离散数学高等教育出版社版答案(第一部分)文档格式.docx
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真值为1.
(3)2.5是自然数.
2.5不是自然数.p:
2.5是自然数.q:
2.5不是自然数.其否定式q的真值为1.
(4)ln1是整数.
ln1不是整数.p:
ln1是整数.q:
ln1不是整数.其否定式q的真值为1.
4.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)2与5都是素数
p:
2是素数,q:
5是素数,符号化为pq∧,其真值为1.
(2)不但π是无理数,而且自然对数的底e也是无理数.
π是无理数,q:
自然对数的底e是无理数,符号化为pq∧,其真值为1.
(3)虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数.
2是最小的素数,q:
2是最小的自然数,符号化为pq∧¬
,其真值为1.
(4)3是偶素数.
3是素数,q:
3是偶数,符号化为pq∧,其真值为0.
(5)4既不是素数,也不是偶数.
4是素数,q:
4是偶数,符号化为¬
∧¬
pq,其真值为0.
5.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)2或3是偶数.
(2)2或4是偶数.
(3)3或5是偶数.
(4)3不是偶数或4不是偶数.
(5)3不是素数或4不是偶数.
答:
p:
2是偶数,q:
3是偶数,r:
3是素数,s:
4是偶数,t:
5是偶数
(1)符号化:
pq∨,其真值为1.
(2)符号化:
pr∨,其真值为1.
(3)符号化:
rt∨,其真值为0.
(4)符号化:
¬
∨¬
qs,其真值为1.
(5)符号化:
rs,其真值为0.
6.将下列命题符号化.
(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.
小丽从筐里拿一个苹果,q:
小丽从筐里拿一个梨,符号化为:
pq∨.
(2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.
答:
刘晓月选学英语,q:
刘晓月选学日语,符号化为:
(¬
∧∨∧¬
pq) (pq).
7.设p:
王冬生于1971年,q:
王冬生于1972年,说明命题“王冬生于1971年或1972
年”既可以化答:
列出两种符号化的真值表:
p
q
1
根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.
8.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)只要,
就有
;
(2)如果,
则
(3)只有,
才有
(4)除非,
(5)除非,
否则
(6)仅当
.
设p:
:
;
设
q:
符号化
真值
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
9.设p:
俄罗斯位于南半球,q:
亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7).
根据题意,p为假命题,q为真命题.
自然语言
只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多
只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球
只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多
只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就不是最多
只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就位于南半球
只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就不是最多
(7)
只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就不位于南半球
10.设p:
9是3的倍数,q:
英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值:
(4).
根据题意,p为真命题,q为假命题.
9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻
9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻
9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻
9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻
11.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:
(1)若2+2=4,则地球是静止不动的;
(2)若2+2=4,则地球是运动不止的;
(3)若地球上没有树木,则人类不能生存;
(4)若地球上没有水,则是无理数.
命题1
命题2
p:
2+2=4
地球是静止不动的
地球上有树木
人类能生存
12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:
(1)2+2=4当且仅当3+3=6;
(2)2+2=4的充要条件是3+36;
(3)2+24与3+3=6互为充要条件;
(4)若2+24,则3+36,反之亦然.
2+2=4,q:
3+3=6.
13.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值:
(1)若今天是星期一,则明天是星期二;
(2)只有今天是星期一,明天才是星期二;
(3)今天是星期一当且仅当明天是星期二;
(4)若今天是星期一,则明天是星期三.
今天是星期一,q:
明天是星期二,r:
明天是星期三.
真值讨论
不会出现前句为真,后句为假的情况
必然为1
若p为真,则真值为0;
若p为假,则真值为1
14.将下列命题符号化:
(1)刘晓月跑得快,跳得高;
(2)老王是山东人或者河北人;
(3)因为天气冷,所以我穿了羽绒服;
(4)王欢与李乐组成一个小组;
(5)李欣与李末是兄弟;
(6)王强与刘威都学过法语;
(7)他一面吃饭,一面听音乐;
(8)如果天下大雨,他就乘班车上班;
(9)只有天下大雨,他才乘班车上班;
(10)除非天下大雨,否则他不乘班车上班;
(11)下雪路滑,他迟到了;
(12)2与4都是素数,这是不对的;
(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的.
命题3
刘晓月跑得快
刘晓月跳得高
-
老王是山东人
老王是河北人
天气冷
我穿羽绒服
王欢与李乐组成一个小组
李辛与李末是兄弟
王强学过法语
刘威学过法语
他吃饭
他听音乐
(8)
天下大雨
他乘车上班
(9)
(10)
(11)
下雪
路滑
r:
他迟到了
(12)
2是素数
4是素数
(13)
15.设p:
2+3=5.
q:
大熊猫产在中国.
太阳从西方升起.求下列符合命题的真值:
解:
p真值为1,q真值为1,r真值为0.
(1)0,
(2)0,(3)0,(4)1
16.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值:
17.判断下面一段论述是否为真:
“是无理数.并且,如果3是无理数,则也是无理数.另
外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”
是无理数
3
是无理数s:
6能被2整除t:
6能被4整除
符号化为:
,该式为重言式,所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:
“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”解:
小王会唱歌。
小李会跳舞。
真值为1. 真值为0.可得,p真值为1,q真值为0.
所以,小王会唱歌,小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
(2)p
r
此式为重言式
(p
此式为可满足式
此式为矛盾式
s
20.求下列公式的成真赋值:
(4)解:
由真值表得:
(1)的成真赋值是01,10,11
(2)的成真赋值是00,10,11
(3)的成真赋值是00,01,10(4)的成真赋值是01,10,11
21.求下列各公式的成假赋值:
(3)解:
(1)的成假赋值是011
(2)的成假赋值是010,110
(3)的成假赋值是100,101
22.已知公式是矛盾式,求公式 成真和成假赋值.
∵是矛盾式∴ 也是矛盾式。
由此可得:
该式无成真赋值。
而成假赋值为:
000,001,010,011,100,101,110,111
23.已知公式是重言式,求公式 的成真和成假赋值.
∵是重言式,∴ 也是重言式。
该式无成假赋值。
而成真赋值为:
24.已知是重言式,试判断公式 及
的类型.
∵是重言式,而要使该式为重言式,其成真赋值只有
11,∴都是重言式。
25.已知是矛盾式,试判断公式 及
∵是矛盾式,而要使该式为矛盾式,其成假赋值
只有00,∴都是重言式。
26.已知是重言式, 是矛盾式,试判断及
是矛盾式。
是重言式。
27.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,证明:
是重言式当且仅当A和B都是
重言式.
A
B
由真值表可得,当且仅当A和B都是重言式时,是重言式。
28.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,已知是矛盾式,能得出A和B都是
矛盾式的结论吗?
为什么?
同样由真值表可得,的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。
29.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,证明:
是矛盾式当且仅当A和B都
是矛盾式.
由真值表可得,当且仅当A和B都是矛盾式时,是矛盾式。
30.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,已知是重言式,能得出A和B都是
重言式的结论吗?
由真值表可得的成真赋值有01,10,11.所以无法得到A和B都是重言式。
习题二
1.设公式Apq=→,Bpq=∧¬
,用真值表验证公式A和B适合德摩根律:
¬
∨⇔¬
(AB) AB
∨(AB)
AB
2.公式A和B同题
(1),用真值表验证公式A和B适合蕴涵等值式.
AB→⇔¬
∨AB
AB→
3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.
(1)¬
∧→(pqq)
原式=¬
∧∨((pqq) )
=¬
∨(pqq)
=0是矛盾式.
4.用等值演算法证明下面等值式.
(1)p⇔∧∨∧¬
(pqpq)( )答:
右式=pqq∧∨¬
( )=p∧1=p
(2)((pq→∧→⇔→∧)(pr))(p(qr))答:
右式=¬
∨∧pqr()=(¬
∨∧¬
∨pq)(pr)=(pqpr→∧→)())=左式
(3)¬
↔⇔∨∧¬
∧(pq)(pq)(pq)答:
左式=¬
∨∨¬
(pq)(pq)
=(p∨¬
∧∧¬
∨¬
∧(pq)) (q(pq))
=(pq∨∧¬
∧) (pq)
(4)(pq∧¬
∧⇔∨∧¬
∧)(pq)(pq)(pq)答:
左式=(p∨¬
∧(pq))(q(pq))
5.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(1)(¬
p→q)→(¬
q∨p)
(¬
→→¬
∨=∨→¬
∨=¬
∨∨¬
∨pq) (qp) (pq) (qp) (pq) (qp)
=(¬
∧∨¬
∨∧∨¬
pq) (qpp( )) (pqq( )
=(pq∧∨∨¬
=∨∨) (pp) (pqmmm) 0 2 3成真赋值为00,10,11.
(2)¬
(p→q)∧q∧r答:
→∧∧=¬
∨∧∧=∧¬
∧∧=(pqqr) (pqqrpqq) 0
所以为矛盾式。
(3)(pqr∨∧→∨∨( )) (pqr)
答
(pqr∨∧→∨∨=¬
∨∧∨∨∨=¬
∧∨∨∨( )) (pqr) (pqr( )) (pqr) (p(qr)) (pqr)
=(¬
∧¬
∨∨∨=¬
∨∨∨p(qr)) (pqr) (pq) (pr) (pqr)
pqrr( ) (pqq( ) r) (pqqrr( ) ( ))
∨∨¬
∧∧∨¬
∨((ppqrr) ( )) ((ppqqr∨¬
∧) ( ) )
∧∨¬
pqr) (pqr∧¬
∧∧¬
∨∧∧∨∧¬
∧∨) (pqr) (pqr) (pqr)
(pqr∧∧¬
∨∧¬
∧∧=∨∨∨∨∨∨∨) (pqr) (pqrmmmmmmmm) 0 1 2 3 4 5 6 7所以是重言式,真值为000,001,010,011,100,101,110,111.
6.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(1)¬
(q→¬
p)∧¬
p答:
→¬
=¬
=∧∧¬
=(qp)p(qp)pqpp0,是矛盾式,所有赋值均为成真赋值。
(2)(p∧q)∨(¬
p∨r)答:
(pq∧∨¬
∨=∨¬
∨=¬
∨∨=) (pr) (pprqpr) ( ) (pqrM) 4,成假赋值为100.
(3)(p→(p∨q))∨r答:
(p→∨∨=¬
∨∨∨=(pqr)) (ppqr( )) (ppqr1,所以为重言式。
所
有赋值均为成真赋值。
7.求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式:
(1)(p∧q)∨r答:
(pqrpqrr∧∨=∧∧∨¬
∨) ( ( )) ((ppqqr∨¬
=(pqrr∧∧∨¬
∨( )) ((ppqqr∨¬
=(pqr∧∧∨∧∧¬
∧∧∨¬
∧) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr)
=mmmmmMMM1∨∨∨∨3 5 6 7=0∧2∧4
(2)(p→q)∧(q→r)
(pqqr→∧→=¬
∨∧) ( ) (pq) (qr) (pq) (prqqqr) ( ) ( )
∧∨pqrr( )) (pqqr( ) ) ((ppqr∨¬
∧∧) )
∧∧∨∧∧pqr) (pqr) (pqr) (pqr)
=mmmmMMMM0∨∨∨1 3 7=2∨4∨5∨6
8.求下列公式的主合取范式,再用主合取范式求主析取范式:
(1)(p∧q)→q答:
(pq∧→=¬
∧∨=¬
∨==∨∨∨)q (pqqpqq) 1mmmm0 1 2 3
为重言式。
(2)(pq↔→)r答:
(pq↔→=¬
∨)r ((pq) (pqr)) ((pq) (pqr))
=((¬
∧∨∨=¬
∨∧∨∨pq) (pqr)) (pqr) (pqrMM)=0∧6
=mmmmmm1∨∨∨∨∨2 3 4 5 7
→∧∧(rppq)答:
→∧∧=∧¬
∧∧(rppqrppq)
=MMMMMMMM0∧∧1 2∧3∧4∧5∧6∧7
=0
因此为矛盾式.
9.用真值表求下面的公式的主析取范式.
(1)(pq∨∨¬
∧) (pr)
公式的真值表如下:
pq∨
∧pr
(pq∨∨¬