高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题Word格式.doc
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关键词：
回归曲线筛选数据避障路径解析几何matlab权重
散点图
一．问题重述
1.1背景资料与条件
某公司要在A、B、C、D四个地方选择2个地方用于物质M的储存，该物质M受分布在当地汞、铅、砷含量的影响比较显著，选出2个相对较优的地方储存物质M，使得四个地方所含重金属浓度最少。
最后选出的2个地方修路来运输物资，且在这2个地方正中间有土石障碍物，并给出一个更佳合理的修路方案。
1.2需要解决的问题：
1.2．1．问题一
针对该公司对四个地方所含重金属含量的权重，以及所给四个地方地理位置和各重金属含量的分布坐标，提出自己所设的方案。
在方案设计时，考虑到数据种类多的原因，
汞含量（g/m2）
<
0.1
0.1~0.5
0.5~2
>
2
对物质M的影响
较轻
中等
较重
M变质
铅含量（g/m2）
1.1
1.1~2.5
2.5~7
7
砷含量（g/m2）
0.01
0.01~0.04
0.04~0.1
应筛选出有用的数据来进行分析并做出合理猜想。
1.2.2问题二
我们需要选出合理的方案并充分利用筛选出的重金属权重坐标数据，据此，我们要使得权重数据离四个地方坐标值最近的有效得理方案。
1．2.3问题三
在考虑到运输修路的实际问题中，两地选出最佳路径，使得费用最少来设计出一条合理有效的最佳方案（不允许打隧道）。
二．问题分析
问题的重要性分析通过分析统计数据，做散点图，拟合出汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量坐标与的A、B、C、D周围地方曲线，就能解决此问题，
问题的思路分析
2.1.认真阅读题目，从已知A、B、C、D周围地方的汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量，以及他们的空间坐标位置数据（x，y）,在文本中整理相关数据放在矩阵中，再用Matlab软件中以影响物的权重数据筛选最重要的数据，进行合理分析，并把筛选出来的数据归为对M变质（BZ）、较重（JZ）、中等（ZD）、较轻（JQ）（可忽略对M的影响）所对应的地点（空间坐标值）。
最后根据权重的大小，筛选出最为有效变质数据。
2．2在A,B,C,D空间坐标（Q，T）与汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据所对应的坐标值（x,y）中，先总体用回归曲线画出这两者的散点图，分析出在A、B、C、D四个地方与回归曲线的位置关系，判断出离曲线最远的两个位置点。
再对M变质（BZ）、较重（JZ）、中等（ZD）数据做进一步判断，最后选出出对于物质M影响较小的2个地方位置。
2.3.认真分析第二题的运输修路问题，给出多种方案，并从中选出有效合理最佳方案
三、问题假设
1假设A、B、C、D周围地方的汞、铅、砷三种物质不发生化学反应（质量不变）；
2假设A,B,C,D四地与汞、铅、砷三种物质的位置不发生变化；
3假设汞、铅、砷三种物质对M影响较轻可忽略不计。
4假设在修路同时没有安全隐患（物质汞、铅、砷等有害物质对人体没有影响以及在法律允许的范围内）
5假设修路所设计的方案所用材料完全一样。
四、名词解释及符号说明
A
（160,495）空间坐标值/A地点
B
（460,120）空间坐标值/B地点
C
（550,650）空间坐标值/C地点
D
（800,800）空间坐标值/D地点
Q
A、B、C、D的横坐标值
T
A、B、C、D得纵坐标值
G
汞的含量
铅的含量
S
砷的含量
BZ
对M的变质点坐标所对应地点
JZ
对M的较重点坐标所对应地点
ZD
对M的中等点坐标所对应地点
JQ
对M的较轻点坐标所对应地点
x1
筛选出的变质横坐标
x2
筛选出的较重横坐标
x3
筛选出的中等横坐标
y1
筛选出的变质纵坐标
y2
筛选出的较重纵坐标
y3
筛选出的中等纵坐标
C、D
障碍物点
五、模型的建立及求解
问题一
从汞、铅、砷对该物质的影响的表与已知A、B、C、D周围地方的汞、铅、砷的含量以及他们的空间坐标位置表中整理出相关数据。
表1
表2
地点
X（m）
Y（m）
汞（g/m2）
铅（g/m2）
砷（g/m2）
A
160
495
B
460
120
C
550
650
D
800
1
500
600
0.12
0.58
0.022
2
700
0.201
6.88
0.045
3
900
350
1.652
6.551
0.008
4
622
601
1.3
2.475
0.002
5
560
720
0.68
5.36
0.039
6
561
0.051
3.335
0.009
7
753
381
1.87
7.005
0.005
8
710
0.505
1.15
0.087
9
50
0.112
3.254
0.02
10
100
0.874
6.301
11
130
6.775
17.354
1.252
12
1.22
0.98
0.054
13
200
0.35
1.58
0.036
14
391
0.108
1.32
0.068
15
80
470
6.65
0.088
16
450
2.01
2.877
0.101
17
150
401
0.03
3.874
18
221
0.2
2.64
19
2.68
0.006
20
390
0.338
0.007
21
490
81
1.16
0.0587
22
510
115
1.802
3.425
23
190
0.13
4.024
0.0469
用Excel表格与文本文档整理数据如下：
Q=[160460550800];
T=[495120650800];
x=[50050090062256055075360090010046010020039180200150450150390490510500];
y=[6007003506017205613817105090013055055020047045040122156010081115190];
G=[0.120.2011.6521.30.680.0511.870.5050.1120.8746.7751.220.350.1080.122.010.030.20.580.3381.161.8020.13];
Q=[0.586.886.5512.4755.363.3357.0051.153.2546.30117.3540.981.581.326.652.8773.8742.642.680.986.653.4254.024];
S=[0.0220.0450.0080.0020.0390.0090.0050.0870.020.0091.2520.0540.0360.0680.0880.1010.0090.030.0060.0070.05870.1010.0469];
再用matlab从各点重金属含量中筛选出适合表1的数据，最终如下所示:
1：
汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据影响M变质的地点：
BZ=
7111111161622
【Q,T】=（753,381），（460,130），（200,450），（510,115）
2:
汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据影响M较重的地点：
JZ=
Columns1through15
22334556788910
1012
Columns16through30
12141515161718191921212122
2223
Column31
23
汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据影响M中等的地点：
ZD=sort（result）
ZD=
1124589913131314141518
Columns16through18
182023
问题二
1.猜想一：
用matlab画出表2中汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据影响的地点与A,B,C,D四点散点图，发现回归曲线与A,B地点较近，则猜想C,D为最优点
猜想二：
再用matlab画出筛选占权重较大的变质数据与四点坐标回归曲线，不难看出A,B点最接近回归曲线，则更加猜测C,D为最优点
问题三
方案1
猜想一：
具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：
一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。
（即问题分析中的拉绳子拉到最紧时的状况）
平面中有A（a，0）和B（-a，0）两点，中间有一个半圆形的障碍物，证明从A到B的最路径为|AcB|。
方案2
|caod|=2*（a+40）+pi*100*1/2
方案3
六．模型的评价与推广
建立因变量与自变量（x1，、、、xi）间的回归模型（经验公式）
可以很好的找出各点坐标的走势和各点的关系。
对建模数据多的，有联系，可以画出关于该模型的相关回归曲线，并能推测出未知的数据值。
七．参考文献
[1]袁新生邵大宏郁时炼.《LINGO和EXCEL在数学建模中的应用》第一版.2007科学出版社.2008.1
[2]
[3]
韩中庚陆宜清周素静.《数学建模实用教程》第一版.2012高等
教育出版社.2012.3
[4]尤承业，解析几何，北京，北京大学出版社，2004
[5]周培德，计算几何—算法与设计，北京清华大学出版社，2005
九、附录
plot（Q,T,'
*'
x,y,'
+'
）
Q=[160460550800];
plot（Q,T,'
筛选变质
g=find（G（1,:
）>
2）
q=find（Q（1,:
7）
s=find（S（1,:
0.1）
result=[g,q,s]
g=
1116
q=
711
s=
111622
result=
1116711111622
BZ=sort（result）
）<
=2&
G（1,:
0.5）
=7&
Q（1,:
2.5）
=0.1&
S（1,:
0.04）
result=[g,q,s];
345781012192122
23569101516171819212223
281214152123
JZ=sort（result）
223345567889101012
121415151617181919212121222223
=0.5&
=2.5&
1.1）
=0.04&
0.01）
129131415182023
481314
1591318
各点对四地的距离
x=[50050090062256055075360090010046010020039180200150450150390490510500]'
;
X=[ones（23,1）x];
Y=[6007003506017205613817105090013055055020047045040122156010081115190]'
[b,bint,r,rint,stats]=regress（Y,X）;
b,bint,stats
rcoplot（r,rint）
z=b
（1）+b
（2）*x;
figure,plot（x,Y,'
k+'
x,z,'
r'
Q,T,'
b=
550.2731
-0.3048
bint=
332.9366767.6096
-0.74250.1329
stats=
1.0e+004*
0.00000.00020.00005.6438
较严重地对各地的影响
x1=[753460200510]'
X=[ones（4,1）x1];
Y=[381130450115]'
337.4030
-0.1423
1.0e+003*
-0.83701.5119
-0.00240.0021
升级会员 