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3.1.1强排水桩复合地基固结研究 17

3.1.2粉喷桩复合地基固结研究 18

3.2存在的问题 19

小结 20

参考文献 20

ps：

关于复合地基的固结理论资料的收集有待进一步补充和完善

前言

荷载作用时土体中产生超孔隙水压力，在排水条件下随着时间发展土体中水被排出，超孔隙水压力逐步消散，土体中有效应力逐步增大，直至超孔隙水压力完全消散，这一过程称为固结。

土体在固结过程中，随着土中水的排出，土体孔隙比减小，土体产生压缩，体积变小，随着有效应力逐步增大，土体抗剪强度得到提高。

土体的固结规律相当复杂，它不仅取决于土的类别和状态，也随土的边界条件、排水条件和受荷方式等因素而异。

饱和土体的一维固结理论是Terzaghi（1925）首先提出的。

后来，Rendulic（1936）将Terzaghi的一维固结理论推广到二维和三维情况，得到Terzaghi-Rendulic固结理论。

这个理论除了保留Terzaghi一维固结理论的假定条件外，还假定在排水固结过程中，土中一点总应力之和保持不变，即未考虑应力与应变需要满足的相容条件。

Biot（1941）进一步研究了三向变形材料与孔隙压力的相互作用，直接从弹性理论出发，确保土中应力和应变满足相容条件，得到了比较完善的三维固结方程。

Terzaghi和Biot的固结理论均是建立在无限小应变的前提下，对更一般的情况，Schiffa（1980）总结了前人的研究成果，提出了一个更为普遍的固结理论表达式，它不仅考虑了应力-应变的非线性关系、渗透性随有效应力的变化，而且考虑了大应变的情况，Teraghi固结方程和Biot固结方程都是这一普遍关系式的特殊情况。

另外，Barron（1948）在Terzaghi单向固结理论的基础上，建立了轴对称固结基本微分方程，并导出其解析解，在砂井地基设计中得到广泛应用。

几十年来，固结理论的发展，主要围绕着以下几个方面：

1.随着土体微观结构性研究的发展，对土体本构模型进行修正，假设不同土体材料的模式，而得到不同的物理方程：

（1）土骨架假设为弹性的〔各向同性与各向异性的），塑性的，粘弹性的（线性与非线性以及它们的各种组合；

（2）土中流体假设为不可压缩的，线性粘滞体的，可压缩的；

（3）土骨架与流体间相互作用的不同考虑等。

2.进一步针对不同的土体特性、土层分布、边界条件、排水条件以及加荷方式等，对原有的Terzaghi固结方程、Biot固结方程进行修正并求解。

3.在运用数学工具推导固结方程的解析解的同时，借助各种数值计算方法对固结问题进行半解析或者数值研究。

1天然地基固结理论

1.1Terzaghi一维固结理论

早在1925年，Terzaghi就提出了著名的有效应力原理，并据此建立了一维固结理论[1]，获得了一定的初始条件和边界条件下的解析解。

由于对实际情况作了很多近似的假定，用一维固结理论来计算工程实际问题常有较大的误差。

然而由于它简单、运用方便，且尚未有更合适、简便的方法代替它，目前各国估计沉降速率和孔隙压力消散的常规方法还是依赖于它。

后来，Rendulic（1936）将Terzaghi的一维固结理论推广到二维、三维情况，得出Terzaghi-Rendulic扩散方程[2]。

其应用表明，对于简单的几何形状和边界条件，可以求得扩散情况的解析解。

对较复杂的边界条件和几何形状需要采用数值解法。

事实上从40年代开始，人们已开始借助有限差分法对较复杂的边界条件和几何形状求解。

Zhangjingde,AiZhiyong,ZhaoHuming等（1996）采用加权残值法对二维和三维Terzaghi固结问题进行了分析求解[3]。

1.1.1Terzaghi一维固结方程及其修正

Terzaghi在其一维固结理论中做了如下基本假定：

1.土是均质的、完全饱和的理想弹性材料；

2.土体变形是微小的；

3.土颗粒和孔隙水是不可压缩的；

4.孔隙水渗流服从Darcy定律，渗透系数为常数；

5.荷载一次瞬时施加并维持不变，土体承受的总应力不随时间变化；

6.土体中只发生竖向压缩变形和竖向孔隙水渗流。

最后推导得出的一维固结基本微分方程如下：

（1-1）

u—超静孔压；

Cv—固结系数，

；

e0—土体初始孔隙比。

定义初始条件和边界条件为：

u0—初始孔隙水应力；

H—压缩层厚度。

用分离变量法得方程解析解：

（1-2）

其中：

Tv为时间因素，。

黄文熙在文献［4］中提供了一个反映一维固结过程的普遍方程。

该方程综合考虑了外加荷重随时间变化，以及土的渗透性随时间变化等等可能遇到的情况，并认为Terzaghi一维固结方程其实是普遍方程在H＝常数，△p=0及k=常数时的特例，是一维固结理论研究中的一种简单而特殊的情况。

（1-3）

1.荷重随时间的变化

将△P=P（t）,k＝常数，H＝常数代入式（1-3）,得到相应的固结微分方程:

（1-4）

Olson（1970）给出了上式的解［4］。

2.土层厚度随时间的变化

由于外荷重的增量△P=0,假设渗透系数k=常数，而土层厚度增长规律是H=H（t），故该式变为:

（1-5）

其中，土层沉积厚度变化有两种情况，

前者有解析解，Gibson（1958）对此已给出详细解答［5］；

后者只有数值解。

3.变形指标随深度变化

令△P=0,H＝常量，固结微分方程可以由普遍方程得到：

（1-6）

并且，

显然，求解复杂条件下的固结微分方程较为困难。

当不能用解析法求得解答时，可以考虑采用差分法、半解析法等。

1.2.2Terzaghi固结理论研究现状

多年来，一维固结理论获得了较大进展，研究方向侧重于对Terzaghi基本假设的修正。

例如，考虑土的有关性质指标在固结过程中的变化，压缩土层的厚度随时间改变，非均质土的固结以及固结荷重为时间的函数等。

这些修正，使得计算模型能更准确的反映土体的固结过程。

Terzaghi固结理论是建立在土体为线弹性变形的假定条件下的，而实际土体通常为非线性变形体。

Gibson等人（1967）提出了一维有限非线性应变固结理论［6］，它考虑了土体压缩性和渗透性与孔隙比的非线性变化，以及土体自重应力等方面的因素。

Gibson和Schiffman等人（1981）用有限非线性应变固结理论分析厚层粘土的固结过程时发现，如果考虑土体的非线性，则求得的同一层土的固结速率比用Terzaghi理论推求的要快［7］。

窦宜、蔡正银等人（1992）曾对Gibson建立的一维有限非线性应变固结理论得出了简化条件下的解析解［8］。

Gray［9］早在1945年即给出一维固结成层地基在瞬时加荷条件下的解析解。

SchiffmanandStein［10］试图通过引用经典的Terzaghi固结理论来模拟成层体系。

谢康和［11］［12］

求解出变荷载下任意层地基一维固结问题完整的解析解，从而使成层地基固结理论趋于完善。

但是这些解析解很复杂，因此在实际设计中很少采用。

计算成层地基平均固结度U现有简化方法有加权固结系数法和平均指标法。

Wilson（1974）,Baligh（1978）等基于Terzaghi理论对矩形波载情况作了详尽的分析［14，15］，吴世明等（1988）推导了以积分形式表达的任意荷载的一维固结方程的通解［16］，这些都是针对单层弹性地基情况，蔡袁强等（1998）推导了弹性多层地基在循环荷载下的一维固结方程通解［17］。

当固结应变达到40%以上时Terzaghi一维固结理论的小应变假定不再适用，一维大变形固结理论始于1960年，Mikasa［18］和Gibson［7］被认为是这一领域的开拓者，他们都致力于把小变形固结理论推广到更普遍的大变形固结理论。

大变形固结理论沿着两个方向发展，一方面，基于Mikasa和GIibson等人的理论，进行理论的完善和数值求解及试验验证；

另一方面，随非线性连续介质力学的发展，建立在其基础之上的有限元分析也不断取得进展［19]。

OlsonandLadd（1979）指出，一维固结微分方程进行差分求解时，如果考虑土层厚度的变化就可以自动处理大变形固结问题［20］。

1.2Biot固结理论

Biot（1941）考虑了固结过程中孔隙压力和骨架变形之间的依赖关系，根据有效应力原理、土的连续条件和平衡方程，提出了Biot固结理论［21］，并求得条形荷载下半无限地基固结问题的解答［22］。

Biot固结理论与Tezaghi-Rendulic固结理论的主要区别在于［23］,前者考虑了固结过程中土体平均总应力随时间的变化，而后者则假定在固结过程中土体平均总应力保持不变。

Cryer（1963）在Mandol（1953）的研究基础上，采用球状试样的固结试验发现了Mandol-Cryer效应，并被Gibson（1963）和De.Jong（1965）的所证实，Terzaghi-Rendulic理论中未显示出此效应，而Biot固结理论则能描述这种现象。

显然，Biot理论比Tezaghi固结理论及能更合理地反映土体的固结过程，但Biot理论理论的设计参数较多，由于岩土材料的复杂性，准确确定这些参数比较困难，按Biot方程求解固结问题的精确解相当麻烦，目前所见的Biot解析解只是在若干特殊情况下求得的。

因此，通常须用有限元等数值方法求解，而计算结果是否合理在很大程度上仍依赖于计算参数的取值，这些都限制了Biot固结理论在工程上的应用。

近十年来，电子计算机技术和有限元法的发展为Biot固结理论的应用提供了条件，使处理非均质材料、非线性应力-应变关系以及复杂的边界条件成为可能。

1.2.1Biot固结方程

Biot从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方程，其基本假定为：

1.土骨架变形是线弹性的；

2.变形为小变形；

3.土颗粒与孔隙水均不可压缩；

4.孔隙水渗流符合达西定律。

在土体中取一微分体，若体积力只考虑重力，Z坐标向上为正，压力以压为正，则三维平衡微分方程为：

（1-7）

式中，r为土的容重，应力为总应力。

根据有效应力原理：

（1-8）

上式可写为：

（1-9）

根据基本假定1，得到其物理方程为：

（1-10）

G，剪切弹性模量与泊松比。

根据基本假定2得到其几何方程为：

（1-11）

式中,w表示位移。

应力应变符号在土力学中习惯以压为正，以拉为负，故上式与一般弹性力学中几何方程的符号相反。

将式（1-11）代入式（1-10），再代入式（1-9）,就得到以位移和孔隙压力表示的平衡微分方程:

（1-12）

式中：

—Laplace算子。

此外，根据达西定律和饱和土的连续性得到以位移和孔压表示的连续性方程：

（1-13）

饱和土体中任一点的孔隙压力和位移随时间的变化，须同时满足平衡方程（1-12）和连续性方程（1-13），将两式联立起来，就是比奥固结方程。

它包括四个偏微分方程，也含四个未知数u，wx，wy，wz，它们都是坐标x，y，z和时间t的函数。

要求解出这些微分方程组，在数学上是困难的。

只有在特定的初始条件和边界条件下，如轴对称和平面应变中某些简单情况，才能推导出解析解。

1.2.2Biot固结理论解析解研究现状

1960年McNamee和Gibson引入位移函数并利用Laplace变换与Hankel变换求解了轴对称荷载作用下单层地基的Biot固结问题［24］。

R.E.Gibson，J.R.Booke获得了有限厚地基表面沉降的复变函数固结解［25］［26］。

Schiffman等人得到了空间一般荷载下单层地基的三维Biot固结解。

Vardoulakis（1986）等人应用McNamee等人提出的位移函数求解了多层地基的三维Biot固结问题［27］。

BookerandSmall（1987）两人按类似于矩阵位移法的思路求解了多层地基的二维和三维Biot固结问题[28]，至此Biot固结问题得到了解答。

黄传志等（1996）在假定下卧层是刚性的硬卧层的条件下，求得有限地基固结的全部解答［29］。

1.2.3Biot固结理论的数值研究现状

由上可见，要求解出Biot固结微分方程组，在数学上是困难的，只有在特定的初始条件和边界条件下，才能推导出解析解，因此，限制了固结问题在工程中的应用。

随着计算技术的发展，固结理论才重现出生命力，并应用于工程实践。

固结理论的数值分析方法主要有以下几种：

差分方法、有限单元法、边界元法、加权残值法、半解析方法、有限层法等。

现分述如下：

1.差分方法

差分方法是将研究区域用差分网格加以离散，用差分公式近似代替所求解微分方程中的导数，从而得到差分方程。

差分方程代表一代数方程组，以恰当方式求解后即可获得所研究课题的数值解。

赵维炳、钱家欢（1985）采用中心差分的形式对比奥固结问题进行了求解［30］。

但由于差分法要求网格的规则性等，目前在固体力学领域应用受到了一定的限制，主要集中在对时间域的处理上。

2.有限元方法

有限单元法是以研究区域的变分形式，离散所研究的区域，成为有限数目的单元。

Sandhu，Wilson（1969）首先提出用有限元来求解Biot固结方程［31］。

Sandhu等对位移取二次插值模式，对孔隙水压力则取线性模式，应用变分原理推出了Biot固结理论的有限元方程。

终于使冷落了近30年的Biot固结理论重新引起人们的注意，使其在实工际程中发挥作用。

Christian等人（1970）应用虚功原理也推出了Biot固结理论的有限元方程［32］。

J.C.Small&

J.R.Booker等采用拉普拉斯变换推导了Biot固结理论的有限元方程（1975）［33］，并证明了该方法的收敛性（1977）［34］。

ChristianandBochmer（1979）年结合有限元和有限差分法求解了Biot固结方程。

S.Nishizaki，I.Saito,A.Ohiro等（1982）对有限元计算时所采用的各种单元形态进行比较，得出采用四边形单元可使得孔压和位移计算均较高的结论［35］。

F.Zhou&

W.Wittke（1997）将修正剑桥模型，推广到三维（Cam3D），将其应用到固结分析，并对两个圆形基础的相互作用进行了分析［36］。

国内这方面研究的发展也很快：

沈珠江（1977）首先把Biot固结理论的有限单元法应用于固结分析，其中对位移和孔隙水压力都取线性模式，应用变分原理得到Biot固结理论的有限元方程，用以计算软土地基的变形［37］。

殷宗泽等（1978）根据流量平衡概念，结合虚位移原理也得到了类似的方程，以分析饱和粘土的平面固结问题［38］。

龚晓南（1984）采用等价结点流量等于等价结点压缩量的粘土饱和条件推导出Biot固结理论的连续方程，并与考虑K0固结的非线性本构模型结合起来分析了油罐地基的沉降［39］。

余志顽、赵维炳等将Biot固结理论推广到粘弹-粘塑性问题，采用有限单元法求解粘弹一粘塑性比奥固结问题［40］。

其它将各种土体的本构关系应用于Biot固结理论，采用有限单元法求解固结问题，多不胜数。

总之，近几年来，国内外根据Biot固结理论，应用有限元法求解地基固结问题得到愈来愈广泛的应用，产生了很好的社会和经济效益，有力地推动了土力学这一技术学科的发展。

但由于三维问题的复杂性（网格复杂、自由度成数量级的增加）和计算机容量、耗时的限制等，目前三维比奥固结问题虽有些报道，但离实用尚有很大的距离。

顺便指出的是，大连理工大学在固结问题有限元求解方法上，提出了参数二次规划理论和异步并行计算方法等，为有限元求解Biot固结问题提供了新的求解途径［41，42］。

3.有限层法

有限层方法（FiniteLayerMethod）从某种程度上讲是在有限条方法基础上的进一步完善和发展。

所谓有限条法是用位移逼近的有限单元法的一种特殊形式。

它使弹性力学三维问题化为二维问题，二维问题化为一维问题，最终使得工程结构总刚度矩阵大大降阶，节省内存，并且大大缩短计算时间。

有限层法是Y.K.Cheung（张佑启）&

S.Chakrabarti（1972）在有限条法的基础上提出的。

J.C.Small&

J.R.Booker于1979年首次采用有限条法分析了平面Biot固结问题［43］。

1982年建立有限层法求解土体主、次固结问题，算例采用的是平面应变问题［44］。

1988年采用有限层法计算了荷载随时间变化的土体Biot固结问题［45］。

应该讲J.C.Small&

J.R.Booker等为固结有限层理论作出了许多开创性的研究。

但由于采用的数学手段较为繁琐，虽然建立了较为完善的理论（二维和三维），但他们所采用的算例主要还是平面应变问题和轴对称问题，三维的算例尚不多见，限制了其发展

国内最早采用有限条法分析Biot固结问题的是顾尧章等（1987）［46］。

梅国雄在宰金珉指导下将有限层法运用于固结问题，推导了三维横观各向同性地基土Biot固结有限层求解格式，并推广到求解非线性固结问题［47，48，49］。

4.边界元法

边界元法是把物理课题所属区域上积分转化为区域边界上的积分，并利用离散技术求解边界积分方程的数值解。

国外，80年代以来，Prededeanu［50］,TakemiKuroki［51］以及C.Graeia-Suarea［52］在土体固结理论的边界元求解方面作出了许多的工作，Banerjee等在边界元求解固结问题上，作出了系统的研究工作，开发并不断完善二维和三维程序［53］。

国内，林丰、陈环等以土体的位移平衡方程及孔隙水体的连续性方程作为边界元的控制方程，应用直接列式法建立土体的孔隙水压力、位移及有效应力积分方程，从而推导了线性平面应变Biot固结理论的边界积分方程，并应用于真空和堆载作用下砂井地基固结分析［54］。

赵维炳、施建勇（1996）对边界元求解粘弹-塑性固结问题进行了理论上的探讨［55］。

但由于边界元的系数矩阵是满阵，导致计算存储量较大，未必能节省计算时间，以及处理非线性问题的不方便性等，致使目前边界元在处理固结问理上进展不大。

另外还有一些方法如加权残值法，半解析法等用在Biot固结问题的求解上,这里不赘述。

1.3考虑流变的固结问题

流变在土力学中的应用最早是在土的固结问题中。

起初在土力学的研究中，把与时间有关的问题都归结到土的固结中。

Terzaghi一维固结理论，Rendulic-Terzaghi固结理论，Biot固结理论将土体视为弹性体，而没有考虑土的粘滞性，即没有考虑土体在固结过程中变形的次时间效应。

然而许多工程实际都发现，上体不仅在超孔隙水压力完全消散之前产生固结沉降，即使在固结完成之后，即超静孔隙水压力完全消散之后，土体仍会产生一定量的沉降变形。

这使人们认识到土的骨架是具有粘滞性的粘弹性体。

1.3.1线性流变固结问题

TaylorandMerchant（1940）率先在固结分析中考虑了土的流变性质，提出了用Taylor和Merchant模型（即Kelvin模型）来模拟土骨架的变形［57］。

GibsonandLo（1961）采用三元件模型（即Merchant模型）来模拟土的流变特性，对一维线性流变固结问题进行了较深入的研究［58］。

其理论可较好的描述以下两种类型的土：

（1）随着时间的增加，土的次固结速率减小；

（2）在某一时刻之前次固结速率与时间的对数成正比，之后则迅速减小。

Lo（1961）发展了GibsonandLo（1961）的理论，使其还可以描述第三种类型的土［59］：

在某一时刻之前次固结速率随时间的增加而增长，之后则迅速减小直至为零。

并且认为所有的土都是以上三种类型土中的一种。

陈宗基（1958）将流变理论应用于固结分析，并在此基础上导出了固结方程及其解答［60，61］。

陈宗基模型从本质上来说是用一个Maxwell模型来模拟土骨架的变形。

其认为次时间效应的发生主要是因为剪应力的作用，且次时间效应在固结过程的初期就己开始。

门福录（1963）指出陈宗基的解答形式过于复杂，难以用于实际工程问题，并给出了一种求解一维线性流变固结理论的近似解［62］。

其方法把全部变形分成体积变形和畸变变形两部分，假定前者服从弹性定律，可用Terzaghi固结理论求解，而假定后者服从粘弹体定律，可用Lee氏比拟法进行求解。

徐志英（1964）对饱和粘土三维固结问题进行了理论分析［63］。

其理论除假定粘土的骨架具有Kelvin型的蠕变性质外，作了与Terzaghi三维固结理论相同的假定，即不考虑孔隙水压力消散与土骨架变形之间的耦合作用。

Xie等（1996）对半透水边界条件下的线性流变一维固结问题进行了研究，得到了相应的解析解答［64］，其流变模型采用三元件模型。

以上的研究都只能考虑荷载为常数的情况，而不能考虑荷载随时间变化。

王盛源（1981）运用Lee氏比拟法求解了变荷载下线性流变一维固结问题［65］，其采用的流变模型为三元件模型（即Merchant模型）。

赵维炳（1989）运用Laplace变换及逆变换求解了变荷载下线性流变一维固结问题［67］，提出运用广义Voigt模型来模拟土骨架的应力应变本构关系，并指出此模型适用于各种粘弹性土体。

Xie等（1997）采用三元件模型模拟土的流变特性，对循环荷载条件下的线性流变一维固结问题进行了研究，并给出了相应的解析解答［68］，指出循环荷载的形式对固结速率的影响非常明显。

以上的研究都仅限于单层地基的情况。

Leo&

Xie（2001）运用Lapiace变换及矩阵传递法求解了任意荷载下成层粘弹性地基一维固结问题［69］，此方法在作Laplace逆变