线性代数教案Word文档格式.doc

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教学目的：

使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n阶行列式定义及行列式的计算

教学重点：

n阶行列式定义及计算

教学难点：

n阶行列式定义

一、导入线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。

二、新授

（一）二阶、三阶行列式

对于二元线性方程组

（1.1）

采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此：

第一个方程乘以a22与第二个方程乘以a12相减得

（a11a22－a21a12）x1=b1a22-b2a12

第二个方程乘以a11与第一个方程乘以a21相减得

（a11a22－a21a12）x2=a11b2-a21b1

若a11a22－a21a12≠0，方程组的解为

（1.2）

容易验证（1.2）式是方程组（1.1）的解。

称a11a22－a21a12为二阶行列式，它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D。

我们若记

方程组的解（1.2）式可写成

对三元线性方程组

（1.3）

与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解：

（1.4）

为方程组（1.3）的系数行列式,Dj（j=1,2,3）是将D的第j列换成常数列而得到的行列式。

二阶、三阶行列式可用对角线法则计算。

为研究高阶行列式的结构，下面考察等式（1.4）：

（1.4）式也可写成如下形式

这里j1j2j3是1，2，3的一个排列，表示对所有的3级排列求和。

（二）n阶行列式的定义

1.定义：

把由n2个数排成n行n列的

（1.5）

称为n阶行列式,它等于所有取自（1.5）中属于不同行同列的n个元素的乘积

的代数和。

这里j1j2…jn是1，2，…，n的一个排列，当τ（j1j2…jn）是偶数时，乘积项前面取正号，当τ（j1j2…jn）是奇数时，乘积项前面取负号。

亦可以将这一定义写成

（1.6）

等式（1.6）右边表示此n阶行列式的展开式，亦表示n阶行列式的值。

当n=2或n=3时（1.6）式表示二阶或三阶行列式,我们还规定一阶行列式|a|的值等于a。

2.例:

计算行列式

（1）

（2）

解:

根据例中

（1），对于n阶对角行列式可证得下面的结论：

例5求下面四阶上三角行列式的值

解：

根据行列式的定义可知，若乘积项不为零，第一列只能取a11，第二列两个非零元素只能取a22，第三列三个非零元素只能取a33，第四列四个非零元素只能取a44，故此

对于n阶上、下三角行列式，我们可以证得以下结论：

。

由此，设法将一般高阶行列式化成三角行列式再求值，是计算行列式的一种简单方便的方法。

（三）n级排列及其奇偶性

1.定义：

由n个数1，2，3，……，组成的一个有序数组称为一个n级排列。

例14321是一个4级排列，35241是一个5级排列．123…n是一个n级排列，它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列．

2.定义：

在一个排列中的两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个逆序。

在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列j1j2…jn的逆序数记为τ（j1j2…jn）。

逆序数为奇数的排列称为奇排列，

逆序数为偶数的排列称为偶排列。

例3在4级排列中，τ（3412）=2+2=4，故4级排列3412为一个偶排列。

τ（2341）=1+1+1=3，故4级排列2341为一个奇排列。

定理1.1：

一个排列中的任何两个元素对换，排列改变奇偶性

1.2n阶行列式的基本性质

了解和掌握n阶行列式的基本性质

n阶行列式的基本性质

n阶行列式基本性质及利用行列式的性质计算行列式

一、导入：

复习第一节内容

（一）定义：

将行列式D的行列位置互换后所得的行列式称为D的转置行列式，记为DT。

即

（二）性质

性质1：

行列式D与它的转置行列式DT值相等，即D=DT。

性质1说明行列式中行与列的地位是相同的，所以凡对行成立的性质，对列也成立。

性质2：

行列式中任意两行（列）互换后，行列式的值仅改变符号。

若设

，则D=－D1。

证明：

，根据定理1，

性质3：

若行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式值等于零。

设行列式

将i行与j行交换，由性质2得D=－D，于是2D=0，即D=0。

由行列式的定义可直接证得：

性质4：

以数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，就等于用k去乘此行列式。

或者说，若行列式的某一行（列）中所有元素有公因子，则可将公因子提取到行列式记号外面。

性质5：

若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值等于零。

根据性质3、性质4可推出：

性质6：

若行列式中有两行（列）的元素成比例，则行列式的值等于零。

由行列式定义可证得：

性质7：

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和。

根据性质4、6、7可证得：

性质8：

若在行列式的某一行（列）元素上加上另一行（列）对应元素的k倍，则行列式的值不变。

在计算行列式时，为了便于检查运算的正确性，一般注明每一步运算的依据。

为此我们约定采用如下的记号：

用ri+krj表示在行列式的第i行元素上加上（减去）第j行对应元素的k倍。

用ci+kcj表示在行列式的第i列元素上加上（减去）第j列对应元素的k倍。

（三）例1计算

例2计算

这个行列式的特点是各列4个数之和都是7，所以有

例3计算行列式

根据行列式的性质有

例4计算行列式

例5解下列方程

（1）；

（2）

（1）这是一个用n阶行列式表示的方程，在这个方程中，未知量x的最高次是n，所以方程有n个根。

解这类方程的基本思路是先用行列式的性质将其化简，写出未知中量x的多项式，然后再求出它的根。

这个方程左端是一个n阶字母行列式设为Dn，计算时需要一些技巧。

先化简行列式。

于是原方程式为[x+（n－1）b]（x－b）n-1=0

解得原方程的解为x1=（1－n）b，x2=x3=…=xn=b。

（2）因为

于是原方程式为5（x－4）（x+5）=0，解得x1=4，x2=-5。

练习

用行列式的性质证明：

（1）

（2）

3.小结：

本节学习了n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n阶行列式定义及行列式的计算，n阶行列式的基本性质，应掌握利用行列式的性质计算行列式的方法

1.3n阶行列式的按行（列）展开

使学生了解和掌握n阶行列式的按行（列）展开

n阶行列式的按行（列）展开

一、导入

二、新授

（一）造零降阶法

1.定义：

在n阶行列式

中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后所留下的n-1阶行列式称作元素aij的余子式，记作Mij，并记Aij=（-1）i+jMij

Aij称作元素aij的代数余子式。

2.例1在四阶行列式

中元素的余子式和代数余子式分别为

A23=（－1）2+3M23=－M23

在三阶行列式

中元素的余子式和代数余子式分别为

A31=（－1）3+1M31=－3

（二）.定理1：

一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都为零，则这个行列式等于元素aij与它的代数余子式Aij的乘积，即

D=aijAij

分两种情形来证。

首先证明位于第1行第1列的情形，此时行列式为

由行列式定义，并注意到第可1行中除第1列外其余列元素全为零。

可将Dn表示为

而按行列式定义又有

于是Dn=a11M11又A11=（－1）1+1M11=M11

从而Dn=a11A11

再证一般情形。

此时行列式可设为

把Dn行列作如下的调换：

把Dn的第i行依次与第i-1行、第i-2行、…、第1行对调，这样aij就调到原来a1j的位置上，调换的次数为i-1。

再把第j列依次与第j-1列、第j-2列、…、第1列对调，这样元素就调到左上角a11位置，调换次数为j-1。

最终经过i+j-2次调换，把元素调到a11位置，而所得的行列式应为

D1=（－1）i+j-2D=（-1）i+jD

由于aij位于D1的左上角，利用前面的结果，有D1=aijMij

于是Dn=（-1）i+jD1=（-1）i+jaijMij=aijAij。

例2计算行列式

利用定理1，先对第三行进行造零，则有

例3计算行列式

这个行列式从第二行开始，每一行元素之和都等于零，故此将第2、3、4、5列分别加到第1列上得

本行列式具有每一行（列）元素之各都相同，因此把第2、3、…、n-1列都加到第一列上，可得到

例5证明范德蒙（vandermonde）行列式：

用数学归纳法证明。

当n=2时，有

命题成立。

假设命题对n-1阶范德蒙行列式成立。

下面证明命题对n-1阶范德蒙行列式也成立。

由命题假设

代入上式，得

.

（三）行列式按某一行（列）展开定理

定理2：

n阶行列式Dn的值等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

（i=1，2，…，n）

或者

（j=1，2，…，n）

类似地，可证明

Dn=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj（j=1，2，…，n）定理2叫做行列式按行（列）展开法则。

利用这一法则并结合行列式性质，可以化简行列式的计算。

例6计算行列式

根据行列式的特点，对第一列用定理2的方法展开可得

推论：

n阶行列式Dn的任一行（列）元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0（i≠j）

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0（i≠j）

综合定理1和推论可得出如下表达式：

或

1.4克拉默法则

克拉默法则及其应用、n元齐次线性方程组

克拉默法则及其应用

克拉默法则的证明

一、导入

（一）定理1.4（克莱姆法则）：

如果线性方程组

（1.6）

的系数行列式不等于零，即

则方程组（1.6）有唯一解

，，…，（1.7）

其中Dj（j=1,2,…,n）是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右

端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即

用系数行列式D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,…,Anj依次乘方程组（1.6）的n个方程,再把它们相加,得

根据定理3的推论可知,上式中xj的系数等于D,而其余的系数均为零,等式右端即为Dj。

于是有

Dxj=Dj（j=1，2，…，n）（1.8）

当D≠0时，方程组（1.6）有唯一的一个解（1.7）。

由于方程（1.8）与方程（1.6）是同解方程,故此,方程（1.6）的解一定是方程（1.8）的解。

而方程（1.8）仅有一个解（1.7），故方程（1,6）如果有解只可能是解（1.7）。

下面验证解（1.7）是方程（1.6）的唯一解。

取一个两行相同的n+1阶行列式

（i=1，2，…，n）

它的值为0，把它按第一行展开，得

0=biD－ai1D1－…－ainDn

由于D≠0，所以

（i=1，2，…，n）。

（二）例1解线性方程组

利用克拉默法则求方程组的解。

所以方程组有唯一解；

又

于是方程组的解是

。

例2一个土建师，一个电气师，一个机械师，组成一个技术服务队，假设在一段时间内，每人收入1元人民币需要其它两人的服务费用和实际收入如表一，问这段时间内，每人的总收入分别是多少？

被服务者

服务者土建师范电气师机械师实际收入

土建师00.20.3500

电气师0.100.4700

机械师0.30.40600

（表一）

设土建师、电气师、机械师的总收入分别是x1，x2，x3。

根据题意，列出下列方程组：

即

,.

答：

这段时间内，土建师的总收入是1256.48元，电气师的总收入是1448.13元,机械师的总收入是556.20元。

（三）n元齐次线性方程组

1.在线性方程组（1.6）中,当常数项b1,b2,…,bn全都为零时,即

（1.9）

称为n元齐次线性方程组。

零解：

当系数行列式D不等于零时，x1=0，x2=0，…，xn=0。

（或称为平凡解）

非零解：

（或称为非平凡解）

2.定理1.5：

含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组（1.9）有非零解的充分且必要条件是：

方程组的系数行列式D=0。

如果D≠0，则方程组（1.9）只有唯一解是零解，因而没有非零解。

反之，如果D=0则方程组（1.9）不是有唯一解，那么方程组（1.9）或者有解或者无解。

但方程组（1.9）至少零解，因此，方程组（1.9）有无穷多解，从而除了零解之外还有非零解。

3.例3求下面齐次线性方程组的解

所以方程组只有零解。

即x1=x2=x3=x4=0

例4问k为何值时，方程组

有非零解？

将方程组整理得

根据定理5，当且仅当系数行列式等于零时，齐次线性方程组有非零解，即

，

（3－k）2－1=0

故当k=2和k=4时方程组有非零解.。

三、练习

1

2..k取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：

本节学习了n阶行列式的按行（列）展开，克莱姆克拉默法则及其应用

第二章矩阵

2.1矩阵及其运算

使学生学习矩阵相关的概念及运算

矩阵的概念及运算，几种特殊的矩阵

矩阵的的乘法运算，

一、导入

矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

1．定义1：

由个数排成的行列的表

称为行列矩阵（matrix）,简称矩阵。

一般用大写黑体字母表示：

记为A、B、C。

为了表示行和列，也可简记为或矩阵中数称为矩阵的第行第列元素。

注意：

m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。

n=1称为列矩阵或列向量。

m=1称为行矩阵或行向量。

定义2：

如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。

则称两个矩阵相等。

记为A=B。

把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。

例1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵

其中为工厂向第店发送第种产品的数量。

这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵

其中为第中产品的单价，为第种产品单价重量。

2．特殊形式矩阵：

（1）n阶方阵：

在矩阵中，当时，称为阶方阵

（2）行矩阵：

只有一行的矩阵叫做行矩阵

列矩阵：

只有一列的矩阵

叫做列矩阵

（3）零矩阵：

元素都是零的矩阵称作零矩阵

3．相等矩阵：

对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵

4．常用特殊矩阵：

（1）对角矩阵：

（2）数量矩阵：

（3）单位矩阵：

（4）三角矩阵：

称作上三角矩阵，称作下三角矩阵。

5.矩阵的运算

一、矩阵的加法：

定义3：

A+B=（）+（）=（+）

=

两个同型（m行）、同列（n列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变）

由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律

1、交换律A+B=B+A

2、结合律（A+B）+C=A+（B+C）

3、有零元A+0=A

4、有负元A+（-A）=0

二、数与矩阵的乘法

定义4、给定矩阵A=（）及数k,则称（k）为数k与矩阵A的乘积。

即kA=k=

由定义可知–A=（-1）A

A–B=A+（-B）

数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（a）

（b）

（c）

例1设

，求。

三、矩阵的乘法

（1）定义5：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中

（2）矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（a）结合律：

；

（b）分配律：

（c）设是数，。

例2设，，

求，与。

;

从例题中我们可以得出下面的结论：

（i）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（ii）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（iii）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出

（3）设是一个阶方阵，

定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

，

其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式

四、矩阵的转置

1．定义：

设

则矩阵称为的转置矩阵

2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）

（3）（是数）（4）

例3设BT=B,证明（ABAT）T=ABAT

因为BT=B，所以（ABAT）T=[（AB）AT]T=（AT）T（AB）T=ABTAT=ABAT

3．定义：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

五、方阵的行列式

1．定义6：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixA），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（2）；

（3）。

本节介绍了矩阵的概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵以及矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算在矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

2.2逆矩阵

会判断矩阵的可逆性，矩阵可逆的条件

1．可逆性判定；

2.矩阵可逆的条件

求逆矩阵

求逆矩阵是矩阵的一种重要运算，它在矩阵的应用中起到重要的作用。

逆矩阵的概念

设为阶方阵，若存在阶方阵，使

则称是可逆矩阵。

并称为的逆矩阵，记为，即。

如果矩阵是可逆的，则的逆矩阵是唯一的。

事实上，设，都是的可逆矩阵，则有，

于是。

2．定义：

设为阶方阵，若，则称是非奇异的（或非退化）的，否则称是奇异的（或退化的）。

设，令为中元素的代数余子式，则称方阵

为的伴随矩阵，或记为。

矩阵可逆的充要条件

定理：

方阵可逆的充分必要条件是为非奇异矩阵，即，并且

充分性：

，

由第一章中定理1.4及推论可知

又知，所以有故可逆，且。

证毕。

推论1：

若是可逆矩阵，则经过若干次初等变换后所得矩阵仍为可逆矩阵。

推论2：

若（或），则。

方阵的逆矩阵满足下面运算律：

（1）若可逆，则；

（2）若可逆，数，则；

（3）若，为同阶可逆矩阵，则；

（4）若可逆，则；

（5）若可逆