江苏高等数学竞赛历年试题(本一)文档格式.doc
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D
3.（）
A.等于1；
B.等于0；
C.等于；
D不存在
4.若都存在，则在（）
A.极限存在，但不一定连续；
B.极限存在且连续；
C.沿任意方向的方向导数存在；
D极限不一定存在，也不一定连续
5.设为常数，则级数（）
A.绝对收敛B.条件收敛；
C.发散；
D收敛性与取值有关
三（6分）设有连续导数，，求.
四（6分）已知函数由参数方程确定，求.
五（6分）设在上可微，且，证明存在一点，使得.
六（6分）设，，求.
七（6分）已知由方程确定，其中都是可微函数，求.
八（8分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的平面图形面积最小.
九（8分）求级数的和.
十（8分）设在上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：
.
十一（8分）已知两个球的半径分别为，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.
十二（8分）计算曲面积分，其中为曲面.
2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）
一.填空（每题5分，共40分）
1.，则，
2.设在上可导，下列结论成立的是
A.若，则在上有界B.若，则在上无界
C.若，则在上无界
3.设由确定，则.
4..
5.曲线，在点的切线的参数方程为.
6.设，有二阶连续导数，有二阶连续偏导数，则
7.交换二次积分的次序.
8.幂级数的收敛域.
二.（8分）设，求证.
三.（8分）设在上连续，，求证:
在内至少存在两个零点.
四.（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与所包围的立体的体积.
五.（9分）设为常数，试判断级数的敛散性，何时绝对收敛？
何时条件收敛？
何时发散？
六.（9分）设讨论在连续性，可偏导性与可微性.
七.（9分）设在可导，，求
八.（9分）设曲线的方程为，一质点在力作用下沿曲线从运动到，力的大小等于到定点的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角为锐角，求力对质点做得功.
2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）
1.时，与为等价无穷小，则
2.
3.
4.时
5.
6..
7.设可微，，，则.
8.设，为，则.
二．（10分）设在上连续，在内二阶可导，，，求证:
1）内至少存在一点使得；
2）内至少存在一点使得
三.（10分）设，在的边界上任取点,设到原点距离为，作垂直于，交的边界于
1）试将的距离表示为的函数；
2）求饶旋转一周的旋转体的体积.
四（10分）已知点,在平面上求一点，使最小.
五（10分）求幂级数的收敛域.
六（10分）求证：
，其中.
七（10分）设连续，可导，，为不含原点单连通域，任取，
内积分与路径无关.
（1）求；
（2）求其中为边界取正向.
2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）
1.，
4.已知点,为坐标原点，则四面体的内接球面方程为
5.设由确定，则
6.函数中常数满足条件时，为其极大值.
7.设是上从点到的一段曲线，时，曲线积分取最大值.
8.级数条件收敛时，常数的取值范围是
二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：
该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时.
三.（10分）曲线的极坐标方程为，求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程，并求切线与轴围成图形的面积.
四（8分）设在上是导数连续的有界函数，，求证：
五（12分）设锥面被平面截下的有限部分为.
（1）求曲面的面积；
（2）用薄铁片制作的模型，为上的两点，为原点，将沿线段剪开并展成平面图形，以方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出的边界的极坐标方程.
六（10分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为，求.
七（10分）1）设幂级数的收敛域为，求证幂级数的收敛域也为；
2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；
若不正确举一反例说明.
2008年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级）
一．填空题（每题5分，共40分）
1.，时，
2.，时在时关于的无穷小的阶数最高。
3.
4.通过点与直线的平面方程为
5.设则=
6.设为围成区域，则
7.设为上从到的一段弧，则=
8.幂级数的和函数为，收敛域为。
二．（8分）设数列为
证明：
数列收敛，并求其极限
三．（8分）设在上具有连续的导数，求证
四．（8分）1）证明曲面
为旋转曲面
2）求旋转曲面所围成立体的体积
五．（10分）函数具有连续的二阶偏导数，算子定义为
1）求；
2）利用结论1）以为新的自变量改变方程的形式
六．（8分）求
七．（9分）设的外侧，连续函数
，求
八．（9分）求的关于的幂级数展开式
2010年江苏省第十届高等数学竞赛试题（本科一级）
一.填空（每题4分，共32分）
1.
2.设函数可导，，则
3.，则
4.
6.圆的面积为
7.设可微，，则
8.级数的和为
二．（10分）设在上二阶可导，证明：
存在，使得
三．（10分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正方形的中点，
（1）试求过点的平面与底面所成二面角的值。
（2）试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知是等腰梯形，,求的长，使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分，其中
六．（12分）应用高斯公式计算，（为常数），其中.
七.（12分）已知数列，
记，判别级数的敛散性.
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（本一）
一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）
1、
2、则
3、
4、
5、函数皆可微，设则
6、设则
7、点到直线的距离为
8、级数为条件收敛，则常数的取值范围是
二、（每小题6分，共12分）
（1）求.
（2）设在处三阶可导，且求.
三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？
若存在，举一例，并证明满足条件；
若不存在，请给出证明.
（1）函数在处可导，但在的某去心邻域内处处不可导.
（2）函数在上一阶可导，为极值，且为曲线的拐点.
四、（10分）设函数在平面区域D上可微，线段位于D内，点的坐标分别为，求证：
在线段上存在点，使得
五、（12分）计算曲线积分，其中为与的交线，从轴正向看去为逆时针方向.
六．（12分）点在平面的两侧，过点作球面使其在平面上截得的圆最小.
（1）求球面的球心坐标与该球面的方程.
（3）证明：
直线与平面的交点是圆的圆心.
七．（12分）求级数的和.
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