数值分析上机题matlab版东南大学.docx
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数值分析上机题matlab版东南大学
数值分析上机报告
第一章
一、题目
精确值为
。
1）编制按从大到小的顺序
，计算SN的通用程序。
2）编制按从小到大的顺序
，计算SN的通用程序。
3）按两种顺序分别计算
并指出有效位数。
（编制程序时用单精度）
4）通过本次上机题，你明白了什么？
二、通用程序
clear
N=input（'PleaseInputanN（N>1）:
'）;
AccurateValue=single（（0-1/（N+1）-1/N+3/2）/2）;
Sn1=single（0）;
fora=2:
N;
Sn1=Sn1+1/（a^2-1）;
end
Sn2=single（0）;
fora=2:
N;
Sn2=Sn2+1/（（N-a+2）^2-1）;
end
fprintf（'ThevalueofSnusingdifferentalgorithms（N=%d）\n',N）;
disp（'____________________________________________________'）
fprintf（'AccurateCalculation%f\n',AccurateValue）;
fprintf（'Caculatefromlargetosmall%f\n',Sn1）;
fprintf（'Caculatefromsmalltolarge%f\n',Sn2）;
disp（'____________________________________________________'）
三、求解结果
PleaseInputanN（N>1）:
10^2
ThevalueofSnusingdifferentalgorithms（N=100）
____________________________________________________
AccurateCalculation
Caculatefromlargetosmall
Caculatefromsmalltolarge
____________________________________________________
PleaseInputanN（N>1）:
10^4
ThevalueofSnusingdifferentalgorithms（N=10000）
____________________________________________________
AccurateCalculation
Caculatefromlargetosmall
Caculatefromsmalltolarge
____________________________________________________
PleaseInputanN（N>1）:
10^6
ThevalueofSnusingdifferentalgorithms（N=1000000）
____________________________________________________
AccurateCalculation
Caculatefromlargetosmall
Caculatefromsmalltolarge
____________________________________________________
四、结果分析
有效位数
n
顺序
100
10000
1000000
从大到小
6
3
3
从小到大
5
6
6
可以得出，算法对误差的传播又一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。
从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数算所得到的结果才比较准确。
第二章
一、题目
（1）给定初值
及容许误差
，编制牛顿法解方程f（x）=0的通用程序。
（2）给定方程
易知其有三个根
a）由牛顿方法的局部收敛性可知存在
当
时，Newton迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的
。
b）试取若干初始值，观察当
时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？
文件
%%定义函数f（x）
functionFx=fx（x）
Fx=x^3/3-x;
文件
%%定义导函数df（x）
functionFx=dfx（x）
Fx=x^2-1;
文件
%%Newton法求方程的根%%
clear
%%
ef=10^-6;%给定容许误差10^-6
k=0;
x0=input（'PleaseinputinitialvalueXo:
'）;
disp（'kXk'）;
fprintf（'0%f\n',x0）;
flag=1;
whileflag==1&&k<=10^3
x1=x0-fx（x0）/dfx（x0）;
ifabs（x1-x0）flag=0;
end
k=k+1;
x0=x1;
fprintf（'%d%f\n',k,x0）;
end
文件
%%寻找最大的delta值%%
clear
%%
flag=1;
k=1;
x0=0;
whileflag==1
delta=k*10^-6;
x0=delta;
k=k+1;
m=0;
flag1=1;
whileflag1==1&&m<=10^3
x1=x0-fx（x0）/dfx（x0）;
ifabs（x1-x0）<10^-6flag1=0;
end
m=m+1;
x0=x1;
end
ifflag1==1||abs（x0）>=10^-6flag=0;
end
end
fprintf（'Themaximundeltais%f\n',delta）;
二、通用程序
三、求解结果
1.运行文件
结果为：
Themaximumdeltais
即得最大的δ为，Newton迭代序列收敛于根
=0的最大区间为（，）。
2.运行文件
在区间
上各输入若干个数，计算结果如下：
区间
上取-1000，-100，-50，-30，-10，-8，-7，-5，-3，
PleaseinputinitialvalueXo:
-10000
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
PleaseinputinitialvalueXo:
-100
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
PleaseinputinitialvalueXo:
-50
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
PleaseinputinitialvalueXo:
-30
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PleaseinputinitialvalueXo:
-10
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PleaseinputinitialvalueXo:
-8
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PleaseinputinitialvalueXo:
-7
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
PleaseinputinitialvalueXo:
-5
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
PleaseinputinitialvalueXo:
-3
kXk
0
1
2
3
4
5
6
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
结果显示，以上初值迭代序列均收敛于，即根
。
在区间
即区间（-1，）上取，，，，，计算结果如下：
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
计算结果显示，迭代序列局部收敛于，即根
，局部收敛于，即根
。
在区间
即区间（，）上，由的运行过程表明，在整个区间上均收敛于0，即根
。
在区间
即区间（，1）上取，，，，，计算结果如下：
计算结果显示，迭代序列局部收敛于，即根
，局部收敛于，即根
。
区间
上取100，60，20，10，7，6，4，3，，计算结果如下:
]
结果显示，以上初值迭代序列均收敛于，即根
。
综上所述：
（-∞,-1）区间收敛于,（-1,δ）区间局部收敛于,局部收敛于,（-δ,δ）区间收敛于0,（δ,1）区间类似于（-1,δ）区间，（1,∞）收敛于。
通过本上机题，明白了对于多根方程，Newton法求方程根时，迭代序列收敛于某一个根有一定的区间限制，在一个区间上，可能会局部收敛于不同的根。
第三章
一、题目
列主元Gauss消去法对于某电路的分析，归结为求解线性方程组
。
其中
（1）编制解n阶线性方程组
的列主元高斯消去法的通用程序；
（2）用所编程序线性方程组
，并打印出解向量，保留5位有效数；
二、通用程序
%%列主元Gauss消去法求解线性方程组%%
%%参数输入
n=input（'PleaseinputtheorderofmatrixA:
n='）;%输入线性方程组阶数n
b=zeros（1,n）;
A=input（'InputmatrixA（suchasa2ordermatrix:
[12;3,4]）:
'）;
b（1,:
）=input（'Inputthecolumnvectorb:
'）;%输入行向量b
b=b';C=[A,b];%得到增广矩阵
%%列主元消去得上三角矩阵
fori=1:
n-1[maximum,index]=max（abs（C（i:
n,i）））;
index=index+i-1;
T=C（index,:
）;
C（index,:
）=C（i,:
）;
C（i,:
）=T;
fork=i+1:
n%%列主元消去
ifC（k,i）~=0
C（k,:
）=C（k,:
）-C（k,i）/C（i,i）*C（i,:
）;
end
end
end
%%回代求解%%
x=zeros（n,1）;
x（n）=C（n,n+1）/C（n,n）;
fori=n-1:
-1:
1
x（i）=（C（i,n+1）-C（i,i+1:
n）*x（i+1:
n,1））/C（i,i）;
end
A=C（1:
n,1:
n）;%消元后得到的上三角矩阵
disp（'Theupperteianguularmatrixis:
'）
fork=1:
n
fprintf（'%f',A（k,:
））;
fprintf（'\n'）;
end
disp（'Solutionoftheequations:
'）;
fprintf（'%.5g\n',x）;%以5位有效数字输出结果
PleaseinputtheorderofmatrixA:
n=4
InputmatrixA（suchasa2ordermatrix:
[12;3,4]）[121-2
253-2
-2-235
1323]
Inputthecolumnvectorb:
[47-10]
Solutionoftheequations:
2
-1
2
-1
以教材第123页习题16验证通用程序的正确性。
执行程序，输入系数矩阵A和列向量b，结果如下：
结果与精确解完全一致。
三、求解结果
执行程序，输入矩阵A（即题中的矩阵R）和列向量b（即题中的V），得如下结果：
PleaseinputtheorderofmatrixA:
n=9
InputmatrixA（suchasa2ordermatrix:
[12;3,4]）:
[31-13000-10000
-1335-90-110000
0-931-1000000
00-1079-30000-9
000-3057-70-50
0000-747-3000
00000-304100
0000-50027-2
000-9000-229]
Inputthecolumnvectorb:
[-1527-230-2012-7710]
Solutionoftheequations:
由上述结果得：
第四章
一、题目
二、通用程序
三、求解结果
1、数据输入
Inputn:
n=10
Inputx:
[012345678910]
Inputy:
[]
Inputthederivativeofy（0）:
Inputthederivativeofy（n）:
2、计算结果
第五章
一、题目
二、通用程序
三、运行结果
第六章
一、题目
二、通用程序
1、RK4方法的通用程序
2、AB4方法的通用程序
3、AB4-AB4预测校正方法的通用程序
4、带改进的AB4-AB4预测校正方法的通用程序
三、结果比较
四、结论
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