高考理科数学必会知识点总结Word下载.doc
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求出定义域并判断定义域是否关于原点对称;
求;
比较或的关系;
Ⅱ.图象法;
常用的结论
①已知:
若非零函数的奇偶性相同,则在公共定义域内为偶函数;
若非零函数的奇偶性相反,则在公共定义域内为奇函数;
②若是奇函数,且,则.
4.单调性(在定义域的某一个子集内考虑),证明函数单调性的方法:
(1).定义法步骤①:
设;
②作差(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);
③判断正负号。
另解:
设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2).(多项式函数)用导数证明:
若在某个区间A内有导数,则
在A内为增函数;
在A内为减函数.
(3)求单调区间的方法:
a.定义法:
b.导数法:
c.图象法:
d.复合函数在公共定义域上的单调性:
若f与g的单调性相同,则为增函数;
若f与g的单调性相反,则为减函数。
注意:
先求定义域,单调区间是定义域的子集.
(4)一些有用的结论:
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
F()(增)=(增)+(增);
F()(减)=(减)+(减);
F()(增)=(增)(减);
F()(减)=(减)(增);
④一个重要的函数:
函数在上单调递增;
在上是单调递减.
5.函数的周期性
(1)定义:
若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使恒成立,则叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期.T的整数倍都是的周期。
二、函数的图象
1.基本函数的图象:
(1)一次函数、
(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、(5)对数函数、(6)三角函数、(7)函数.
2.图象的变换
(1)平移变换
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的;
函数的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的;
②函数的图象是把函数的图象沿轴向上平移个单位得到的;
函数的图象是把函数的图象沿轴向下平移个单位得到的;
(2)对称变换
①函数与函数的图象关于直线x=0对称;
函数与函数的图象关于直线y=0对称;
函数与函数的图象关于坐标原点对称;
②如果函数对于一切都有,那么的图象关于直线对称;
如果函数对于一切都有,那么的图象关于点对称。
③函数与函数的图象关于直线对称。
④与关于直对称。
(3)伸缩变换(主要在三角函数的图象变换中)
三、函数的反函数:
1.求反函数的步骤:
(1)求原函数的值域B
(2)把看作方程,解出(注意开平方时的符号取舍);
(3)互换x、y,得的反函数为.
2.定理:
(1),即点在原函数图象上点在反函数图象上;
(2)原函数与反函数的图象关于直线对称.
3.有用的结论:
原函数在区间上单调的,则一定存在反函数,且反函数也单调的,且单调性相同;
但一个函数存在反函数,此函数不一定单调。
四、函数、方程与不等式
1.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”,你是否注意到必须;
当=0时,“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?
2、利用二次函数的图象和性质,讨论一元二次方程实根的分布。
设为方程的两个实根。
①若则;
②当在区间内有且只有一个实根,时,
③当在区间内有且只有两个实根时,④若时
①根据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的充要条件。
②注意端点,验证端点。
五、指数函数与对数函数
1.指数式与对数式:
对数的三个性质:
①;
②;
③
对数恒等式:
③
对数运算性质:
②;
③.
指数运算性质:
①②③
2.指数函数与对数函数
(1)特征图象与性质归纳(列表)
指数函数y=ax(a>
0,a≠1)
对数函数y=logax(a>
特征图象
0<
a<
1a>
1
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
单调性
减函数
增函数
定点
(0,1)
(1,0)
函数值分布
x<
0时,y>
1;
x>
0时,0<
y<
o时,0<
1时,y>
0;
1时,y<
(2)有用的结论
①函数与(且)图象关于直线对称;
函数与(且)图象关于轴对称;
函数与(且)图象关于轴对称.
②记住两个指数(对数)函数的图象如何区别?
六、导数:
1.几种常见函数的导数
(1)(C为常数)
(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
2.导数的运算法则
(1)
(2)(3).
3.复合函数的求导法则
设函数在点处有导数,函数在点处的对应点U处有导数,则复合函数在点处有导数,且,或写作.
4.导数的几何物理意义:
(1)几何意义:
k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线的斜率。
曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程为:
(2)V=s/(t)表示即时速度,a=v/(t)表示加速度。
5.单调区间的求解过程:
已知
①分析的定义域;
②求导数;
③解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;
解不等式,解集在定义域内的部分为减区间。
(或用列表法,见课本)
6.求极大、极小值:
③求解方程(设有根);
④列表判断个区间内导数的符号,判断是否为极值,如果是,是极大还是极小值。
判别是极大(小)值的方法
当函数在点处连续时,
(1)如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;
(2)如果在附近的左侧,右侧,则是极小值.
f/(x0)=0不能得到当x=x0时,函数有极值;
但是,当x=x0时,函数有极值f/(x0)=0
7.求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值:
①②③同上;
④比较、、,最大的为,最小的为.
极值≠最值;
最值问题一般仅在闭区间上研究(实际应用题除外,即应用题中有开区间问题).
3数列
一、数列的定义和基本问题
1.通项公式:
(用函数的观念理解和研究数列,特别注意其定义域的特殊性);
2.前n项和:
3.通项公式与前n项和的关系(是数列的基本问题也是考试的热点):
二、等差数列:
1.定义和等价定义:
是等差数列;
2.通项公式:
推广:
3.前n项和公式:
4.重要性质举例:
①与的等差中项;
②若,则;
特别地:
若,则;
③奇数项,…成等差数列,公差为;
偶数项,…成等差数列,公差为.
④若有奇数项项,则;
,,,();
若有偶数项2n项,则,其中d为公差;
⑤设,,,则有;
⑥当时,有最大值;
当时,有最小值.
⑦用一次函数理解等差数列的通项公式;
用二次函数理解等差数列的前n项和公式.
(8)若等差数列的前项的和为,等差数列的前项的和为,则
三、等比数列:
1.定义:
成等比数列;
推广;
3.前n项和;
(注意对公比的讨论)
4.重要性质举例①与的等比中项G(同号);
③设,,,则有;
④用指数函数理解等比数列(当时)的通项公式.
四、等差数列与等比数列的关系举例
1.成等差数列成等比数列;
2.成等比数列成等差数列.
五、数列求和方法:
1.等差数列与等比数列;
2.几种特殊的求和方法
(1)裂项相消法;
(2)错位相减法:
其中是等差数列,是等比数列
记;
则,…
(3)通项分解法:
六、递推数列与数列思想
1.递推数列
(1)能根据递推公式写出数列的前几项;
(2)常见题型:
由,求.解题思路:
利用
2.数学思想
(1)迭加累加(等差数列的通项公式的推导方法)若,则……;
(2)迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法)若,则……;
(3)逆序相加(等差数列求和公式的推导方法);
(4)错位相减(等比数列求和公式的推导方法).
4三角函数
一、三角函数的基本概念
1.终边相同的角的表示方法(终边在轴上;
终边在轴上;
终边在直线上;
终边在第一象限等),理解弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算;
2.任意角的三角函数的定义(三个三角函数)、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式(三个:
平方关系、商数关系、倒数关系),=,诱导公式(奇变偶不变,符号看象限:
二、两角和与差的三角函数
1.和(差)角公式
(1)=;
(2)=.
(3)=;
(4)=.
(5)=;
(6)=.
2.二倍角公式:
(1)=;
(2)===;
(3)=.
3.有用的公式
(1)升(降)幂公式:
、;
(2)辅助角公式:
(由具体的值确定);
(3)正切公式的变形:
4.有用的解题思路
(1)“变角找思路,范围保运算”;
(2)“降幂——辅助角公式——正弦型函数”;
(3)巧用与的关系;
(4)巧用三角函数线——数形结合.
三、三角函数的图象与性质
1.列表综合三个三角函数,,的图象与性质,并挖掘:
(1)最值的情况;
(2)三函数的周期公式:
函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期;
若ω未说明大于0,则;
函数,(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期.
(3)会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心;
的单调递增区间为单调递减区间为
,对称轴为,对称中心为
的单调递增区间为单调递减区间为,
对称轴为,对称中心为
的单调递增区间为,对称中心为
2.了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式.
(1)“五点法”作图的列表方式;
(2)求解析式时初相的确定方法:
代(最高、低)点法、公式.
3.正弦型函数的图象变换
注意图象变换有时用向量表达,注意两者之间的转译.
四、解三角形、
1.三个重要结论
(1)正弦定理:
(为三角形ABC的外接圆直径)或写成
(2)余弦定理:
,或写成
(3)三角形ABC面积公式:
2.在使用正弦定理时判断一解或二解的方法:
⊿ABC中,
5平面向量和空间向量
一、向量的基本概念
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.
二、加法与减法运算
1.代数运算
(1).
(2)若=(),=()则=().
2.几何表示:
平行四边形法则、三角形法则。
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量=+,
=-,=-.且有︱︱-︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱.
3.运算律
向量加法有如下规律:
+=+(交换律);
+(+)=(+)+(结合律);
+0=+(-)=0.
三、实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量。
1.︱︱=︱︱·
︱︱;
(1)当>0时,与的方向相同;
当<0时,与的方向相反;
当=0时,=0.
(2)若=(),则·
=().
2.两个向量共线的充要条件:
(1)向量与非零向量共线的充要条件是:
有且仅有一个实数,使得=.
(2)若=(),=()则∥.
四、平面向量基本定理
1.若、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得=+.
2.有用的结论:
若、是同一平面内的两个不共线向量,若一对实数,,使得+=0,则==0.
五、向量的数量积;
1.向量的夹角:
已知两个非零向量与,作=,=,则∠AOB=()叫做向量与的夹角(两个向量必须有相同的起点)。
2.两个向量的数量积:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,
则·
=︱︱·
︱︱cos.其中︱︱cos称为向量在方向上的投影.
3.向量的数量积的性质:
若=(),=()
(1)·
=·
=︱︱cos(为单位向量);
(2)⊥·
=0(,为非零向量);
(3)︱︱=;
(4)cos==.(可用于判定角是锐角还是钝角)
4.向量的数量积的运算律:
·
=·
()·
=(·
)=·
();
(+)·
+·
.
六、点P分有向线段所成的比
设P1、P2是直线上两个点,点P是上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数使=,叫做点P分有向线段所成的比。
2.位置讨论:
(1)当点P在线段上时,>0;
点P是线段P1P2的中点是.
(2)当点P在线段或的延长线上时,<0;
3.分点坐标公式:
若=;
的坐标分别为(),(),();
则,(≠-1),中点坐标公式:
4.三点共线定理:
若则A,B,C共线的充要条件是x+y=1
5.点的平移公式
(图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形上的对应点为,且的坐标为).
七、空间向量
1.空间两个向量的夹角公式
cos〈a,b〉=(a=,b=).
2.空间两点间的距离公式若A,B,则
=.
6不等式
一、不等式的基本性质与定理
1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系:
;
.
2.不等式的性质:
(1)或(反对称性)
(2)或(传递性);
(3)
推论1:
(移项法则);
推论2:
(同向不等式相加);
(4),
(5)();
(6)(倒数法则)
3.常用的基本不等式和重要的不等式
(1),当且仅当取“=”.
(2)(当且仅当时取“=”)
(3),则(当且仅当时取“=”)
——算术平均数,——几何平均数.
(4)(当且仅当时取“=”)
4、最值定理:
设得
(1)如积为定值,则当且仅当时有最小值;
(2)如和为定值,则当且仅当时有最大值.
即:
积定和最小,和定积最大.
运用最值定理求最值的三要素:
一正二定三相等.
5.含绝对值的不等式性质:
(注意等号成立的情况).
二、解不等式
1.一元一次不等式
(1);
(2).
2.
(1)一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;
如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:
同号两根之外,异号两根之间.
(2)重要结论:
解集为R(即对恒成立),则.(注:
若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证).
3.绝对值不等式:
(1)零点分段讨论,
(2)转化法:
(3)数形结合
4.指数不等式与对数不等式
(1)当时,;
.
(2)当时,;
5.高次不等式、分式不等式——序轴标根法(穿针引线法)
步骤:
①形式:
或(移项,一边化为0,不要轻易去分母);
②因式分解,化为积的形式(系数符号>
0——标准式);
③序轴标根;
④写出解集.
注意含参数的不等式的解的讨论.
四、一个有用的结论
关于函数:
1.时,当时;
当时.在、上是减函数;
在、上是增函数.
2.时,在、上为增函数.
7直线与圆
一、直线的基本量
1.两点间距离公式:
若,则
轴,则;
轴,则.
2.直线:
与圆锥曲线C:
相交的弦AB长公式
消去y得(务必注意),设A则:
3.直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角;
当时,直线的斜率.
(2)常见问题:
倾斜角范围与斜率范围的互化——右图
4.直线在轴和轴上的截距:
(1)截距非距离;
(2)“截距相等”的含义.
二、直线的方程:
直线方程的五种形式:
(1)点斜式(直线过点,且斜率为).
(2)斜截式(b为直线在y轴上的截距).
(3)两点式()(、()).
(4)截距式
(5)一般式(其中A、B不同时为0).
三、两条直线的位置关系:
(1)若,
②.
(2)若,,
五、点到直线的距离
1.点到直线的距离:
2.平行线间距离:
若、,则.
注意点:
x,y对应项系数应相等.且
六、圆:
1.确定圆需三个独立的条件
(1)标准方程:
,其中圆心为,半径为.
(2)一般方程:
(其中圆心为,
半径为.
2.直线与圆的位置关系:
设圆心C到直线l的距离为d,则相切d=r,相交d<
r,相离d>
r;
3.两圆的位置关系:
设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,则
外离d>
R+r,外切d=R+r,相交R-r<
d<
R+r,内切d=R-r,内含d<
R-r;
8圆锥曲线
一、椭圆,1.定义
(1)第一定义:
若F1,F2是两定点,P为动点,且(为常数)则P点的轨迹是椭圆。
(2)第二定义:
若F1为定点,为定直线,动点P到F1的距离与到定直线的距离之比为常数e(0<
e<
1),则P点的轨迹是椭圆。
2.标准方程:
(1)焦点在轴上:
;
焦点在轴上:
。
(焦点的位置标准方程形式)
3.几何性质(以焦点在轴上为例):
(1)范围:
、
(2)对称性:
长轴长=,短轴长=2b,焦距=2c
(3)离心率,准线方程
(4)有用的结论:
,,
,,
顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与有关.
(5)中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c,有关角结合起来,建立+、·
等关系
二、双曲线
若F1,F2是两定点,(为常数),则动点P的轨迹是双曲线。
若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e(e>
1),则动点P的轨迹是双曲线。
2.标准方程
焦点在轴上:
.
(2)焦点的位置标准方程形式
3.几何性质(以焦点在轴上为例)
或、
实轴长=,虚轴长=2b,焦距=2c.
(4)渐近线方程:
与此有关的结论:
若渐近线方程为双曲线可设为;
若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上;
,焦点在y轴上).
(5)当离心率两渐近线互相垂直,分别为y=,
此时双曲线为等轴双曲线,可设为;
(6)注意中结合定义与余弦定理,将有关线段、、和角结合起来。
三、抛物线
到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。
2.标准方程(以焦点在轴的正半轴为例):
(其中为焦点到准线的距离——焦参数);
3.几何性质
(1)焦点:
,通径,准线:
(2)焦半径:
,过焦点弦长.
(3)几何特征:
焦点到顶点的距离=;
焦点到准线的距离=;
通径长=(通径是最短的焦点弦),顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
(4)抛物线上的动点可设为P
四、直线与圆锥曲线的关系判断
1.直线与双曲线:
当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线仅有一个交点.
2.直线与抛物线:
当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线仅有一个交点.
9立体几何
一、直线、平面、简单几何体:
1、学会三视图的分析:
2、斜二测画法应注意的地方:
(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。
画直观图时,把它画成对应轴o'
x'
、o'
y'
、使∠x'
o'
=45°
(或135°
);
(2)平行于x轴的线段长不变,平行于y轴的线段长减半.(3)直观图中的45度原图中就是90度,直观图中的90度原图一定不是90度.
3、表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:
①表面积:
S=S侧+2S底;
②侧面积:
S侧=;
③体积:
V=S底h
⑵锥体:
S=S侧+S底;
V=S底h:
⑶台体①表面积:
S=S侧+S上底S下底②侧面积:
S侧=
⑷球体:
S=;
②体积:
V=
4、位置关系的证明(主要方法):
注意立体几何证明的书写
(1)直线与平面平行:
①线线平行线面平行;
②面面平行线面平行。
(2)平面与平面平行:
①线面平行面面平行。
(3)垂直问题:
线线垂直线面垂直面面垂直。
核心是线面垂直:
垂直平面内的两条相交直线
5、求角:
(步骤-------Ⅰ.找或作角;
Ⅱ.求角)
⑴异面直线所成角的求法:
平移法:
平移直线,构造三角形;
⑵直线与平面所成的角:
直线与射影所成的角
二、主要思想与方法
1.计算问题:
(1)空间角的计算步骤:
一作、二证、三算
异面直线所成的角