边界于

1）试将的距离表示为的函数；

2）求饶旋转一周的旋转体的体积

四（10分）已知点,在平面上求一点，使最小

五（10分）求幂级数的收敛域。

六（10分）设可微，，

，求.

七（10分）求二次积分

2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

1.，则，

2.设在上可导，下列结论成立的是

A.若，则在上有界

B.若，则在上无界

C.若，则在上无界

3.设由确定，则

4.

5.曲线，在点的切线的参数方程为

6.设，有二阶连续导数，有二阶连续偏导数，

则

7.交换二次积分的次序.

8.幂级数的收敛域

二.（8分）设在上连续，单调减少，，

求证

三.（8分）设在上连续，，求证:

在内至少存在两个零点.

四.（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与所包围的立体的体积.

五.（9分）设为常数，试判断级数的敛散性，何时绝对收敛？

何时条件收敛？

何时发散？

六.（9分）设讨论在点处连续性，可偏导性？

可微性.

七.（9分）设在可导，，

求

八.（9分）设曲线的极坐标方程为，一质点在力作用下沿曲线从运动到，力的大小等于到定点的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角为锐角，求力对质点做得功.

2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）

一.填空（每题3分，共15分）

.1.设，则

2.

3.已知，则

5..设由方程确定（为任意可微函数），

二选择题（每题3分，共15分）

1.对于函数，点是（）

A.连续点；

B.第一类间断点；

C.第二类间断点；

D可去间断点

2.已知函数对一切满足，若，则（）

A.是的极大值；

B.是曲线的拐点；

C.是的极小值；

D不是的极值，也不是曲线的拐点

3.（）

A.等于1；

B.等于0；

C.等于；

D不存在，但也不是

4.若都存在，则在

A.极限存在，但不一定连续；

B.极限存在且连续；

C.沿任意方向的方向导数存在；

D极限不一定存在，也不一定连续

5.设为常数，则级数

A.绝对收敛B.条件收敛；

C.发散；

D收敛性与取值有关

三（6分）求

四（6分）已知函数由参数方程确定，求

五（6分）设在上连续，在内可导且对于一切均有，证明若在内有两个零点，则至少存在一个介于这两个零点之间的零点。

六（6分）设，求。

七（6分）已知，，求

八（8分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的平面图形面积最小。

九（8分）求级数的收敛域及和函数.

十（8分）设在上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：

十一（8分）计算曲线积分，其中为曲线上点沿逆时针方向到该曲线上点的一段曲线。

十二（8分）计算曲面积分，其中为曲面绕轴旋转一周所成曲面之下侧