北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案Word文件下载.doc

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（B）若,则;

（C）若,则;

（D）若,且,则.

2.设为一可测空间，为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c

（A）若,则；

（B）若,且，则；

（C）若，则；

（D）若,且，.

3.设为从概率空间到Borel可测空间上的实可测函数，表达式为，其中，则；

若已知，则.

4.设二维随机变量的概率密度

则=.2/3

5.设随机过程，其中随机变量服从参数为的指数分布，为常数，则

（1）的概率密度；

（2）.

6.设是参数为的维纳过程，令，则相关函数.

7.设齐次马氏链的状态空间为,一步转移概率为

则

（1）；

（2）.1/2,2

二.概率题（共30分）

1.（10分）设的概率密度为

令,

（1）求的概率密度；

（2）求的边缘概率密度.

解解.

（1）解方程得

所以雅可比行列式,

故

……5分

（2）对，

故 ……10分

2.（10分）设的概率密度

（1）求，其中

（2）.

解的边缘概率密度为

所以条件概率密度

……4分

（1）

……7分

（2）因为，所以。

……10分

3.（10分）设独立同分布，均服从两点分布，即，令，

（1）求Y的特征函数；

（2）求.

解:

（1）因为Y服从二项分布，所以Y的特征函数

……5分

（2）

……10分

三.随机过程题（共40分）

1.（10分）设是参数为的泊松过程，即满足：

（1）

（3）对.

也是参数为的泊松过程，且与独立，令，

（1）求；

（2）求.

解：

因为是参数为的泊松过程，所以

（１） ……5分

　　（２） ……10分

2.（10分）设是平稳过程，是其谱密度函数，

（1）证明：

对于任意的，是平稳过程；

（2）求的谱密度.

解

（1）,

与无关，则是平稳过程。

……5分

. ……10分

3.（10分）设齐次马氏链的状态空间为，一步转移概率矩阵为

　　　　，

初始分布为,求

（1）和;

（2）的分布律.

解

（1）

……６分

（2） ……10分

4.（10分）齐次马氏链的状态空间为，一步转移概率矩阵为

确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.

解.

（1）链可分,{1，3}{4}是不可分闭集,状态空间

……2分

（2）周期

. ……4分

（3）设平稳分布为,则

解之得,其中. ……7分

（4）所以1,3,4正返态,其余都不是常返态，又因为

，所以都为非常返态。

……10分

8