数值分析上机题课后作业全部-东南大学Word文档下载推荐.docx
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从大到小的顺序累加得SN=0.749852
1.3运行结果
从小到大的顺序累加得SN=0.749900
10^6
0.749999
从小到大的顺序累加得SN=0.749999
1.4结果分析
按从大到小的顺序，有效位数分别为：
6，4，3。
按从小到大的顺序，有效位数分别为：
5，6，6。
可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。
当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。
因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.Chapter2
2.1题目
（1）给定初值及容许误差，编制牛顿法解方程f（x）=0的通用程序。
（2）给定方程,易知其有三个根
由牛顿方法的局部收敛性可知存在当时，Newton迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
试取若干初始值，观察当时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？
2.2程序
f（x）函数m文件：
fu.m
functionFu=fu（x）
Fu=x^3/3-x;
f'
（x）函数m文件：
dfu.m
functionFu=dfu（x）
Fu=x^2-1;
用Newton法求根的通用程序Newton.m
x0=input（'
请输入初值x0:
ep=input（'
请输入容许误差:
flag=1;
whileflag==1
x1=x0-fu（x0）/dfu（x0）;
ifabs（x1-x0）<
ep
flag=0;
end
x0=x1;
方程的一个近似解为：
%f\n'
x0）;
寻找最大δ值的程序：
Find.m
clear
eps=input（'
请输入搜索精度：
请输入容许误差：
k=0;
x0=0;
sigma=k*eps;
x0=sigma;
k=k+1;
m=0;
flag1=1;
whileflag1==1&
&
m<
=10^3
ep
flag1=0;
m=m+1;
x0=x1;
end
ifflag1==1||abs（x0）>
=ep
flag=0;
end
最大的sigma值为：
sigma）;
2.3运行结果
（1）寻找最大的δ值。
算法为：
将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。
运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。
Find
10^-6
0.774597
10^-4
0.774600
10^-2
0.780000
（2）运行Newton.m
在（-∞，-1）内取初值，运行结果如下：
X0
Xk
-1000
-1.732051
-500
-100
-10
-5
-2.5
-1.5
可见，在（-∞，-1）区间内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根-3。
在（-1，-δ）内取初值，运行结果如下：
-0.95
1.732051
-0.85
-0.8
-0.774598
可见，在（-1，-δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根3。
在（-δ，δ）内内取初值，运行结果如下：
-0.774596
0.000000
-0.55
-0.35
-0.15
0.05
0.25
0.45
0.65
0.774596
可见，在（-δ，δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根0。
在（δ，1）内取初值，运行结果如下：
0.774598
0.8
0.85
0.95
可见，在（δ，1）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根-3
在（1，+∞）内取初值，运行结果如下：
1.5
2.5
5
10
100
500
1000
可见，在（1，+∞）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根3
3.Chapter3
3.1题目
对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V，其中
（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元高斯消去法的通用程序；
（2）用所编程序线性方程组RI=V，并打印出解向量，保留5位有效数字；
（3）本题编程之中，你提高了哪些编程能力？
3.2程序
n=input（'
请输入线性方程组阶数:
n='
b=zeros（1,n）;
A=input（'
请输入系数矩阵：
A=\n'
b（1,:
）=input（'
请输入线性方程组右端向量：
b=\n'
b=b'
;
C=[A,b];
fori=1:
n-1
[maximum,index]=max（abs（C（i:
n,i）））;
index=index+i-1;
T=C（index,:
C（index,:
）=C（i,:
C（i,:
）=T;
fork=i+1:
n
ifC（k,i）~=0
C（k,:
）=C（k,:
）-C（k,i）/C（i,i）*C（i,:
end
%%回代求解
x=zeros（n,1）;
x（n）=C（n,n+1）/C（n,n）;
fori=n-1:
1
x（i）=（C（i,n+1）-C（i,i+1:
n）*x（i+1:
n,1））/C（i,i）;
方程组的解为:
%.5g\n'
x）;
3.3运行结果
运行程序，输入系数矩阵和方程组右端列向量。
运行过程与结果如下图所示：
P126T39
n=4
A=
[136.0190.8600;
90.8698.81-67.590;
0-67.59132.0146.26;
0046.26177.17]
b=
[-33.25449.7928.067-7.324]
-2957.4
4426.6
2495
-651.49
n=9
[31-13000-10000;
-1335-90-110000;
0-931-1000000;
00-1079-30000-9;
000-3057-70-50;
0000-747-3000;
00000-304100;
0000-50027-2;
000-9000-229]
[-1527-230-2012-7710]
-0.28923
0.34544
-0.71281
-0.22061
-0.4304
0.15431
-0.057823
0.20105
0.29023
可看出，算得的该线性方程组的解向量为：
[-0.289230.34544-0.71281-0.22061-0.43040.15431-0.0578230.201050.29023]
4.Chapter4
4.1题目
（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序；
（2）已知汽车门曲线型值点的数据如下：
i
3
4
6
7
8
9
Xi
Yi
2.51
3.30
4.04
4.70
5.22
5.54
5.78
5.40
5.57
5.70
5.80
端点条件为y0'
=0.8，y10'
=0.2，用所编程序求车门的3次样条插值函数S（x）,并打印出S（i+0.5），i=0,1，…，9。
4.2程序
digits（6）;
请输入节点数：
n='
xn=zeros（1,n）;
yn=zeros（1,n）;
xn（1,:
请输入节点坐标：
yn（1,:
请输入节点处函数值：
dy0=input（'
请输入左边界条件：
y’（x0）='
dyn=input（'
请输入右边界条件：
y’（xn）='
%====================求d====================%
d=zeros（n,1）;
h=zeros（1,n-1）;
f1=zeros（1,n-1）;
f2=zeros（1,n-2）;
n-1
h（i）=xn（i+1）-xn（i）;
f1（i）=（yn（i+1）-yn（i））/h（i）;
f2（i）=（f1（i）-f1（i-1））/（xn（i+1）-xn（i-1））;
d（i）=6*f2（i）;
d（i）=6*（f1
（1）-dy0）/h
（1）;
d（n）=6*（dyn-f1（n-1））/h（n-1）;
%====================求Mi====================%
A=zeros（n）;
miu=zeros（1,n-2）;
lamda=zeros（1,n-2）;
n-2
miu（i）=h（i）/（h（i）+h（i+1））;
lamda（i）=1-miu（i）;
A（1,2）=1;
A（n,n-1）=1;
n
A（i,i）=2;
A（i,i-1）=miu（i-1）;
A（i,i+1）=lamda（i-1）;
M=A\d;
%====================回代求插值函数====================%
symsx;
n-1;
Sx（i）=collect（yn（i）+（f1（i）-（M（i）/3+M（i+1）/6）*h（i））*（x-xn（i））+M（i）/2*（x-xn（i））^2+（M（i+1）-M（i））/（6*h（i））*（x-xn（i））^3）;
Sx（i）=vpa（Sx（i）,6）;
S=zeros（1,n-1）;
x=xn（i）+0.5;
S（i）=yn（i）+（f1（i）-（M（i）/3+M（i+1）/6）*h（i））*（x-xn（i））+M（i）/2*（x-xn（i））^2+（M（i+1）-M（i））/（6*h（i））*（x-xn（i））^3;
%====================打印结果====================%
S（x）='
formatshort;
fprintf（'
%s（%d<
x<
%d）\n'
char（Sx（i））,xn（i）,xn（i+1））;
disp（'
======================================================================'
S（i+0.5）'
）
ix（i+0.5）S（i+0.5）'
%d%.5f%.5f\n'
i,xn（i）+0.5,S（i））;
4.3运行结果
P195T37
n=11
[012345678910]
[2.513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80]
y’（x0）=0.8
y’（xn）=0.2
S（x）=
0.79*x+0.0158344*x^2-0.0158344*x^3+2.51（0<
1）
======================================================================
0.830013*x-0.0241785*x^2-0.00249676*x^3+2.49666（1<
2）
0.809832*x-0.0140879*x^2-0.00417854*x^3+2.51012（2<
3）
0.315407*x^2-0.178653*x-0.0407891*x^3+3.4986（3<
4）
6.9313*x-1.46208*x^2+0.107335*x^3-5.98133（4<
5）
4.1762*x^2-21.2601*x-0.26855*x^3+41.0043（5<
6）
53.8449*x-8.3413*x^2+0.426866*x^3-109.206（6<
7）
6.27011*x^2-48.435*x-0.268915*x^3+129.447（7<
8）
14.4854*x-1.59494*x^2+0.0587951*x^3-38.3403（8<
9）
13.2458*x-1.45831*x^2+0.053735*x^3-34.5615（9<
10）
S（i+0.5）
ix（i+0.5）S（i+0.5）
10.500002.90698
21.500003.67885
32.500004.38136
43.500004.98822
54.500005.38326
65.500005.72372
76.500005.59435
87.500005.43012
98.500005.65892
109.500005.73172
5.Chapter5
5.1题目
用Romberg求积法计算积分
-1111+100x2dx
的近似值，要求误差不超过0.5×
10-7。
5.2程序
%被积函数m文件：
fx.m
functionFx=fx（x）
Fx=1/（1+100*x*x）;
%Romberg求积法计算积分的通用程序
functionRomberg（）
a=input（'
请输入积分下限：
a='
b=input（'
请输入积分上限：
b='
请输入允许精度：
eps='
%========计算Tn========%
functionTn=T（n）
Tn=0;
h=（b-a）/n;
x=zeros（1,n+1）;
fork=1:
n+1
x（k）=a+（k-1）*h;
forj=1:
Tn=Tn+h*（fx（x（j））+fx（x（j+1）））/2;
%========计算Sn========%
functionSn=S（n）
Sn=4/3*T（2*n）-1/3*T（n）;
%========计算Cn========%
functionCn=C（n）
Cn=16/15*S（2*n）-1/15*S（n）;
%========计算Rn========%
functionRn=R（n）
Rn=64/63*C（2*n）-1/63*C（n）;
%========计算满足允许精度的Rn，并打印输出========%
i=1;
ifabs（R（2^i）-R（2^（i-1）））/255<
eps
flag=0;
i=i+1;
该积分的值为：
R（2^（i-1）））;
5.3运行结果
Romberg
a=-1
b=1
eps=0.5*10^-7
0.2942255
5.4结果分析
手动化简该定积分并最终求得的值为：
0.294225534860747，误差限为：
3.486×
10-8，可见，程序完成了计算要求。
6.Chapter6
6.1题目
常微分方程初值问题数值解
（1）编制RK4方法的通用程序；
（2）编制AB4方法的通用程序（由RK4提供初值）；
（3）编制AB4-AM4预测校正方法通用程序（由RK4提供初值）；
（4）编制带改进的AB4-AM4预测校正方法通用程序（由RK4提供初值）；
（5）对于初值问题
y'
=-x2y2y0=3
取步长h=0.1，应用
（1）-（4）中的四种方法进行计算，并将计算结果和精确解yx=3/（1+x3）作比较；
（6）通过本上机题，你能得到哪些结论？
6.2程序
%f（x，y）函
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