解圆锥曲线离心率的求法大全Word格式文档下载.doc

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若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（）

A.B.C.D.

由F1、F2的坐标知2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,

所以离心率e==.故选C.

变式练习２：

如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）

A.B.C.D2

解析：

由题设a=2，2c=6，则c=3，e==,因此选C

变式练习３：

点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）

由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得．则。

故选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例２.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.　　B.　　C.　　D.

如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。

由焦半径公式，

即，得，解得，故选D。

变式练习１：

设双曲线﹣＝1（0<

a<

b）的半焦距为c，直线L过（a,0），（0,b）两点.已知原点到直线的距离为c，则双曲线的离心率为（）

A.2B.C.D.

由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0.

由点到直线的距离公式，得＝c，又c2=a2+b2,∴4ab=c2,

两边平方，得16a2（c2﹣a2）=3c4.两边同除以a4，并整理，得3e4-16e2+16=0.

解得e2＝4或e2＝.又0<

b，∴e2＝＝=1+>

2，∴e2＝4，∴e＝2.故选A.

双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2＝120°

，则双曲线的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

如图所示，不妨设M（0，b），F1（-c,0）,F2（c,0）,则

|MF1|=|MF2|=.又|F1F2|＝2c，

在△F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2＝,

即＝cos120°

＝﹣，∴＝﹣，

∵b2＝c2﹣a2，∴＝﹣，∴3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.故选B.

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例３．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

如右图所示，有

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例4.设椭圆+＝1（a>

b>

0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .

如图1所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵AD⊥l1于D，∴|AD|为F1到准线l1的距离，根据椭圆的第二定义，e===，即e=.故填.

变式练习：

五、构建关于e的不等式，求e的取值范围

例5.设，则二次曲线的离心率的取值范围为（）

A.B.C.D.（）

另：

由x2cotθ﹣y2tanθ=1，θ∈（0，），得a2＝tanθ，b2=cotθ,∴c2＝a2+b2＝tanθ+cotθ,

∴e2＝＝＝1+cot2θ,∵θ∈（0，），∴cot2θ>

1,∴e2>

2，∴e>

.故选D.

例6如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A（﹣c，0），C（，h）,E（x0，y0），其中c=｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高．

由定比分点坐标公式得x0＝＝，y0＝．设双曲线的方程为﹣＝1，则离心率e=.由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得﹣＝1①，将点E的坐标代入双曲线方程得（）2－（）2＝1②．再将e=①、②得﹣＝1，∴＝﹣1③，（）2－（）2＝1④．

将③式代入④式，整理得（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－．由题设≤λ≤得，≤1－≤．解得≤e≤．所以双曲线的离心率的取值范围为［，］．

练习：

1.（天津理4）设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为

A. B. C. D.

2.（全国2文11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）

A． B． C． D．

3.（2006全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）

4．（2006山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（A）（B）（C）（D）

5．（2006山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（A）（B）2（C）（D）2

6.（安徽理9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为

（A） （B） （C） （D）

7.（湖南文9）设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是

A．　B.　　C.　　　D.

8.（全国2理11）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。

若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º

，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为

（A） （B） （C） （D）

9.（2006福建卷）已知双曲线（a>

0,b<

0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.（1,2）B.（1,2）C.[2,+∞]D.（2,+∞）

10.（北京文4）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

答案：

1.由可得故选D

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴，椭圆的离心率，选D。

3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A

4.不妨设椭圆方程为（a>

0），则有，据此求出e＝

5.不妨设双曲线方程为（a>

0，b>

0），则依题意有，

据此解得e＝，选C

6.解析：

如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°

，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，双曲线的离心率为，选D。

7.由已知P（），所以化简得．

8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。

，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴离心率，选B。

9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，选C

10.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，D。

设点为曲线上的点

7

一．椭圆的焦半径公式：

１．到左焦点的距离：

；

２．到右焦点的距离：

．

二．双曲线的焦半径公式：